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13.在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$和$Q(x,y')$,给出如下定义:若$y'=\begin{cases} y(x≥0), \\ -y(x＜0), \end{cases}$则称点$Q$为点$P$的“可控变点”.
(1)点$(-3,4)$的“可控变点”的坐标为________;
(2)若点$N(m,2)$是函数$y=x-1$图象上点$M$的“可控变点”,则点$M$的坐标为________.
(1)点$(-3,4)$的“可控变点”的坐标为________;
(2)若点$N(m,2)$是函数$y=x-1$图象上点$M$的“可控变点”,则点$M$的坐标为________.
答案
13.(1)$(-3,-4)$ (2)$(3,2),(-1,-2)$
解析
【分析】
解题核心是准确理解“可控变点”的定义，根据点横坐标的正负选择对应的纵坐标变换规则。(1)直接判断给定点横坐标的符号，代入对应规则计算即可得结果；(2)需分点M的横坐标大于等于0、小于0两种情况讨论，分别根据定义得到点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求解，最终验证结果符合横坐标范围即可。
【解析】
(1) 点$(-3,4)$的横坐标$x=-3＜0$，根据“可控变点”定义可得$y'=-y=-4$，因此该点的“可控变点”坐标为$(-3,-4)$。
(2) 设点M的横坐标为$m$，分两种情况讨论：
① 当$m≥0$时，根据定义，点M的纵坐标与点N的纵坐标相等，即点M纵坐标为2。
因为点M在$y=x-1$图象上，将$y=2$代入解析式得：$2=m-1$，解得$m=3$，符合$m≥0$，此时M坐标为$(3,2)$。
② 当$m＜0$时，根据定义，点N的纵坐标是点M纵坐标的相反数，即点M纵坐标为$-2$。
将$y=-2$代入解析式得：$-2=m-1$，解得$m=-1$，符合$m＜0$，此时M坐标为$(-1,-2)$。
综上，点M的坐标为$(3,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(-3,-4)$；(2)$(3,2),(-1,-2)$
【知识点】
新定义问题，一次函数点坐标特征，分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景，既考查对新规则的阅读理解能力，也考查一次函数的基本应用，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确理解“可控变点”的定义，根据点横坐标的正负选择对应的纵坐标变换规则。(1)直接判断给定点横坐标的符号，代入对应规则计算即可得结果；(2)需分点M的横坐标大于等于0、小于0两种情况讨论，分别根据定义得到点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求解，最终验证结果符合横坐标范围即可。
【解析】
(1) 点$(-3,4)$的横坐标$x=-3＜0$，根据“可控变点”定义可得$y'=-y=-4$，因此该点的“可控变点”坐标为$(-3,-4)$。
(2) 设点M的横坐标为$m$，分两种情况讨论：
① 当$m≥0$时，根据定义，点M的纵坐标与点N的纵坐标相等，即点M纵坐标为2。
因为点M在$y=x-1$图象上，将$y=2$代入解析式得：$2=m-1$，解得$m=3$，符合$m≥0$，此时M坐标为$(3,2)$。
② 当$m＜0$时，根据定义，点N的纵坐标是点M纵坐标的相反数，即点M纵坐标为$-2$。
将$y=-2$代入解析式得：$-2=m-1$，解得$m=-1$，符合$m＜0$，此时M坐标为$(-1,-2)$。
综上，点M的坐标为$(3,2)$或$(-1,-2)$。
【答案】
(1)$(-3,-4)$；(2)$(3,2),(-1,-2)$
【知识点】
新定义问题，一次函数点坐标特征，分类讨论
【点评】
本题以新定义为背景，既考查对新规则的阅读理解能力，也考查一次函数的基本应用，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14.（跨学科融合）在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛同时点燃.甲蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:$\mathrm{cm}$)与燃烧时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的关系为$y=-16x+32$，其图象如图所示，乙蜡烛点燃前的长度为$24\ \mathrm{cm}$，点燃$1\ \mathrm{h}$时两根蜡烛剩余的长度相同.
(1)甲蜡烛点燃前的长度是$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，从点燃到燃尽所用的时间是$\_\_\_\_\_\_\mathrm{h}$；
(2)求乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:$\mathrm{cm}$)与燃烧时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数解析式，并在图示坐标系中画出该函数的图象；
(3)请通过计算说明哪根蜡烛先燃尽，并求出此时另一根蜡烛还剩余多长.
(1)甲蜡烛点燃前的长度是$\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，从点燃到燃尽所用的时间是$\_\_\_\_\_\_\mathrm{h}$；
(2)求乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$(单位:$\mathrm{cm}$)与燃烧时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数解析式，并在图示坐标系中画出该函数的图象；
(3)请通过计算说明哪根蜡烛先燃尽，并求出此时另一根蜡烛还剩余多长.
答案
14.(1)32 2
(2)解:乙蜡烛点燃前的长度为24 cm,1 h时两根蜡烛剩余长度相同，
$\therefore$把$x=1$代入$y=-16x+32$,得$y=16.$
由题意,设乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$与燃烧时间$x$之间的函数解析式为$y=kx+24(k≠0),$
把$(1,16)$代入解析式,得$16=k+24.$解得$k=-8. \therefore y=-8x+24.$作图如图所示.
(3)解:乙蜡烛燃烧时剩余的长度$y$与燃烧时间$x$之间的函数解析式为$y=-8x+24$,
令$y=0$,则$-8x+24=0.$解得$x=3＞2.$
由(1),可知甲蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是2 h,
当$x=2$时,$-8x+24=-8×2+24=8(\mathrm{cm}),$
$\therefore$甲蜡烛先燃尽,此时另一根蜡烛还剩余8 cm.
