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7. 已知正比例函数$y=(k-1)x$的图象经过第二、四象限，那么$k$的取值范围是
$k＜1$
.答案
7.$k＜1$
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=ax$（$a$为常数且$a≠0$）的图象是过原点的直线，当$a＞0$时，图象经过第一、三象限；当$a＜0$时，图象经过第二、四象限。本题已知函数图象过第二、四象限，因此可得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于正比例函数$y=(k-1)x$，其图象经过第二、四象限，根据正比例函数的性质可知比例系数小于0，即：
$k-1＜0$
移项解得：$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查正比例函数图象的象限分布与比例系数正负的对应关系，只要牢记相关性质，准确列解不等式即可快速得出答案，出错点多为混淆不同象限对应的系数正负情况。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=ax$（$a$为常数且$a≠0$）的图象是过原点的直线，当$a＞0$时，图象经过第一、三象限；当$a＜0$时，图象经过第二、四象限。本题已知函数图象过第二、四象限，因此可得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
对于正比例函数$y=(k-1)x$，其图象经过第二、四象限，根据正比例函数的性质可知比例系数小于0，即：
$k-1＜0$
移项解得：$k＜1$
【答案】
$k＜1$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，重点考查正比例函数图象的象限分布与比例系数正负的对应关系，只要牢记相关性质，准确列解不等式即可快速得出答案，出错点多为混淆不同象限对应的系数正负情况。
【难度系数】
0.85
8.若点$A(4,y_1)$，$B(6,y_2)$都在函数$y=(-a^2 - 1)x + 2$的图象上，则$y_1$
$＞$
$y_2$.(选填“＞”或“＜”)答案
8.$＞$
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，所以第一步先判断所给函数一次项系数$-a^2-1$的正负：根据平方的非负性，$a^2$恒大于等于0，可推出$-a^2-1$是负数，说明该函数y随x的增大而减小。接下来比较两个点的横坐标大小，横坐标更小的点对应的函数值更大，就能得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）：
1. 判断一次项系数符号：
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2\ge0$
$\therefore -a^2\le0$，进一步可得$-a^2-1\le-1＜0$，即$k＜0$
$\therefore$ 函数$y=(-a^2 - 1)x + 2$的y值随x的增大而减小
2. 比较函数值大小：
$\because$ 点$A(4,y_1)$、$B(6,y_2)$都在函数图象上，且横坐标$4＜6$
$\therefore$ 根据函数的递减性可得$y_1＞y_2$
【答案】
$＞$
【知识点】
一次函数的增减性，平方的非负性
【点评】
本题是一次函数性质的基础考查题，解题关键是先通过平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合函数增减性和自变量的大小关系比较函数值，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，所以第一步先判断所给函数一次项系数$-a^2-1$的正负：根据平方的非负性，$a^2$恒大于等于0，可推出$-a^2-1$是负数，说明该函数y随x的增大而减小。接下来比较两个点的横坐标大小，横坐标更小的点对应的函数值更大，就能得出$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k\ne0$）：
1. 判断一次项系数符号：
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2\ge0$
$\therefore -a^2\le0$，进一步可得$-a^2-1\le-1＜0$，即$k＜0$
$\therefore$ 函数$y=(-a^2 - 1)x + 2$的y值随x的增大而减小
2. 比较函数值大小：
$\because$ 点$A(4,y_1)$、$B(6,y_2)$都在函数图象上，且横坐标$4＜6$
$\therefore$ 根据函数的递减性可得$y_1＞y_2$
【答案】
$＞$
【知识点】
一次函数的增减性，平方的非负性
【点评】
本题是一次函数性质的基础考查题，解题关键是先通过平方的非负性确定一次项系数的正负，再结合函数增减性和自变量的大小关系比较函数值，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
9. 下列函数:①$y=3x$;②$y=\dfrac{-7}{x}$;③$y=3x^2$;④$y=8x+1$,其中一次函数有________,正比例函数有________.(请填写序号)
答案
9.一次函数有①④，正比例函数有①
解析
【分析】
解题时首先要明确一次函数和正比例函数的定义，再依次对每个函数进行判断。一次函数的定义为形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数，自变量的次数为1；正比例函数是特殊的一次函数，即当一次函数中$b=0$时，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数。接下来先判断每个函数是否符合一次函数的特征，再从一次函数中筛选出常数项为0的函数即为正比例函数。
【解析】
首先明确两个函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），是$b=0$的特殊一次函数。
逐个分析所给函数：
①$y=3x$：满足$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$），既是正比例函数，也属于一次函数；
②$y=\dfrac{-7}{x}$：自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不是一次函数；
③$y=3x^2$：自变量$x$的次数为2，属于二次函数，不是一次函数；
④$y=8x+1$：满足$y=kx+b$（$k=8≠0$，$b=1$），属于一次函数，不是正比例函数。
综上，一次函数有①④，正比例函数有①。
【答案】
一次函数有①④，正比例函数有①
