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18. 阅读理解
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称. 在平面直角坐标系中，任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$的对称中心的坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$.
观察应用
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点$P_1(0,-1),P_2(2,3)$的对称中心是点$A$，则点$A$的坐标为________；
(2)在(1)的条件下，另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$.有一电子青蛙从点$P_1$处开始，依次关于点$A,B,C$做循环对称跳动，即第一次跳到点$P_1$关于点$A$的对称点$P_2$处，接着跳到点$P_2$关于点$B$的对称点$P_3$处，第三次再跳到点$P_3$关于点$C$的对称点$P_4$处，第四次再跳到点$P_4$关于点$A$的对称点$P_5$处……求点$P_3,P_8$的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点$P_{2026}$的坐标.
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称. 在平面直角坐标系中，任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$的对称中心的坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$.
观察应用
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点$P_1(0,-1),P_2(2,3)$的对称中心是点$A$，则点$A$的坐标为________；
(2)在(1)的条件下，另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$.有一电子青蛙从点$P_1$处开始，依次关于点$A,B,C$做循环对称跳动，即第一次跳到点$P_1$关于点$A$的对称点$P_2$处，接着跳到点$P_2$关于点$B$的对称点$P_3$处，第三次再跳到点$P_3$关于点$C$的对称点$P_4$处，第四次再跳到点$P_4$关于点$A$的对称点$P_5$处……求点$P_3,P_8$的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点$P_{2026}$的坐标.
答案
18. (1)$(1,1)$
(2)设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$.$\because$点$P_3$与点$P_2$关于点$B$成中心对称,且$B(-1.6,2.1)$,
$\therefore \frac{2+x_3}{2}=-1.6,\frac{3+y_3}{2}=2.1$,解得$x_3=-5.2,y_3=1.2$,$\therefore P_3(-5.2,1.2)$.
设点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$.$\because$点$P_4$与点$P_3$关于点$C$成中心对称,且$C(-1,0)$,
$\therefore \frac{-5.2+x_4}{2}=-1,\frac{1.2+y_4}{2}=0$,解得$x_4=3.2,y_4=-1.2$,$\therefore P_4(3.2,-1.2)$.
同理可得$P_5(-1.2,3.2)\to P_6(-2,1)\to P_7(0,-1)\to P_8(2,3)$.
(3)$\because P_1(0,-1)\to P_2(2,3)\to P_3(-5.2,1.2)\to P_4(3.2,-1.2)\to P_5(-1.2,3.2)\to P_6(-2,1)\to P_7(0,-1)\to P_8(2,3)\dots\dots$
$\therefore$点$P_7$的坐标和点$P_1$的坐标相同,点$P_8$的坐标和点$P_2$的坐标相同,即坐标以6为周期循环.
$\because 2026÷6=337\dots\dots4$.$\therefore$点$P_{2026}$的坐标与点$P_4$的坐标相同,即$P_{2026}(3.2,-1.2)$.
(2)设点$P_3$的坐标为$(x_3,y_3)$.$\because$点$P_3$与点$P_2$关于点$B$成中心对称,且$B(-1.6,2.1)$,
$\therefore \frac{2+x_3}{2}=-1.6,\frac{3+y_3}{2}=2.1$,解得$x_3=-5.2,y_3=1.2$,$\therefore P_3(-5.2,1.2)$.
设点$P_4$的坐标为$(x_4,y_4)$.$\because$点$P_4$与点$P_3$关于点$C$成中心对称,且$C(-1,0)$,
$\therefore \frac{-5.2+x_4}{2}=-1,\frac{1.2+y_4}{2}=0$,解得$x_4=3.2,y_4=-1.2$,$\therefore P_4(3.2,-1.2)$.
同理可得$P_5(-1.2,3.2)\to P_6(-2,1)\to P_7(0,-1)\to P_8(2,3)$.
(3)$\because P_1(0,-1)\to P_2(2,3)\to P_3(-5.2,1.2)\to P_4(3.2,-1.2)\to P_5(-1.2,3.2)\to P_6(-2,1)\to P_7(0,-1)\to P_8(2,3)\dots\dots$
$\therefore$点$P_7$的坐标和点$P_1$的坐标相同,点$P_8$的坐标和点$P_2$的坐标相同,即坐标以6为周期循环.
