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19.定义:在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_1 - x_2 = y_1 - y_2 = a$($a$为常数),则称点$A$为点$B$的$a$级位移点.如点$(5,3)$为点$(2,0)$的3级位移点.如图,已知$C(2,1),D(2,-3)$.
(1)若点$C$为点$M(-1,m)$的$a$级位移点,则$a=\_\_\_\_\_\_,m=\_\_\_\_\_\_$;
(2)若点$N(n,2n-1)$的$a$级位移点在线段$CD$上,求$n$的取值范围;
(3)点$P(x,y)$($x,y$均为整数)在第四象限,其$a$级位移点$Q$在第三象限,且点$Q$到$x$轴的距离不大于$4$,$S_{\mathrm{三角形}CDQ}=6$,请写出所有符合条件的点$P$的坐标.
(1)若点$C$为点$M(-1,m)$的$a$级位移点,则$a=\_\_\_\_\_\_,m=\_\_\_\_\_\_$;
(2)若点$N(n,2n-1)$的$a$级位移点在线段$CD$上,求$n$的取值范围;
(3)点$P(x,y)$($x,y$均为整数)在第四象限,其$a$级位移点$Q$在第三象限,且点$Q$到$x$轴的距离不大于$4$,$S_{\mathrm{三角形}CDQ}=6$,请写出所有符合条件的点$P$的坐标.
答案
19. (1)$3,-2$
(2)$\because C(2,1),D(2,-3)$,$\therefore$线段$CD$上的点的横坐标为2,纵坐标大于等于$-3$且小于等于1.
$\because$点$N$的$a$级位移点在线段$CD$上,$\therefore$可设点$N$的$a$级位移点为$(2,y)$.
由$a$级位移点定义得$2-n=y-2n+1=a$,$\therefore y=n+1$.
$\because -3≤ y≤1$,$\therefore -4≤ n≤0$.
(3)设点$Q$的坐标为$(c,d)$,其中$c＜0$,$-4≤ d＜0$,设三角形$CDQ$在$CD$边上的高为$h$,
$CD=1-(-3)=4$,则$S_{\mathrm{三角形}CDQ}=\frac{1}{2}× CD× h=\frac{1}{2}×4× h=6$,得$h=3$,
$\therefore$点$Q$到$y$轴的距离为1,$\therefore Q(-1,d)$.
由$a$级位移点的定义得$-1-x=d-y$,化简得$x+1=y-d$.
$\because$点$P(x,y)$($x,y$均为整数)在第四象限,$\therefore x＞0,y＜0$.
$\because x,y$均为整数,$\therefore d=-4$或$d=-3$或$d=-2$或$d=-1$.
①$d=-4$时,$x+1=y+4$.当$x=1,y=-2$时,点$P(1,-2)$;当$x=2,y=-1$时,点$P(2,-1)$;当$x=3,y=0$时,不合题意舍去.
②$d=-3$时,$x+1=y+3$.当$x=1,y=-1$时,点$P(1,-1)$;当$x=2,y=0$时,不合题意舍去.
③$d=-2$时,$x+1=y+2$.当$x=1,y=0$时,不合题意舍去.
④$d=-1$时,$x+1=y+1$,得$x=y$,不合题意舍去.
综上所述,点$P$的坐标为$(1,-2)$或$(2,-1)$或$(1,-1)$.
(2)$\because C(2,1),D(2,-3)$,$\therefore$线段$CD$上的点的横坐标为2,纵坐标大于等于$-3$且小于等于1.
$\because$点$N$的$a$级位移点在线段$CD$上,$\therefore$可设点$N$的$a$级位移点为$(2,y)$.
由$a$级位移点定义得$2-n=y-2n+1=a$,$\therefore y=n+1$.
$\because -3≤ y≤1$,$\therefore -4≤ n≤0$.
(3)设点$Q$的坐标为$(c,d)$,其中$c＜0$,$-4≤ d＜0$,设三角形$CDQ$在$CD$边上的高为$h$,
$CD=1-(-3)=4$,则$S_{\mathrm{三角形}CDQ}=\frac{1}{2}× CD× h=\frac{1}{2}×4× h=6$,得$h=3$,
$\therefore$点$Q$到$y$轴的距离为1,$\therefore Q(-1,d)$.