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一次函数和正比例函数概念的辨析，要注意正比例函数是特殊的一次函数，判断时优先看自变量的次数是否为1，再看常数项是否为0，同时要注意区分一次函数与反比例、二次等其他类型函数的形式差异。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一次函数和正比例函数的定义，再依次对每个函数进行判断。一次函数的定义为形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数，自变量的次数为1；正比例函数是特殊的一次函数，即当一次函数中$b=0$时，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数。接下来先判断每个函数是否符合一次函数的特征，再从一次函数中筛选出常数项为0的函数即为正比例函数。
【解析】
首先明确两个函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），自变量$x$的次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），是$b=0$的特殊一次函数。
逐个分析所给函数：
①$y=3x$：满足$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$），既是正比例函数，也属于一次函数；
②$y=\dfrac{-7}{x}$：自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不是一次函数；
③$y=3x^2$：自变量$x$的次数为2，属于二次函数，不是一次函数；
④$y=8x+1$：满足$y=kx+b$（$k=8≠0$，$b=1$），属于一次函数，不是正比例函数。
综上，一次函数有①④，正比例函数有①。
【答案】
一次函数有①④，正比例函数有①
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一次函数和正比例函数概念的辨析，要注意正比例函数是特殊的一次函数，判断时优先看自变量的次数是否为1，再看常数项是否为0，同时要注意区分一次函数与反比例、二次等其他类型函数的形式差异。
【难度系数】
0.9
10.某水果店销售某种水果,销售额y(单位:元)与销售量x(单位:kg)之间的函数关系如图所示.若王叔叔从该水果店一次性购买25 kg该种水果,需要付款
220
元.答案
10.220
解析
【分析】
观察函数图像可知销售额y与销售量x是分段函数关系：当0≤x≤10时为正比例函数，单价为10元/kg；当x＞10时为一次函数。要计算购买25kg水果的付款金额，25＞10，因此先利用图像上的已知点(10,100)和(20,180)，用待定系数法求出x＞10时的一次函数解析式，再将x=25代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：由图像可知，当销售量x＞10kg时，设y与x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）。
将A(10,100)、B(20,180)代入解析式，得：
$\begin{cases}10k + b = 100 \\20k + b = 180 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得10k=80，解得k=8。
将k=8代入10k + b = 100，得80 + b=100，解得b=20。
因此当x＞10时，函数解析式为y=8x+20。
当x=25时，代入得y=8×25 +20=220。
【答案】
220
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的实际应用，解题关键是明确分段函数的自变量取值范围，利用图像上的已知点求出对应区间的函数解析式，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
观察函数图像可知销售额y与销售量x是分段函数关系：当0≤x≤10时为正比例函数，单价为10元/kg；当x＞10时为一次函数。要计算购买25kg水果的付款金额，25＞10，因此先利用图像上的已知点(10,100)和(20,180)，用待定系数法求出x＞10时的一次函数解析式，再将x=25代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：由图像可知，当销售量x＞10kg时，设y与x的函数解析式为y=kx+b（k≠0）。
将A(10,100)、B(20,180)代入解析式，得：
$\begin{cases}10k + b = 100 \\20k + b = 180 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得10k=80，解得k=8。
将k=8代入10k + b = 100，得80 + b=100，解得b=20。
因此当x＞10时，函数解析式为y=8x+20。
当x=25时，代入得y=8×25 +20=220。
【答案】
220
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的实际应用，解题关键是明确分段函数的自变量取值范围，利用图像上的已知点求出对应区间的函数解析式，再代入数值计算即可。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(-5,0), B(-1,4) $。
(1)求点 $ D $ 的坐标；
(2)求直线 $ CE: y = -2x - 4 $、直线 $ AB $ 及 $ y $ 轴围成图形的面积。
(1)求点 $ D $ 的坐标；
(2)求直线 $ CE: y = -2x - 4 $、直线 $ AB $ 及 $ y $ 轴围成图形的面积。
答案
11.解:(1)$\because$直线$y=kx+b$经过点$A(-5,0),B(-1,4)$,$\therefore\begin{cases}-5k+b=0,\\-k+b=4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\b=5.\end{cases}$
$\therefore y=x+5.$
当$x=0$时,$y=5$,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,5).$
(2)$\because$直线$y=-2x-4$与直线$AB$相交于点$C$,
$\therefore\begin{cases}y=-2x-4,\\y=x+5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3,\\y=2.\end{cases}$ 故点$C(-3,2).$
