16.如图,在平面直角坐标系中,已知三角形ABC,点A,B的坐标分别为A(4,1),B(1,-2),BC//x轴,点C在点B右侧,且BC=2.
(1)请根据已知条件,画出平面直角坐标系xOy以及三角形ABC,并写出点C的坐标;
(2)若将三角形ABC先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度.平移后,三角形ABC上某一点P的对应点为P'(a,b),试用含a,b的代数式表示点P的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.

16. (1)图略,点C的坐标为$(3,-2)$
(2)$(a+3,b-1)$
(3)$3$

【分析】
(1) 解题时先利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等的特征，确定点C的纵坐标与点B相同，再结合BC的长度和点C在B右侧的条件，计算出点C的横坐标，进而确定点C坐标，再根据A、B、C三点坐标画出平面直角坐标系和三角形即可。
(2) 平移的规律是“左减右加，上加下减”，本题已知平移后的点坐标求原坐标，只要逆向应用平移规律即可：将平移后的点向右平移3个单位，向下平移1个单位就能得到原坐标。
(3) 求三角形ABC的面积时，可把BC看作底，先算出BC的长度，再求出点A到BC所在直线的垂直距离作为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 因为BC//x轴，所以点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，即点C纵坐标为-2；
已知BC=2，且点C在点B右侧，所以点C的横坐标为$1+2=3$，因此点C的坐标为$(3,-2)$；
平面直角坐标系绘制：先确定原点，画出x轴、y轴，标注刻度后依次描出A(4,1)、B(1,-2)、C(3,-2)，连接三点得到三角形ABC即可。
(2) 设点P的坐标为$(x,y)$，根据平移规则：向左平移3个单位长度，横坐标减3；向上平移1个单位长度，纵坐标加1，可得：
$x - 3 = a$，$y + 1 = b$
解得$x = a + 3$，$y = b - 1$，即点P的坐标为$(a+3, b-1)$。
(3) 由题意可知BC的长度为2，
BC所在直线平行于x轴，纵坐标为-2，点A纵坐标为1，因此点A到BC的垂直距离为$|1 - (-2)|=3$，
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$。
【答案】
(1) 点C的坐标为$(3,-2)$，图略；
(2) $(a+3,b-1)$；
(3) $3$
【知识点】
点的坐标特征，坐标平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，考查了坐标的确定、平移规律的应用和三角形面积的求解，解题关键是掌握平行于坐标轴的点的坐标特点和平移的变化规则，计算时注意坐标差的准确性。
【难度系数】
0.7

17.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(a,0),B(b,0),且a,b满足$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$,点C的坐标为(0,3).
(1)求$a,b$的值及$S_{\mathrm{三角形}ABC}$;
(2)若点$M$在$x$轴上,且$S_{\mathrm{三角形}ACM}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{三角形}ABC}$,试求点$M$的坐标.

17. (1)$a=-2,b=4$.$S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}AB· CO=\frac{1}{2}×6×3=9$.
(2)点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$.

【分析】
第(1)问解题思路：首先利用绝对值和算术平方根的非负性，两个非负数相加和为0，则两个非负数分别为0，即可求出a、b的值；得到A、B坐标后可算出AB的长度，点C在y轴上，三角形ABC的高就是点C到x轴的距离OC，代入三角形面积公式即可求出面积。
第(2)问解题思路：点M在x轴上，因此三角形ACM和三角形ABC的高相同，都是点C到x轴的距离，先根据面积关系求出三角形ACM的面积，再结合面积公式求出AM的长度，最后分点M在点A左侧、右侧两种情况讨论，即可得到M的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解：
∵绝对值和算术平方根都具有非负性，即$|a+2|≥0$，$\sqrt{b-4}≥0$，且$|a+2|+\sqrt{b-4}=0$
∴$\begin{cases}a+2=0\\b-4=0\end{cases}$
解得$a=-2$，$b=4$
∴点A坐标为$(-2,0)$，点B坐标为$(4,0)$，则$AB=4-(-2)=6$
∵点C坐标为$(0,3)$，
∴点C到x轴的距离$OC=3$，即三角形ABC的高为3
∴$S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{2}×AB×OC=\frac{1}{2}×6×3=9$
(2) 解：设点M的坐标为$(x,0)$
由题意得$S_{\mathrm{三角形}ACM}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{三角形}ABC}=\frac{1}{3}×9=3$
三角形ACM的高为$OC=3$，底为$AM=|x-(-2)|=|x+2|$
代入面积公式得：$\frac{1}{2}×|x+2|×3=3$
化简得$|x+2|=2$
则$x+2=2$或$x+2=-2$
解得$x=0$或$x=-4$
∴点M的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$
【答案】
(1) $a=-2$，$b=4$，$S_{\mathrm{三角形}ABC}=9$；
(2) 点$M$的坐标为$(0,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
非负数的性质；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查非负数的性质和三角形面积的计算，解题的关键是掌握绝对值、算术平方根的非负性，第二问求解时要注意分类讨论点M的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7