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三、解答题
1. 下列二次根式中哪些是最简二次根式？为什么？
①$\sqrt{3a^2b}$；②$\sqrt{\dfrac{3ab}{2}}$；③$\sqrt{x^2+y^2}$；④$\sqrt{a-b}(a＞b)$；⑤$\sqrt{5}$；⑥$\sqrt{8xy}$。
1. 下列二次根式中哪些是最简二次根式？为什么？
①$\sqrt{3a^2b}$；②$\sqrt{\dfrac{3ab}{2}}$；③$\sqrt{x^2+y^2}$；④$\sqrt{a-b}(a＞b)$；⑤$\sqrt{5}$；⑥$\sqrt{8xy}$。
答案
1. 最简二次根式有③④⑤. 理由略.
解析
【分析】
解题前先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们将6个二次根式逐一对照这两个条件判断，同时结合二次根式的化简规则排查不符合要求的式子，最终筛选出最简二次根式。
【解析】
首先明确最简二次根式的两个判定标准：
标准1：被开方数不含分母；
标准2：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐个分析如下：
①$\sqrt{3a^2b}$：被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，可化简为$|a|\sqrt{3b}$，不符合标准2，不是最简二次根式；
②$\sqrt{\dfrac{3ab}{2}}$：被开方数含分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{6ab}}{2}$，不符合标准1，不是最简二次根式；
③$\sqrt{x^2+y^2}$：被开方数是整式，且$x^2+y^2$没有能开得尽方的因式，两个标准都符合，是最简二次根式；
④$\sqrt{a-b}(a＞b)$：被开方数$a-b$是正整式，且没有能开得尽方的因式，两个标准都符合，是最简二次根式；
⑤$\sqrt{5}$：被开方数是正整数，且5不含能开得尽方的因数，两个标准都符合，是最简二次根式；
⑥$\sqrt{8xy}$：被开方数含能开得尽方的因数4，可化简为$2\sqrt{2xy}$，不符合标准2，不是最简二次根式。
综上，③④⑤是最简二次根式。
【答案】
最简二次根式有③④⑤。
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查最简二次根式判定规则的运用，做题时要注意避免两类常见错误：一是误将$x^2+y^2$当成可开方的因式分解式，二是忽略被开方数含分母的情况，按照两个判定标准逐一排查即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来我们将6个二次根式逐一对照这两个条件判断，同时结合二次根式的化简规则排查不符合要求的式子，最终筛选出最简二次根式。
【解析】
首先明确最简二次根式的两个判定标准：
标准1：被开方数不含分母；
标准2：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逐个分析如下：
①$\sqrt{3a^2b}$：被开方数含能开得尽方的因式$a^2$，可化简为$|a|\sqrt{3b}$，不符合标准2，不是最简二次根式；
②$\sqrt{\dfrac{3ab}{2}}$：被开方数含分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{6ab}}{2}$，不符合标准1，不是最简二次根式；
③$\sqrt{x^2+y^2}$：被开方数是整式，且$x^2+y^2$没有能开得尽方的因式，两个标准都符合，是最简二次根式；
④$\sqrt{a-b}(a＞b)$：被开方数$a-b$是正整式，且没有能开得尽方的因式，两个标准都符合，是最简二次根式；
⑤$\sqrt{5}$：被开方数是正整数，且5不含能开得尽方的因数，两个标准都符合，是最简二次根式；
⑥$\sqrt{8xy}$：被开方数含能开得尽方的因数4，可化简为$2\sqrt{2xy}$，不符合标准2，不是最简二次根式。
综上，③④⑤是最简二次根式。
【答案】
最简二次根式有③④⑤。
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式章节的基础题型，核心考查最简二次根式判定规则的运用，做题时要注意避免两类常见错误：一是误将$x^2+y^2$当成可开方的因式分解式，二是忽略被开方数含分母的情况，按照两个判定标准逐一排查即可准确作答。
【难度系数】
0.8
2. 已知 $a,b$ 是整数，如果 $\sqrt{\dfrac{1}{a}x^{2b-5}}$ 是最简二次根式，求 $2a\sqrt{5b+1}$ 的值，并求 $2a\sqrt{5b+1}$ 的平方根。
答案
2. 解:根据题意,得 $a=1,2b-5=1$.