$\because$直线$y=-2x-4$交$y$轴于点$E$,$\therefore E(0,-4).$
$\therefore$直线$CE:y=-2x-4$、直线$AB$及$y$轴围成图形的面积为$\dfrac{1}{2}DE|x_C|=\dfrac{1}{2}×9×3=\dfrac{27}{2}.$
$\therefore y=x+5.$
当$x=0$时,$y=5$,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,5).$
(2)$\because$直线$y=-2x-4$与直线$AB$相交于点$C$,
$\therefore\begin{cases}y=-2x-4,\\y=x+5.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-3,\\y=2.\end{cases}$ 故点$C(-3,2).$
$\because$直线$y=-2x-4$交$y$轴于点$E$,$\therefore E(0,-4).$
$\therefore$直线$CE:y=-2x-4$、直线$AB$及$y$轴围成图形的面积为$\dfrac{1}{2}DE|x_C|=\dfrac{1}{2}×9×3=\dfrac{27}{2}.$
解析
【分析】
(1) 要得到点D的坐标，首先需确定直线AB的解析式：已知直线AB过A、B两点，可利用待定系数法，将两点坐标代入$y=kx+b$，解方程组求出k、b，得到解析式后令x=0，即可得到y轴交点D的坐标。
(2) 求两条直线与y轴围成图形的面积，首先要确定三个关键点：两直线的交点C、两直线分别与y轴的交点D和E。先联立两条直线的解析式求解得到C点坐标，再求出直线CE与y轴的交点E坐标；观察可知围成的图形为三角形CDE，底为DE的长度（y轴上两点纵坐标差的绝对值），高为C点横坐标的绝对值（C到y轴的距离），代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 将点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-5k+b=0\\-k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=5\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=x+5$。
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=5$，即$D(0,5)$。
(2) 联立直线CE与直线AB的解析式：
$\begin{cases}y=-2x-4\\y=x+5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}$，即交点$C(-3,2)$。
直线$y=-2x-4$与y轴交点E，令$x=0$，得$y=-4$，即$E(0,-4)$。
围成的三角形CDE中，$DE=|5-(-4)|=9$，C到y轴的距离为$|-3|=3$，则面积为：
$S=\dfrac{1}{2}× DE× |x_C|=\dfrac{1}{2}×9×3=\dfrac{27}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,5)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{27}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点求解；坐标系面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是先求出相关直线解析式、交点坐标，再结合图形特征计算面积，熟练掌握一次函数的基本性质和待定系数法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到点D的坐标，首先需确定直线AB的解析式：已知直线AB过A、B两点，可利用待定系数法，将两点坐标代入$y=kx+b$，解方程组求出k、b，得到解析式后令x=0，即可得到y轴交点D的坐标。
(2) 求两条直线与y轴围成图形的面积，首先要确定三个关键点：两直线的交点C、两直线分别与y轴的交点D和E。先联立两条直线的解析式求解得到C点坐标，再求出直线CE与y轴的交点E坐标；观察可知围成的图形为三角形CDE，底为DE的长度（y轴上两点纵坐标差的绝对值），高为C点横坐标的绝对值（C到y轴的距离），代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 将点$A(-5,0)$、$B(-1,4)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}-5k+b=0\\-k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=5\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=x+5$。
点D是直线AB与y轴的交点，令$x=0$，得$y=5$，即$D(0,5)$。
(2) 联立直线CE与直线AB的解析式：
$\begin{cases}y=-2x-4\\y=x+5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}$，即交点$C(-3,2)$。
直线$y=-2x-4$与y轴交点E，令$x=0$，得$y=-4$，即$E(0,-4)$。
围成的三角形CDE中，$DE=|5-(-4)|=9$，C到y轴的距离为$|-3|=3$，则面积为：
$S=\dfrac{1}{2}× DE× |x_C|=\dfrac{1}{2}×9×3=\dfrac{27}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,5)}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{27}{2}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点求解；坐标系面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础应用题，解题核心是先求出相关直线解析式、交点坐标，再结合图形特征计算面积，熟练掌握一次函数的基本性质和待定系数法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
12.小刚家的水龙头坏了，一直滴水.他发现22时以后由于水压变高，滴水速度变快了，到了次日7时滴水速度又变慢了，于是他分不同的时段统计了滴水量如下表：
表1 7时到22时
表2 22时到次日7时
试写出$V$关于$t$的函数解析式，并据此估算小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量.
