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16. 已知点$A(2,3)$，将点$A$绕原点$O$逆时针旋转$90°$得到点$B$，则点$B$的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
16.$(-3,2)$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆旋转的性质，点绕原点旋转时，对应点到原点的距离相等，旋转角等于对应点与原点连线的夹角。本题是逆时针旋转90°，有两种常见解法：方法一，构造直角三角形，利用全等三角形的性质求出点B的横纵坐标；方法二，直接运用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，代入点A的坐标即可得到点B的坐标。
【解析】
方法一（几何推导法）：
过点A作$AC⊥x$轴于点C，过点B作$BD⊥x$轴于点D，
∴$∠ACO=∠ODB=90°$，
∴$∠OAC + ∠AOC = 90°$。
由旋转的性质可知：$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠AOC + ∠BOD = 90°$，
∴$∠OAC = ∠BOD$。
在$△ AOC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{cases}$
∴$△ AOC≌△ OBD$（AAS）。
已知$A(2,3)$，
∴$OC=2$，$AC=3$，
∴$BD=OC=2$，$OD=AC=3$。
又
∵点B在第二象限，
∴点B的横坐标为$-3$，纵坐标为$2$，即$B(-3,2)$。
方法二（规律法）：
平面直角坐标系中，将点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°，得到的对应点坐标为$(-y,x)$。
将点$A(2,3)$的坐标代入，其中$x=2$，$y=3$，
∴对应点B的坐标为$(-3,2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中点的旋转变换，既可以通过几何推导构造全等三角形求解，也可以直接运用特殊旋转角度的坐标变换规律快速得到答案，解题时注意旋转方向对坐标符号的影响。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆旋转的性质，点绕原点旋转时，对应点到原点的距离相等，旋转角等于对应点与原点连线的夹角。本题是逆时针旋转90°，有两种常见解法：方法一，构造直角三角形，利用全等三角形的性质求出点B的横纵坐标；方法二，直接运用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，代入点A的坐标即可得到点B的坐标。
【解析】
方法一（几何推导法）：
过点A作$AC⊥x$轴于点C，过点B作$BD⊥x$轴于点D，
∴$∠ACO=∠ODB=90°$，
∴$∠OAC + ∠AOC = 90°$。
由旋转的性质可知：$OA=OB$，$∠AOB=90°$，
∴$∠AOC + ∠BOD = 90°$，
∴$∠OAC = ∠BOD$。
在$△ AOC$和$△ OBD$中：
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB \\∠OAC=∠BOD \\OA=OB\end{cases}$
∴$△ AOC≌△ OBD$（AAS）。
已知$A(2,3)$，
∴$OC=2$，$AC=3$，
∴$BD=OC=2$，$OD=AC=3$。
又
∵点B在第二象限，
∴点B的横坐标为$-3$，纵坐标为$2$，即$B(-3,2)$。
方法二（规律法）：
平面直角坐标系中，将点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°，得到的对应点坐标为$(-y,x)$。
将点$A(2,3)$的坐标代入，其中$x=2$，$y=3$，
∴对应点B的坐标为$(-3,2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中点的旋转变换，既可以通过几何推导构造全等三角形求解，也可以直接运用特殊旋转角度的坐标变换规律快速得到答案，解题时注意旋转方向对坐标符号的影响。
【难度系数】
0.8
17. 如图,从输入$ x $到结果是否大于18为一次程序操作,若输入$ x $（$ x $为整数）后程序操作仅进行了两次就停止,则$ x $的最小值是________.