由$a$级位移点的定义得$-1-x=d-y$,化简得$x+1=y-d$.
$\because$点$P(x,y)$($x,y$均为整数)在第四象限,$\therefore x＞0,y＜0$.
$\because x,y$均为整数,$\therefore d=-4$或$d=-3$或$d=-2$或$d=-1$.
①$d=-4$时,$x+1=y+4$.当$x=1,y=-2$时,点$P(1,-2)$;当$x=2,y=-1$时,点$P(2,-1)$;当$x=3,y=0$时,不合题意舍去.
②$d=-3$时,$x+1=y+3$.当$x=1,y=-1$时,点$P(1,-1)$;当$x=2,y=0$时,不合题意舍去.
③$d=-2$时,$x+1=y+2$.当$x=1,y=0$时,不合题意舍去.
④$d=-1$时,$x+1=y+1$,得$x=y$,不合题意舍去.
综上所述,点$P$的坐标为$(1,-2)$或$(2,-1)$或$(1,-1)$.
解析
【分析】
(1) 依据“a级位移点”的定义，两点横坐标的差、纵坐标的差均等于a，将点C和点M的坐标直接代入计算，即可求出a和m的值。
(2) 先分析线段CD的坐标特征：线段CD上所有点的横坐标均为2，纵坐标的取值范围是-3≤y≤1。设点N的a级位移点坐标，结合位移点定义将位移点的纵坐标用含n的式子表示，再根据纵坐标的取值范围列不等式求解，即可得到n的取值范围。
(3) 首先计算线段CD的长度，结合三角形CDQ的面积求出点Q到直线CD的距离，再由CD是过x=2的竖线，确定Q的横坐标；结合Q在第三象限、到x轴的距离不大于4的条件，确定Q纵坐标的取值范围；最后根据位移点定义、P在第四象限且横纵坐标均为整数的条件，逐一筛选得到所有符合要求的点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点C(2,1)是点M(-1,m)的a级位移点，根据定义得：
$a = 2 - (-1) = 3$，
同时$a = 1 - m$，即$3 = 1 - m$，解得$m = -2$。
(2)
∵$C(2,1)$，$D(2,-3)$，
∴线段CD上的点横坐标均为2，纵坐标满足$-3≤y≤1$。
设点$N(n,2n-1)$的a级位移点为$(2,y)$，根据位移点定义：
$2 - n = y - (2n - 1) = a$，
整理得$y = n + 1$，
∵$-3≤y≤1$，
∴$-3≤n+1≤1$，解得$-4≤n≤0$。
(3) 先求线段CD的长度：$CD = 1 - (-3) = 4$，
设点Q到CD的距离为h，
∵$S_{△ CDQ} = \frac{1}{2} × CD × h = 6$，
代入得$\frac{1}{2} × 4 × h = 6$，解得$h = 3$。
∵CD在直线$x=2$上，且Q在第三象限，横坐标小于0，
∴点Q的横坐标为$2 - 3 = -1$，即$Q(-1,d)$。
∵Q在第三象限，且到x轴的距离不大于4，
∴$-4≤d＜0$，且d为整数。
根据a级位移点定义：$-1 - x = d - y$，整理得$y = x + d + 1$。
∵点$P(x,y)$在第四象限，
∴$x＞0$，$y＜0$，且x、y均为整数，对d的取值分类讨论：
①当$d=-4$时，$y = x - 3$：
$x=1$时，$y=-2$，符合要求，$P(1,-2)$；
$x=2$时，$y=-1$，符合要求，$P(2,-1)$；
$x≥3$时，$y≥0$，不符合要求，舍去。
②当$d=-3$时，$y = x - 2$：
$x=1$时，$y=-1$，符合要求，$P(1,-1)$；
$x≥2$时，$y≥0$，不符合要求，舍去。
③当$d=-2$时，$y = x - 1$，$x＞0$时$y≥0$，均不符合要求，舍去。
④当$d=-1$时，$y = x$，$x＞0$时$y＞0$，均不符合要求，舍去。
综上，得到所有符合条件的点P坐标。
【答案】