$\because 2026÷6=337\dots\dots4$.$\therefore$点$P_{2026}$的坐标与点$P_4$的坐标相同,即$P_{2026}(3.2,-1.2)$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：题目直接给出两点对称中心的坐标公式，只需将$P_1$、$P_2$的横、纵坐标分别代入公式计算，即可得到点$A$的坐标。
2. 第(2)问：两点关于某点中心对称时，该点就是两点连线的中点，因此已知一个点和中点坐标，可反向套用中点公式列方程，求解得到对称点的坐标。依次计算到$P_8$即可得到对应坐标，同时计算过程中可观察坐标的变化规律。
3. 第(3)问：通过第(2)问的计算可发现坐标呈周期循环变化，先确定循环周期，再用2026除以周期，根据余数即可判断$P_{2026}$对应的坐标。
【解析】
(1) 根据两点对称中心坐标公式，$P_1(0,-1)$、$P_2(2,3)$的对称中心$A$的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，即$A(1,1)$。
(2) 求$P_3$坐标：
$\because P_3$与$P_2(2,3)$关于$B(-1.6,2.1)$中心对称，代入中点公式得：
$\frac{2+x_3}{2}=-1.6$，$\frac{3+y_3}{2}=2.1$
解得：$x_3=-5.2$，$y_3=1.2$，即$P_3(-5.2,1.2)$。
依次计算后续各点坐标：
$P_4$与$P_3$关于$C(-1,0)$对称，列方程解得$P_4(3.2,-1.2)$；
$P_5$与$P_4$关于$A$对称，解得$P_5(-1.2,3.2)$；
$P_6$与$P_5$关于$B$对称，解得$P_6(-2,1)$；
$P_7$与$P_6$关于$C$对称，解得$P_7(0,-1)$，与$P_1$坐标相同；
$P_8$与$P_7$关于$A$对称，解得$P_8(2,3)$，与$P_2$坐标相同。
(3) 由计算结果可知，坐标每6个为一个周期循环：$P_1\to P_2\to P_3\to P_4\to P_5\to P_6\to P_1\dots$
计算得$2026÷6=337······4$，余数为4，因此$P_{2026}$的坐标与周期内第4个点$P_4$的坐标相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,1)}$
(2) $\boldsymbol{P_3(-5.2,1.2)}$，$\boldsymbol{P_8(2,3)}$
(3) $\boldsymbol{P_{2026}(3.2,-1.2)}$
【知识点】
中点坐标计算，中心对称坐标应用，周期规律探究
【点评】
本题结合新定义的对称中心坐标公式，考查中心对称的坐标计算和规律探究能力，解题核心是读懂新定义，准确套用公式计算，同时通过枚举找到坐标的循环规律，对计算准确性有一定要求。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：题目直接给出两点对称中心的坐标公式，只需将$P_1$、$P_2$的横、纵坐标分别代入公式计算，即可得到点$A$的坐标。
2. 第(2)问：两点关于某点中心对称时，该点就是两点连线的中点，因此已知一个点和中点坐标，可反向套用中点公式列方程，求解得到对称点的坐标。依次计算到$P_8$即可得到对应坐标，同时计算过程中可观察坐标的变化规律。
3. 第(3)问：通过第(2)问的计算可发现坐标呈周期循环变化，先确定循环周期，再用2026除以周期，根据余数即可判断$P_{2026}$对应的坐标。
【解析】
(1) 根据两点对称中心坐标公式，$P_1(0,-1)$、$P_2(2,3)$的对称中心$A$的横坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，即$A(1,1)$。
(2) 求$P_3$坐标：
$\because P_3$与$P_2(2,3)$关于$B(-1.6,2.1)$中心对称，代入中点公式得：
$\frac{2+x_3}{2}=-1.6$，$\frac{3+y_3}{2}=2.1$
解得：$x_3=-5.2$，$y_3=1.2$，即$P_3(-5.2,1.2)$。
依次计算后续各点坐标：
$P_4$与$P_3$关于$C(-1,0)$对称，列方程解得$P_4(3.2,-1.2)$；
$P_5$与$P_4$关于$A$对称，解得$P_5(-1.2,3.2)$；
$P_6$与$P_5$关于$B$对称，解得$P_6(-2,1)$；
$P_7$与$P_6$关于$C$对称，解得$P_7(0,-1)$，与$P_1$坐标相同；
$P_8$与$P_7$关于$A$对称，解得$P_8(2,3)$，与$P_2$坐标相同。
(3) 由计算结果可知，坐标每6个为一个周期循环：$P_1\to P_2\to P_3\to P_4\to P_5\to P_6\to P_1\dots$
计算得$2026÷6=337······4$，余数为4，因此$P_{2026}$的坐标与周期内第4个点$P_4$的坐标相同。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,1)}$
(2) $\boldsymbol{P_3(-5.2,1.2)}$，$\boldsymbol{P_8(2,3)}$
(3) $\boldsymbol{P_{2026}(3.2,-1.2)}$
【知识点】
中点坐标计算，中心对称坐标应用，周期规律探究
【点评】
本题结合新定义的对称中心坐标公式，考查中心对称的坐标计算和规律探究能力，解题核心是读懂新定义，准确套用公式计算，同时通过枚举找到坐标的循环规律，对计算准确性有一定要求。
【难度系数】
0.7