表1 7时到22时
表2 22时到次日7时
试写出$V$关于$t$的函数解析式，并据此估算小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量.
答案
12.解:7时到22时:$V_1=5t(t≥0)$;22时到次日7时:$V_2=8t(t≥0).$
$\therefore V=V_1+V_2=5×60×15+8×60×9=8\ 820(\mathrm{mL}).$
$\therefore$小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为$8\ 820\ \mathrm{mL}.$
$\therefore V=V_1+V_2=5×60×15+8×60×9=8\ 820(\mathrm{mL}).$
$\therefore$小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为$8\ 820\ \mathrm{mL}.$
解析
【分析】
解题时首先明确漏水分为两个不同速度的时段，需分段计算漏水量后求和。第一步先分别计算两个时段的总时长：7时到22时的时长为22-7=15小时，22时到次日7时的时长为(24-22)+7=9小时；第二步结合给出的两个时段滴水量与时间的函数关系，将时长换算为分钟后分别代入计算对应漏水量；最后将两个时段的漏水量相加，即可得到一天的总漏水量。
【解析】
解：首先确定两个滴水时段的时长：
1. 7时到22时的时长：$22 - 7 = 15$小时，该时段滴水量与时间的函数为$V_1=5t$（t单位：分钟，V单位：mL），将时长换算为分钟后计算漏水量：
$V_1=5×15×60=4500\ \mathrm{mL}$
2. 22时到次日7时的时长：$(24-22)+7=9$小时，该时段滴水量与时间的函数为$V_2=8t$（t单位：分钟，V单位：mL），换算单位后计算漏水量：
$V_2=8×9×60=4320\ \mathrm{mL}$
3. 一天总漏水量为两个时段漏水量之和：
$V=V_1+V_2=4500+4320=8820\ \mathrm{mL}$
【答案】
小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为$\boxed{8820\ \mathrm{mL}}$。
【知识点】
分段函数应用；一次函数实际应用；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的漏水场景命题，解题核心是准确区分不同时段的滴水速度和对应时长，注意时间单位的换算即可顺利求解，能够很好地考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确漏水分为两个不同速度的时段，需分段计算漏水量后求和。第一步先分别计算两个时段的总时长：7时到22时的时长为22-7=15小时，22时到次日7时的时长为(24-22)+7=9小时；第二步结合给出的两个时段滴水量与时间的函数关系，将时长换算为分钟后分别代入计算对应漏水量；最后将两个时段的漏水量相加，即可得到一天的总漏水量。
【解析】
解：首先确定两个滴水时段的时长：
1. 7时到22时的时长：$22 - 7 = 15$小时，该时段滴水量与时间的函数为$V_1=5t$（t单位：分钟，V单位：mL），将时长换算为分钟后计算漏水量：
$V_1=5×15×60=4500\ \mathrm{mL}$
2. 22时到次日7时的时长：$(24-22)+7=9$小时，该时段滴水量与时间的函数为$V_2=8t$（t单位：分钟，V单位：mL），换算单位后计算漏水量：
$V_2=8×9×60=4320\ \mathrm{mL}$
3. 一天总漏水量为两个时段漏水量之和：
$V=V_1+V_2=4500+4320=8820\ \mathrm{mL}$
【答案】
小刚家的水龙头在这种漏水状态下一天的漏水量为$\boxed{8820\ \mathrm{mL}}$。
【知识点】
分段函数应用；一次函数实际应用；有理数混合运算
【点评】
本题结合生活中的漏水场景命题，解题核心是准确区分不同时段的滴水速度和对应时长，注意时间单位的换算即可顺利求解，能够很好地考察学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
