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15. 甲骑电动摩托车，乙骑自行车从同一公园门口出发沿同一路线匀速游玩. 设乙行驶的时间为$ x $(单位:h)，甲、乙两人距出发点的路程$ s_甲 $、$ s_乙 $关于$ x $的函数图象如图(1)所示，甲、乙两人之间的路程差$ y $(单位:km)关于$ x $(单位:h)的函数图象如图(2)所示. 请你解决以下问题：
(1)甲的速度是
(2)分别求出$ s_甲 $、$ s_乙 $关于$ x $的函数解析式；
(3)对比图(1)、图(2)可知：$ a= $
(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10 km？
(1)甲的速度是
30
km/h，乙的速度是12
km/h；(2)分别求出$ s_甲 $、$ s_乙 $关于$ x $的函数解析式；
(3)对比图(1)、图(2)可知：$ a= $
12
，$ b= $$\dfrac{5}{3}$
，$ c= $24
；(4)乙出发多少小时，甲、乙两人相距10 km？
答案
15.(1)30 12
(2)解:设$s_甲=k_1x+b$,将$(1,0),(3,60)$代入解析式,得$\begin{cases}k_1+b=0,\\3k_1+b=60,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=30,\\b=-30.\end{cases}$
$\therefore s_甲=30x-30(1≤ x≤3).$
设$s_乙=k_2x$,将$(5,60)$代入解析式,得$5k_2=60.$解得$k_2=12. \therefore s_乙=12x(0≤ x≤5).$
(3)$12\quad\dfrac{5}{3}\quad24$
(4)解:根据题意,得当甲还没出发时,$12x=10$,解得$x=\dfrac{5}{6}.$
当甲出发后,追上乙前,$12x-(30x-30)=10$,解得$x=\dfrac{10}{9}.$
当甲追上乙后,还没到终点前,$30x-30-12x=10$,解得$x=\dfrac{20}{9}.$
当甲到达终点后,乙还没到终点前,$12x=60-10$,解得$x=\dfrac{25}{6}.$
综上所述,乙出发$\dfrac{5}{6}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{10}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{20}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{h}$时,甲、乙两人相距10 km.
(2)解:设$s_甲=k_1x+b$,将$(1,0),(3,60)$代入解析式,得$\begin{cases}k_1+b=0,\\3k_1+b=60,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=30,\\b=-30.\end{cases}$
$\therefore s_甲=30x-30(1≤ x≤3).$
设$s_乙=k_2x$,将$(5,60)$代入解析式,得$5k_2=60.$解得$k_2=12. \therefore s_乙=12x(0≤ x≤5).$
(3)$12\quad\dfrac{5}{3}\quad24$
(4)解:根据题意,得当甲还没出发时,$12x=10$,解得$x=\dfrac{5}{6}.$
当甲出发后,追上乙前,$12x-(30x-30)=10$,解得$x=\dfrac{10}{9}.$
当甲追上乙后,还没到终点前,$30x-30-12x=10$,解得$x=\dfrac{20}{9}.$
当甲到达终点后,乙还没到终点前,$12x=60-10$,解得$x=\dfrac{25}{6}.$
综上所述,乙出发$\dfrac{5}{6}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{10}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{20}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{h}$时,甲、乙两人相距10 km.
解析
【分析】
1. 求速度：根据路程=速度×时间，从图像提取甲、乙的行驶路程和对应时间即可计算，甲2小时行驶60km，乙5小时行驶60km，直接相除可得速度。
2. 求函数解析式：$s_甲$是一次函数，找到图像经过的两个点$(1,0)$和$(3,60)$，用待定系数法列方程组求解即可；$s_乙$是正比例函数，代入点$(5,60)$即可求出比例系数。
3. 求$a、b、c$的值：$a$对应甲刚出发（$x=1$）时两人的路程差，即乙1小时行驶的路程；$b$对应两人路程差为0（相遇）时的$x$值，令$s_甲=s_乙$解方程即可；$c$对应甲到达终点（$x=3$）时两人的路程差，用甲的路程减去乙3小时行驶的路程即可。
4. 相距10km的情况：分四个时间段讨论：①甲未出发（$0≤x＜1$），仅乙行驶，路程差为乙的路程；②甲出发后未追上乙（$1≤x＜\frac{5}{3}$），路程差为$s_乙-s_甲$；③甲追上乙后未到终点（$\frac{5}{3}≤x＜3$），路程差为$s_甲-s_乙$；④甲到达终点后乙未到终点（$3≤x≤5$），路程差为$60-s_乙$，分别列方程求解后检验解是否在对应区间即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$60÷(3-1)=30\ \mathrm{km/h}$，乙的速度：$60÷5=12\ \mathrm{km/h}$。
(2) 设$s_甲=k_1x+b$，将$(1,0),(3,60)$代入解析式，得
$\begin{cases}k_1+b=0,\\3k_1+b=60,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=30,\\b=-30.\end{cases}$
$\therefore s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$。