解析
【分析】
(1) 求甲蜡烛点燃前的长度，即燃烧时间x=0时的剩余长度，直接代入甲的函数解析式即可求解；求燃尽时间，即剩余长度y=0时对应的x值，代入解析式计算即可。
(2) 乙蜡烛剩余长度和燃烧时间是一次函数关系，已知乙初始长度为24cm，即x=0时y=24，因此可设解析式为y=kx+24；再根据“点燃1h时两根蜡烛剩余长度相同”，先计算x=1时甲的剩余长度，得到乙函数图象上的一个点，代入解析式求出k即可得到乙的函数式；画图象时找到x=0、y=0对应的两个点，连线即可。
(3) 蜡烛燃尽时剩余长度y=0，分别代入甲乙的解析式求出燃尽对应的x，x值更小的蜡烛先燃尽；再将先燃尽的时间代入另一根蜡烛的解析式，得到的y值就是剩余长度。
【解析】
(1) 对于甲蜡烛的函数解析式$y=-16x+32$：
当$x=0$时，$y=32$，即甲点燃前的长度为32cm；
当$y=0$时，$0=-16x+32$，解得$x=2$，即甲从点燃到燃尽需要2h。
(2) 先计算$x=1$时甲的剩余长度：把$x=1$代入$y=-16x+32$，得$y=-16×1+32=16$，即$x=1$时乙的剩余长度也为16cm。
设乙蜡烛的函数解析式为$y=kx+b$，已知乙点燃前长度为24cm，即$x=0$时$y=24$，因此$b=24$，解析式可写为$y=kx+24$。
将点$(1,16)$代入解析式得：$16=k+24$，解得$k=-8$，因此乙的函数解析式为$y=-8x+24$。
作图时取$x=0$得$y=24$，取$y=0$得$x=3$，连接点$(0,24)$和$(3,0)$即可得到乙的函数图象。
(3) 对于乙的解析式$y=-8x+24$，令$y=0$，得$-8x+24=0$，解得$x=3$。
已知甲燃尽时间为2h，$2＜3$，因此甲蜡烛先燃尽。
当$x=2$时，代入乙的解析式得$y=-8×2+24=8(\mathrm{cm})$，即此时乙蜡烛剩余8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{2}$
(2) 乙蜡烛燃烧时剩余长度与燃烧时间的函数解析式为$\boldsymbol{y=-8x+24}$，作图如下：
(3) 甲蜡烛先燃尽，此时另一根蜡烛还剩余$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合蜡烛燃烧的生活场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解一次函数中自变量和因变量的实际意义，结合已知条件逐步求解，侧重考查基础知识的运用和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求甲蜡烛点燃前的长度，即燃烧时间x=0时的剩余长度，直接代入甲的函数解析式即可求解；求燃尽时间，即剩余长度y=0时对应的x值，代入解析式计算即可。
(2) 乙蜡烛剩余长度和燃烧时间是一次函数关系，已知乙初始长度为24cm，即x=0时y=24，因此可设解析式为y=kx+24；再根据“点燃1h时两根蜡烛剩余长度相同”，先计算x=1时甲的剩余长度，得到乙函数图象上的一个点，代入解析式求出k即可得到乙的函数式；画图象时找到x=0、y=0对应的两个点，连线即可。
(3) 蜡烛燃尽时剩余长度y=0，分别代入甲乙的解析式求出燃尽对应的x，x值更小的蜡烛先燃尽；再将先燃尽的时间代入另一根蜡烛的解析式，得到的y值就是剩余长度。
【解析】
(1) 对于甲蜡烛的函数解析式$y=-16x+32$：
当$x=0$时，$y=32$，即甲点燃前的长度为32cm；
当$y=0$时，$0=-16x+32$，解得$x=2$，即甲从点燃到燃尽需要2h。
(2) 先计算$x=1$时甲的剩余长度：把$x=1$代入$y=-16x+32$，得$y=-16×1+32=16$，即$x=1$时乙的剩余长度也为16cm。
设乙蜡烛的函数解析式为$y=kx+b$，已知乙点燃前长度为24cm，即$x=0$时$y=24$，因此$b=24$，解析式可写为$y=kx+24$。
将点$(1,16)$代入解析式得：$16=k+24$，解得$k=-8$，因此乙的函数解析式为$y=-8x+24$。
作图时取$x=0$得$y=24$，取$y=0$得$x=3$，连接点$(0,24)$和$(3,0)$即可得到乙的函数图象。
(3) 对于乙的解析式$y=-8x+24$，令$y=0$，得$-8x+24=0$，解得$x=3$。
已知甲燃尽时间为2h，$2＜3$，因此甲蜡烛先燃尽。
当$x=2$时，代入乙的解析式得$y=-8×2+24=8(\mathrm{cm})$，即此时乙蜡烛剩余8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{2}$
(2) 乙蜡烛燃烧时剩余长度与燃烧时间的函数解析式为$\boldsymbol{y=-8x+24}$，作图如下：
(3) 甲蜡烛先燃尽，此时另一根蜡烛还剩余$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的图像与性质
【点评】
本题结合蜡烛燃烧的生活场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解一次函数中自变量和因变量的实际意义，结合已知条件逐步求解，侧重考查基础知识的运用和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