答案
17.5
解析
【分析】
要解决本题，首先明确“仅进行两次操作就停止”的含义：①第一次运算的结果不大于18，否则程序第一次就会停止，无法进行第二次操作；②第二次运算的结果大于18，程序停止。我们根据这两个条件分别列出不等式，组成一元一次不等式组，求解后结合x为整数的要求，就能找到x的最小值。
【解析】
根据题意可列不等式组：
1. 第一次操作后未停止：
$\begin{aligned}3x - 6 &≤ 18 \\3x &≤ 24 \\x &≤ 8\end{aligned}$
2. 第二次操作后停止，第二次输入值为第一次的结果$3x-6$，因此：
$\begin{aligned}3(3x - 6) - 6 &＞ 18 \\9x - 18 - 6 &＞ 18 \\9x - 24 &＞ 18 \\9x &＞ 42 \\x &＞ \frac{14}{3} \approx 4.67\end{aligned}$
综上可得x的取值范围是$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$，又因为x为整数，所以x可取5、6、7、8，其中最小值是5。
【答案】
5
【知识点】
一元一次不等式组应用，整数解求解，程序运算
【点评】
本题解题核心是准确理解程序运行的规则，将“仅操作两次停止”的条件转化为对应的不等关系，列不等式组求解时要注意x为整数的限定，避免忽略条件得到错误结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确“仅进行两次操作就停止”的含义：①第一次运算的结果不大于18，否则程序第一次就会停止，无法进行第二次操作；②第二次运算的结果大于18，程序停止。我们根据这两个条件分别列出不等式，组成一元一次不等式组，求解后结合x为整数的要求，就能找到x的最小值。
【解析】
根据题意可列不等式组：
1. 第一次操作后未停止：
$\begin{aligned}3x - 6 &≤ 18 \\3x &≤ 24 \\x &≤ 8\end{aligned}$
2. 第二次操作后停止，第二次输入值为第一次的结果$3x-6$，因此：
$\begin{aligned}3(3x - 6) - 6 &＞ 18 \\9x - 18 - 6 &＞ 18 \\9x - 24 &＞ 18 \\9x &＞ 42 \\x &＞ \frac{14}{3} \approx 4.67\end{aligned}$
综上可得x的取值范围是$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$，又因为x为整数，所以x可取5、6、7、8，其中最小值是5。
【答案】
5
【知识点】
一元一次不等式组应用，整数解求解，程序运算
【点评】
本题解题核心是准确理解程序运行的规则，将“仅操作两次停止”的条件转化为对应的不等关系，列不等式组求解时要注意x为整数的限定，避免忽略条件得到错误结果。
【难度系数】
0.7
18.如图，直线$y=kx+b$经过$A(0,-1),B(2,1)$两点，则不等式组$-1≤ kx+b＜\frac{1}{2}x$的解集是________.
答案
18.$0≤x＜2$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的解析式，我们可以通过待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入解析式求出$k$和$b$的值；再将$k$、$b$代入不等式组，分别求解两个不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
1. 求直线解析式：
将点$A(0,-1)$代入$y=kx+b$，可得$b=-1$；
再将点$B(2,1)$和$b=-1$代入$y=kx+b$，得$2k-1=1$，解得$k=1$；
因此直线解析式为$y=x-1$。
2. 解不等式组：
将$k=1$，$b=-1$代入不等式组$-1≤kx+b＜\frac{1}{2}x$，可得：
$\begin{cases}x-1≥ -1 \quad \mathrm{①} \\x-1 ＜ \frac{1}{2}x \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥ 0$；
解不等式②：移项合并同类项得$\frac{1}{2}x ＜1$，两边同乘2得$x＜2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$0≤x＜2$。
【答案】
$0≤x＜2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于一次函数与不等式的基础综合题，解题核心是先正确求出一次函数的系数，再按规则求解不等式组，整体思路清晰，考查基础的计算和应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的解析式，我们可以通过待定系数法，将已知的A、B两点坐标代入解析式求出$k$和$b$的值；再将$k$、$b$代入不等式组，分别求解两个不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
1. 求直线解析式：
将点$A(0,-1)$代入$y=kx+b$，可得$b=-1$；
再将点$B(2,1)$和$b=-1$代入$y=kx+b$，得$2k-1=1$，解得$k=1$；
因此直线解析式为$y=x-1$。
2. 解不等式组：
将$k=1$，$b=-1$代入不等式组$-1≤kx+b＜\frac{1}{2}x$，可得：
$\begin{cases}x-1≥ -1 \quad \mathrm{①} \\x-1 ＜ \frac{1}{2}x \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥ 0$；
解不等式②：移项合并同类项得$\frac{1}{2}x ＜1$，两边同乘2得$x＜2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$0≤x＜2$。
【答案】
$0≤x＜2$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于一次函数与不等式的基础综合题，解题核心是先正确求出一次函数的系数，再按规则求解不等式组，整体思路清晰，考查基础的计算和应用能力。
【难度系数】
0.7
19. 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$；
….
