登录
20.阅读材料:将一些形如$ax^2+bx+c(a≠0)$的多项式变形为$a(x+m)^2+n$的形式,我们把这样的变形方法叫作多项式$ax^2+bx+c(a≠0)$的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解,例如:$x^2+4x-5=x^2+4x+(\dfrac{4}{2})^2-(\dfrac{4}{2})^2-5=(x+2)^2-9$,$\because (x+2)^2≥0$,$\therefore$当$(x+2)^2=0$时,原式有最小值,最小值为$-9$.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)利用配方法分解因式:$x^2+2x-8$;
(2)求多项式$x^2+4x-2020$的最小值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,求$△ ABC$的周长.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)利用配方法分解因式:$x^2+2x-8$;
(2)求多项式$x^2+4x-2020$的最小值;
(3)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,且满足$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,求$△ ABC$的周长.
答案
20.解:(1)原式$=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-3^2=(x+1+3)(x+1-3)=(x+4)(x-2)$.
(2)$x^2+4x-2020=x^2+4x+2^2-2^2-2020=(x+2)^2-2024$,
$\because (x+2)^2≥0$,
$\therefore (x+2)^2-2024≥-2024$,
$\therefore$多项式$x^2+4x-2020$的最小值为$-2024$.
(3)$\because a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,
$\therefore a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$,
$\therefore a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25=0$,
$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$,
$\therefore a-3=0$,$b-4=0$,$c-5=0$,
$\therefore a=3$,$b=4$,$c=5$,
$\therefore△ ABC$的周长为$3+4+5=12$.
(2)$x^2+4x-2020=x^2+4x+2^2-2^2-2020=(x+2)^2-2024$,
$\because (x+2)^2≥0$,
$\therefore (x+2)^2-2024≥-2024$,
$\therefore$多项式$x^2+4x-2020$的最小值为$-2024$.
(3)$\because a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$,
$\therefore a^2+b^2+c^2+50-6a-8b-10c=0$,
$\therefore a^2-6a+9+b^2-8b+16+c^2-10c+25=0$,
$\therefore (a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$,
$\therefore a-3=0$,$b-4=0$,$c-5=0$,
$\therefore a=3$,$b=4$,$c=5$,
$\therefore△ ABC$的周长为$3+4+5=12$.
解析
【分析】
(1) 分解因式时，先根据配方法要求，加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，再减去相同的数保证原式值不变，将式子变形为平方差的形式后，用平方差公式分解即可。
(2) 求多项式最小值时，先对多项式配方，转化为$(x+m)^2+n$的形式，利用平方的非负性$(x+m)^2≥0$，即可得到多项式的最小值为$n$。
(3) 先将等式右侧的项全部移到左侧，再把常数项50拆分为9、16、25三个数，分别对应$a$、$b$、$c$的二次项和一次项凑成完全平方式，根据“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求出三边长，相加即可得到三角形周长。
【解析】
(1) $\begin{split}x^2+2x-8&=x^2+2x+1-1-8\\&=(x+1)^2-9\\&=(x+1)^2-3^2\\&=(x+1+3)(x+1-3)\\&=(x+4)(x-2)\end{split}$
(2) 对$x^2+4x-2020$配方得：
$\begin{split}x^2+4x-2020&=x^2+4x+4-4-2020\\&=(x+2)^2-2024\end{split}$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore (x+2)^2-2024≥ -2024$
即多项式$x^2+4x-2020$的最小值为$-2024$。
(3) 对$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$移项得：
$a^2-6a+b^2-8b+c^2-10c+50=0$
将50拆分为$9+16+25$，分组凑完全平方：
$(a^2-6a+9)+(b^2-8b+16)+(c^2-10c+25)=0$
即$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$
$\because$ 平方数具有非负性
$\therefore a-3=0,b-4=0,c-5=0$
解得$a=3,b=4,c=5$
$\therefore △ ABC$的周长为$3+4+5=12$。
【答案】
(1) $(x+4)(x-2)$
(2) $-2024$
(3) $12$
【知识点】
配方法应用，平方的非负性，因式分解
【点评】
本题围绕配方法设置了三类不同的应用场景，难度层层递进，要求熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时能灵活运用平方的非负性求解未知量，是代数综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式时，先根据配方法要求，加上一次项系数一半的平方凑完全平方式，再减去相同的数保证原式值不变，将式子变形为平方差的形式后，用平方差公式分解即可。
(2) 求多项式最小值时，先对多项式配方，转化为$(x+m)^2+n$的形式，利用平方的非负性$(x+m)^2≥0$，即可得到多项式的最小值为$n$。
(3) 先将等式右侧的项全部移到左侧，再把常数项50拆分为9、16、25三个数，分别对应$a$、$b$、$c$的二次项和一次项凑成完全平方式，根据“多个非负数的和为0，则每个非负数均为0”求出三边长，相加即可得到三角形周长。
【解析】
(1) $\begin{split}x^2+2x-8&=x^2+2x+1-1-8\\&=(x+1)^2-9\\&=(x+1)^2-3^2\\&=(x+1+3)(x+1-3)\\&=(x+4)(x-2)\end{split}$
(2) 对$x^2+4x-2020$配方得：
$\begin{split}x^2+4x-2020&=x^2+4x+4-4-2020\\&=(x+2)^2-2024\end{split}$
$\because (x+2)^2≥0$
$\therefore (x+2)^2-2024≥ -2024$
即多项式$x^2+4x-2020$的最小值为$-2024$。
(3) 对$a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c$移项得：
$a^2-6a+b^2-8b+c^2-10c+50=0$
将50拆分为$9+16+25$，分组凑完全平方：
$(a^2-6a+9)+(b^2-8b+16)+(c^2-10c+25)=0$
即$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$
$\because$ 平方数具有非负性
$\therefore a-3=0,b-4=0,c-5=0$
解得$a=3,b=4,c=5$
$\therefore △ ABC$的周长为$3+4+5=12$。
【答案】
(1) $(x+4)(x-2)$
(2) $-2024$
(3) $12$
【知识点】
配方法应用，平方的非负性，因式分解
【点评】
本题围绕配方法设置了三类不同的应用场景，难度层层递进，要求熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时能灵活运用平方的非负性求解未知量，是代数综合类的基础题型。
【难度系数】
0.7
