13.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(-4,1),B(-1,2),C(-2,3).
(1)平移△ABC,使点A的对应点A₁的坐标为(1,2),画出平移后的△A₁B₁C₁;
(2)已知△A₂B₂C₂与△ABC关于原点O成中心对称,请在图中画出△A₂B₂C₂.

13.解:(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.

【分析】
本题考查平面直角坐标系中的图形平移与中心对称作图，解题思路如下：
1. 对于平移作图：先根据点A和对应点A₁的坐标，确定平移规则：横坐标变化量为$1-(-4)=5$，即向右平移5个单位；纵坐标变化量为$2-1=1$，即向上平移1个单位。再将B、C两点按照相同规则计算出对应点$B_1$、$C_1$的坐标，最后顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
2. 对于中心对称作图：根据关于原点中心对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数），分别计算A、B、C三点关于原点对称的点$A_2$、$B_2$、$C_2$的坐标，再顺次连接三点即可得到所求的$△ A_2B_2C_2$。
【解析】
(1) 确定平移规则：由$A(-4,1)$平移到$A_1(1,2)$，可得平移规则为横坐标加5，纵坐标加1。
计算B、C的对应点坐标：
$B(-1,2)$平移后：$B_1(-1+5,2+1)=(4,3)$
$C(-2,3)$平移后：$C_1(-2+5,3+1)=(3,4)$
在坐标系中描出$A_1(1,2)$、$B_1(4,3)$、$C_1(3,4)$，顺次连接三点，得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于原点中心对称的坐标规律：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，计算各对应点坐标：
$A(-4,1)$的对称点：$A_2(4,-1)$
$B(-1,2)$的对称点：$B_2(1,-2)$
$C(-2,3)$的对称点：$C_2(2,-3)$
在坐标系中描出$A_2(4,-1)$、$B_2(1,-2)$、$C_2(2,-3)$，顺次连接三点，得到$△ A_2B_2C_2$。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 如图，$△ A_2B_2C_2$即为所求。

【知识点】
平移的坐标规律、中心对称的坐标性质、坐标系作图
【点评】
本题是平面直角坐标系图形变换的基础题型，核心是掌握平移和中心对称两类变换对应的坐标变化规律，准确计算对应点坐标后即可顺利完成作图，解题时注意描点后要顺次连接对应点。
【难度系数】
0.85

14. 如图,在$△ ABC$中,分别以点$A$和点$C$为圆心、大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧相交于点$M,N$,直线$MN$与$AC,BC$分别相交于点$E$和点$D$,连接$AD$.
(1)若$∠ C=25°$,求$∠ EDC$的度数;
(2)若$AE=3\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$的周长为$13\ \mathrm{cm}$,求$△ ABD$的周长.

14.解:(1)由作图,得$MN$垂直平分$AC$,
$\therefore DE⊥ AC$,
$\therefore∠ DEC=90°$.
$\because∠ C=25°$,
$\therefore∠ EDC=90°-∠ C=90°-25°=65°$.
(2)$\because MN$垂直平分$AC$,
$\therefore AD=CD$,$CE=AE=3\ \mathrm{cm}$.
$\because△ ABC$的周长为$13\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB+BC+AC=13\ \mathrm{cm}$.
$\because AC=2AE=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB+BC=7\ \mathrm{cm}$,
$\therefore△ ABD$的周长为$AB+BD+DA=AB+BD+CD=AB+BC=7\ \mathrm{cm}$.

【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断出MN是线段AC的垂直平分线，这是解题的突破口。(1)求∠EDC的度数时，利用垂直平分线的垂直性质得到∠DEC=90°，再结合直角三角形两锐角互余的性质，代入∠C的度数即可计算；(2)求△ABD的周长时，利用垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，得到AD=CD，将△ABD的周长转化为AB+BC，再结合△ABC的周长和AC的长度即可计算结果。
【解析】
(1)由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
$\therefore DE⊥AC$，即$∠DEC=90°$，
在$Rt△DEC$中，$∠C=25°$，
$\therefore ∠EDC=90°-∠C=90°-25°=65°$。
(2)$\because MN$是AC的垂直平分线，
$\therefore AD=CD$，$AC=2AE$，
已知$AE=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore AC=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
$\because △ABC$的周长为$13\ \mathrm{cm}$，即$AB+BC+AC=13\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC=13-AC=13-6=7\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ABD$的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$∠EDC=65°$；(2)$△ABD$的周长为$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作图；三角形周长计算
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，核心是识别出作图得到的是线段垂直平分线，再利用其性质转化线段、角度关系即可求解，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8

15. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°$,点 $E$ 在 $AD$ 上,连接 $BD,CE$ 相交于点 $F,CE// AB$.若 $CE=9$,则 $CF$ 的长为 （$\boldsymbol{$$}$）

A.$8$
B.$6$
C.$5$
D.$4$

15.B

【分析】
解题时首先从已知AB=AD、∠A=60°入手，可判定△ABD为等边三角形，得到相关角和边的数值；再结合AB=AD、BC=DC，利用SSS证明△ABC≌△ADC，得到AC平分∠BAD；接下来结合CE//AB的条件，利用平行线内错角相等推出∠ACE=∠CAD，得到AE=CE，进而求出ED的长度；然后根据平行线的同位角相等和等边三角形的内角性质，判定△EFD为等边三角形，得到EF的长度；最后用CE的长度减去EF的长度即可求出CF。
【解析】
1. 判定等边$△ ABD$：
∵ $AB=AD$，$∠ A=60°$
∴ $△ ABD$是等边三角形，
∴ $∠ ADB=∠ A=60°$，$AD=AB=12$。
2. 证明$△ ABC ≌ △ ADC$：
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD \\BC=DC \\AC=AC\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADC$（SSS），
∴ $∠ BAC=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=30°$。
3. 求$ED$的长度：
∵ $CE// AB$，
∴ $∠ ACE=∠ BAC=30°$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ DAC=∠ ACE=30°$，
∴ $AE=CE=9$（等角对等边），
∴ $ED=AD-AE=12-9=3$。
4. 判定等边$△ EFD$，求$CF$：
∵ $CE// AB$，
∴ $∠ CED=∠ A=60°$（两直线平行，同位角相等），
又
∵ $∠ ADB=60°$，即$∠ EDF=60°$，
∴ $△ EFD$中，$∠ EDF=∠ DEF=60°$，
∴ $△ EFD$是等边三角形，
∴ $EF=ED=3$，
∴ $CF=CE-EF=9-3=6$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的突破口是先根据等腰+60°角判定等边三角形，再结合全等、平行线的性质逐步推导线段关系，需要具备一定的逻辑推理能力，熟练掌握各基础知识点是解题的关键。
【难度系数】
0.6