(1) $3$，$-2$；(2) $-4≤n≤0$；(3) $(1,-2)$、$(2,-1)$、$(1,-1)$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系中点的特征，三角形面积计算
【点评】
本题结合新定义综合考查了平面直角坐标系的相关知识，解题的关键是准确理解“a级位移点”的运算规则，将新定义转化为坐标之间的数量关系，再结合点所在象限、线段上点的坐标特征、面积公式等条件逐步推导，注意不要遗漏整数坐标、象限限制等隐含条件的筛选。
【难度系数】
0.55
(1) 依据“a级位移点”的定义，两点横坐标的差、纵坐标的差均等于a，将点C和点M的坐标直接代入计算，即可求出a和m的值。
(2) 先分析线段CD的坐标特征：线段CD上所有点的横坐标均为2，纵坐标的取值范围是-3≤y≤1。设点N的a级位移点坐标，结合位移点定义将位移点的纵坐标用含n的式子表示，再根据纵坐标的取值范围列不等式求解，即可得到n的取值范围。
(3) 首先计算线段CD的长度，结合三角形CDQ的面积求出点Q到直线CD的距离，再由CD是过x=2的竖线，确定Q的横坐标；结合Q在第三象限、到x轴的距离不大于4的条件，确定Q纵坐标的取值范围；最后根据位移点定义、P在第四象限且横纵坐标均为整数的条件，逐一筛选得到所有符合要求的点P的坐标。
【解析】
(1)
∵点C(2,1)是点M(-1,m)的a级位移点，根据定义得：
$a = 2 - (-1) = 3$，
同时$a = 1 - m$，即$3 = 1 - m$，解得$m = -2$。
(2)
∵$C(2,1)$，$D(2,-3)$，
∴线段CD上的点横坐标均为2，纵坐标满足$-3≤y≤1$。
设点$N(n,2n-1)$的a级位移点为$(2,y)$，根据位移点定义：
$2 - n = y - (2n - 1) = a$，
整理得$y = n + 1$，
∵$-3≤y≤1$，
∴$-3≤n+1≤1$，解得$-4≤n≤0$。
(3) 先求线段CD的长度：$CD = 1 - (-3) = 4$，
设点Q到CD的距离为h，
∵$S_{△ CDQ} = \frac{1}{2} × CD × h = 6$，
代入得$\frac{1}{2} × 4 × h = 6$，解得$h = 3$。
∵CD在直线$x=2$上，且Q在第三象限，横坐标小于0，
∴点Q的横坐标为$2 - 3 = -1$，即$Q(-1,d)$。
∵Q在第三象限，且到x轴的距离不大于4，
∴$-4≤d＜0$，且d为整数。
根据a级位移点定义：$-1 - x = d - y$，整理得$y = x + d + 1$。
∵点$P(x,y)$在第四象限，
∴$x＞0$，$y＜0$，且x、y均为整数，对d的取值分类讨论：
①当$d=-4$时，$y = x - 3$：
$x=1$时，$y=-2$，符合要求，$P(1,-2)$；
$x=2$时，$y=-1$，符合要求，$P(2,-1)$；
$x≥3$时，$y≥0$，不符合要求，舍去。
②当$d=-3$时，$y = x - 2$：
$x=1$时，$y=-1$，符合要求，$P(1,-1)$；
$x≥2$时，$y≥0$，不符合要求，舍去。
③当$d=-2$时，$y = x - 1$，$x＞0$时$y≥0$，均不符合要求，舍去。
④当$d=-1$时，$y = x$，$x＞0$时$y＞0$，均不符合要求，舍去。
综上，得到所有符合条件的点P坐标。
【答案】
(1) $3$，$-2$；(2) $-4≤n≤0$；(3) $(1,-2)$、$(2,-1)$、$(1,-1)$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系中点的特征，三角形面积计算
【点评】
本题结合新定义综合考查了平面直角坐标系的相关知识，解题的关键是准确理解“a级位移点”的运算规则，将新定义转化为坐标之间的数量关系，再结合点所在象限、线段上点的坐标特征、面积公式等条件逐步推导，注意不要遗漏整数坐标、象限限制等隐含条件的筛选。
【难度系数】
0.55