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：$a_5=$$=$；
(2)用含有$n$的代数式表示第$n$个等式：$a_n=$$=$（$n$为正整数）；
(3)求$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}$的值.
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})$；
….
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：$a_5=$$=$；
(2)用含有$n$的代数式表示第$n$个等式：$a_n=$$=$（$n$为正整数）；
(3)求$a_1+a_2+a_3+a_4+…+a_{100}$的值.
答案
19.解:(1)$a_5=\dfrac{1}{9×11}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11})$.
故答案为$\dfrac{1}{9×11}$,$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11})$.
(2)$a_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})$.
故答案为$\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})$.
(3)$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+\dots+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{200}{201}$
$=\dfrac{100}{201}$.
故答案为$\dfrac{1}{9×11}$,$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11})$.
(2)$a_n=\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})$.
故答案为$\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,$\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1})$.
(3)$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7})+\dots+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{1}{199}-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{201})$
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{200}{201}$
$=\dfrac{100}{201}$.
解析
【分析】
首先观察给出的等式规律：每个等式左侧的分数，分母是两个连续奇数的乘积，第k个等式的两个奇数分别为2k-1和2k+1；等式右侧均为$\frac{1}{2}$乘这两个奇数的倒数差。
(1)第5个等式对应k=5，代入规律即可写出对应式子；
(2)将第n个等式的两个奇数用含n的代数式表示，即可得到通用表达式；
(3)求前100项的和时，先把每一项按规律拆分，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间相邻项会相互抵消，仅剩首尾两项计算即可得到结果。
【解析】
(1)根据规律，第5个等式的分母为9×11，拆分后为$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$，即$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$；
(2)第n个等式中，两个连续奇数分别为2n-1和2n+1，因此$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$（n为正整数）；
(3)计算前100项的和：
$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}$
$=\frac{100}{201}$
【答案】
(1)$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(3)$\frac{100}{201}$
【知识点】
规律探究，裂项相消，有理数运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，既考查对数字规律的观察归纳能力，也考查裂项相消的简便计算技巧，熟练掌握相邻项抵消的核心思路就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的等式规律：每个等式左侧的分数，分母是两个连续奇数的乘积，第k个等式的两个奇数分别为2k-1和2k+1；等式右侧均为$\frac{1}{2}$乘这两个奇数的倒数差。
(1)第5个等式对应k=5，代入规律即可写出对应式子；
(2)将第n个等式的两个奇数用含n的代数式表示，即可得到通用表达式；
(3)求前100项的和时，先把每一项按规律拆分，提取公因式$\frac{1}{2}$后，中间相邻项会相互抵消，仅剩首尾两项计算即可得到结果。
【解析】
(1)根据规律，第5个等式的分母为9×11，拆分后为$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$，即$a_5=\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$；
(2)第n个等式中，两个连续奇数分别为2n-1和2n+1，因此$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$（n为正整数）；
(3)计算前100项的和：
$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{100}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{199}-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{201})$
$=\frac{1}{2}×\frac{200}{201}$
$=\frac{100}{201}$
【答案】
(1)$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
(2)$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$，$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
(3)$\frac{100}{201}$
【知识点】
规律探究，裂项相消，有理数运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，既考查对数字规律的观察归纳能力，也考查裂项相消的简便计算技巧，熟练掌握相邻项抵消的核心思路就能快速解题。
【难度系数】
0.7