$\therefore b=3. \therefore 2a\sqrt{5b+1}=8$.
$\therefore 2a\sqrt{5b+1}$ 的平方根是$\pm2\sqrt{2}$.
$\therefore b=3. \therefore 2a\sqrt{5b+1}=8$.
$\therefore 2a\sqrt{5b+1}$ 的平方根是$\pm2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆最简二次根式的定义：最简二次根式需要同时满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。结合题目中a、b是整数的条件：首先，要使被开方数不含分母，可得$\frac{1}{a}$是整数，且二次根式的被开方数非负，因此正整数a只能取1；其次，要使被开方数中x的因式不能开得尽方，x的指数$2b-5$必须小于根指数2，且为正整数，因此$2b-5=1$，可求出b的值。再将a、b的值代入$2a\sqrt{5b+1}$计算出结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，结合题意可得：
$\begin{cases}a=1 \\2b-5=1 \end{cases}$
解第二个方程：$2b=6$，得$b=3$。
将$a=1$，$b=3$代入$2a\sqrt{5b+1}$得：
$2×1×\sqrt{5×3+1}=2×\sqrt{16}=2×4=8$。
再求8的平方根：
$\because(\pm2\sqrt{2})^2=8$
$\therefore8$的平方根是$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
$2a\sqrt{5b+1}$的值为$8$，它的平方根是$\pm2\sqrt{2}$。
【知识点】
最简二次根式的定义；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题重点考查对最简二次根式定义的理解和应用，解题的关键是根据定义准确列出关于a、b的等式求出未知参数的值，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆最简二次根式的定义：最简二次根式需要同时满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。结合题目中a、b是整数的条件：首先，要使被开方数不含分母，可得$\frac{1}{a}$是整数，且二次根式的被开方数非负，因此正整数a只能取1；其次，要使被开方数中x的因式不能开得尽方，x的指数$2b-5$必须小于根指数2，且为正整数，因此$2b-5=1$，可求出b的值。再将a、b的值代入$2a\sqrt{5b+1}$计算出结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，结合题意可得：
$\begin{cases}a=1 \\2b-5=1 \end{cases}$
解第二个方程：$2b=6$，得$b=3$。
将$a=1$，$b=3$代入$2a\sqrt{5b+1}$得：
$2×1×\sqrt{5×3+1}=2×\sqrt{16}=2×4=8$。
再求8的平方根：
$\because(\pm2\sqrt{2})^2=8$
$\therefore8$的平方根是$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
$2a\sqrt{5b+1}$的值为$8$，它的平方根是$\pm2\sqrt{2}$。
【知识点】
最简二次根式的定义；代数式求值；平方根的定义
【点评】
本题重点考查对最简二次根式定义的理解和应用，解题的关键是根据定义准确列出关于a、b的等式求出未知参数的值，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
3. [2025·洛阳一模]计算: $\sqrt{15} × \sqrt{\frac{4}{75}} - \frac{\sqrt{20} - 3}{\sqrt{5}}$.
答案
3. $\sqrt{5}-2$
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题时可分三步推进：①先利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法项，化简得到第一个结果；②再处理含除法的分式项，可将分子拆分分别除以分母，结合分母有理化化简得到第二个结果；③最后用第一个结果减去第二个结果，合并同类项即可得到答案，计算时注意减去多项式时要给括号内各项变号。
【解析】
解：原式 = $\sqrt{15×\frac{4}{75}} - ( \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}} )$
= $\sqrt{\frac{60}{75}} - ( \sqrt{\frac{20}{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} )$
= $\sqrt{\frac{4}{5}} - ( 2 - \frac{3\sqrt{5}}{5} )$
= $\frac{2\sqrt{5}}{5} - 2 + \frac{3\sqrt{5}}{5}$
= $( \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}}{5} ) - 2$
= $\sqrt{5} - 2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式乘法法则，分母有理化，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查二次根式的基本运算法则和化简技能，解题时需注意运算顺序和符号处理，避免出现去括号不变号的低级错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题时可分三步推进：①先利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法项，化简得到第一个结果；②再处理含除法的分式项，可将分子拆分分别除以分母，结合分母有理化化简得到第二个结果；③最后用第一个结果减去第二个结果，合并同类项即可得到答案，计算时注意减去多项式时要给括号内各项变号。
【解析】
解：原式 = $\sqrt{15×\frac{4}{75}} - ( \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}} )$
= $\sqrt{\frac{60}{75}} - ( \sqrt{\frac{20}{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} )$
= $\sqrt{\frac{4}{5}} - ( 2 - \frac{3\sqrt{5}}{5} )$
= $\frac{2\sqrt{5}}{5} - 2 + \frac{3\sqrt{5}}{5}$
= $( \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}}{5} ) - 2$
= $\sqrt{5} - 2$
【答案】
$\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式乘法法则，分母有理化，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查二次根式的基本运算法则和化简技能，解题时需注意运算顺序和符号处理，避免出现去括号不变号的低级错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知 $a^2 + b^2 - 4a - 2b + 5 = 0$，求 $\frac{\sqrt{a} + b}{\sqrt{3b} - \sqrt{a}}$ 的值.