设$s_乙=k_2x$，将$(5,60)$代入解析式，得$5k_2=60$，解得$k_2=12$。
$\therefore s_乙=12x(0≤ x≤5)$。
(3) $a$是$x=1$时两人的路程差：$12×1=12$；
$b$是两人相遇时的$x$值，令$s_甲=s_乙$，即$30x-30=12x$，解得$x=\dfrac{5}{3}$；
$c$是$x=3$时两人的路程差：$60-12×3=24$。
(4) 分四种情况讨论：
①当甲还没出发时（$0≤ x＜1$），$12x=10$，解得$x=\dfrac{5}{6}$，符合取值范围；
②当甲出发后，追上乙前（$1≤ x＜\dfrac{5}{3}$），$12x-(30x-30)=10$，解得$x=\dfrac{10}{9}$，符合取值范围；
③当甲追上乙后，还没到终点前（$\dfrac{5}{3}≤ x＜3$），$30x-30-12x=10$，解得$x=\dfrac{20}{9}$，符合取值范围；
④当甲到达终点后，乙还没到终点前（$3≤ x≤5$），$60-12x=10$，解得$x=\dfrac{25}{6}$，符合取值范围。
综上所述，乙出发对应时间满足要求。
【答案】
(1) $30$，$12$
(2) $s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$，$s_乙=12x(0≤ x≤5)$
(3) $12$，$\dfrac{5}{3}$，$24$
(4) $\dfrac{5}{6}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{10}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{20}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，需要学生准确从图像中提取时间、路程等有效信息，求解时注意不同时间段对应的函数关系，分情况讨论时要检验解的合理性，避免漏解，对图像分析能力和逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 求速度：根据路程=速度×时间，从图像提取甲、乙的行驶路程和对应时间即可计算，甲2小时行驶60km，乙5小时行驶60km，直接相除可得速度。
2. 求函数解析式：$s_甲$是一次函数，找到图像经过的两个点$(1,0)$和$(3,60)$，用待定系数法列方程组求解即可；$s_乙$是正比例函数，代入点$(5,60)$即可求出比例系数。
3. 求$a、b、c$的值：$a$对应甲刚出发（$x=1$）时两人的路程差，即乙1小时行驶的路程；$b$对应两人路程差为0（相遇）时的$x$值，令$s_甲=s_乙$解方程即可；$c$对应甲到达终点（$x=3$）时两人的路程差，用甲的路程减去乙3小时行驶的路程即可。
4. 相距10km的情况：分四个时间段讨论：①甲未出发（$0≤x＜1$），仅乙行驶，路程差为乙的路程；②甲出发后未追上乙（$1≤x＜\frac{5}{3}$），路程差为$s_乙-s_甲$；③甲追上乙后未到终点（$\frac{5}{3}≤x＜3$），路程差为$s_甲-s_乙$；④甲到达终点后乙未到终点（$3≤x≤5$），路程差为$60-s_乙$，分别列方程求解后检验解是否在对应区间即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$60÷(3-1)=30\ \mathrm{km/h}$，乙的速度：$60÷5=12\ \mathrm{km/h}$。
(2) 设$s_甲=k_1x+b$，将$(1,0),(3,60)$代入解析式，得
$\begin{cases}k_1+b=0,\\3k_1+b=60,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=30,\\b=-30.\end{cases}$
$\therefore s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$。
设$s_乙=k_2x$，将$(5,60)$代入解析式，得$5k_2=60$，解得$k_2=12$。
$\therefore s_乙=12x(0≤ x≤5)$。
(3) $a$是$x=1$时两人的路程差：$12×1=12$；
$b$是两人相遇时的$x$值，令$s_甲=s_乙$，即$30x-30=12x$，解得$x=\dfrac{5}{3}$；
$c$是$x=3$时两人的路程差：$60-12×3=24$。
(4) 分四种情况讨论：
①当甲还没出发时（$0≤ x＜1$），$12x=10$，解得$x=\dfrac{5}{6}$，符合取值范围；
②当甲出发后，追上乙前（$1≤ x＜\dfrac{5}{3}$），$12x-(30x-30)=10$，解得$x=\dfrac{10}{9}$，符合取值范围；
③当甲追上乙后，还没到终点前（$\dfrac{5}{3}≤ x＜3$），$30x-30-12x=10$，解得$x=\dfrac{20}{9}$，符合取值范围；
④当甲到达终点后，乙还没到终点前（$3≤ x≤5$），$60-12x=10$，解得$x=\dfrac{25}{6}$，符合取值范围。
综上所述，乙出发对应时间满足要求。
【答案】
(1) $30$，$12$
(2) $s_甲=30x-30(1≤ x≤3)$，$s_乙=12x(0≤ x≤5)$
(3) $12$，$\dfrac{5}{3}$，$24$
(4) $\dfrac{5}{6}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{10}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{20}{9}\ \mathrm{h}$或$\dfrac{25}{6}\ \mathrm{h}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法，分类讨论思想
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，需要学生准确从图像中提取时间、路程等有效信息，求解时注意不同时间段对应的函数关系，分情况讨论时要检验解的合理性，避免漏解，对图像分析能力和逻辑思维能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