答案
4. 解:由已知得$(a-2)^2+(b-1)^2=0$.
$\therefore a=2,b=1$.
$\therefore \dfrac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{3b}-\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2$.
$\therefore a=2,b=1$.
$\therefore \dfrac{\sqrt{a}+b}{\sqrt{3b}-\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构，等式左边含有a、b的二次项、一次项和常数项，可通过配方法将其转化为两个完全平方式相加的形式；再根据平方数的非负性，两个非负数的和为0则每个非负数均为0，即可求出a、b的值；最后将a、b代入所求分式，通过分母有理化化简计算得到结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 = 0$
即 $(a-2)^2 + (b-1)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即 $(a-2)^2 ≥ 0$，$(b-1)^2 ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足 $a-2=0$，$b-1=0$
解得 $a=2$，$b=1$
将$a=2$，$b=1$代入所求分式：
$\frac{\sqrt{a} + b}{\sqrt{3b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
对分母进行有理化，分子分母同乘$\sqrt{3} + \sqrt{2}$：
原式$=\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$
分母计算得：$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$
分子展开得：$\sqrt{2} × \sqrt{3} + \sqrt{2} × \sqrt{2} + 1 × \sqrt{3} + 1 × \sqrt{2} = \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$
因此原式结果为$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2$
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，二次根式的运算
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是通过配方求出a、b的取值，再准确完成二次根式的化简计算，熟练掌握配方法和二次根式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式的结构，等式左边含有a、b的二次项、一次项和常数项，可通过配方法将其转化为两个完全平方式相加的形式；再根据平方数的非负性，两个非负数的和为0则每个非负数均为0，即可求出a、b的值；最后将a、b代入所求分式，通过分母有理化化简计算得到结果。
【解析】
解：对已知等式进行配方：
$a^2 - 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 = 0$
即 $(a-2)^2 + (b-1)^2 = 0$
∵ 平方数具有非负性，即 $(a-2)^2 ≥ 0$，$(b-1)^2 ≥ 0$
∴ 要使两个非负数的和为0，需满足 $a-2=0$，$b-1=0$
解得 $a=2$，$b=1$
将$a=2$，$b=1$代入所求分式：
$\frac{\sqrt{a} + b}{\sqrt{3b} - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
对分母进行有理化，分子分母同乘$\sqrt{3} + \sqrt{2}$：
原式$=\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}$
分母计算得：$(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$
分子展开得：$\sqrt{2} × \sqrt{3} + \sqrt{2} × \sqrt{2} + 1 × \sqrt{3} + 1 × \sqrt{2} = \sqrt{6} + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{2}$
因此原式结果为$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + 2$
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，二次根式的运算
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是通过配方求出a、b的取值，再准确完成二次根式的化简计算，熟练掌握配方法和二次根式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
四、趣味题
数独:使每行、每列和每个宫(即$3×3$的大格)凑齐1~9所有数字.
数独:使每行、每列和每个宫(即$3×3$的大格)凑齐1~9所有数字.
答案
解析
【分析】
解这道数独题首先要明确规则：每行、每列、每个3×3的宫内都要包含1~9的所有数字，且不能重复。解题时优先选择已知数字最多的行、列或者3×3宫入手，采用排除法，先确定只有唯一填法的空格，再根据已经填好的数字逐步缩小其他空格的可选范围，不要一开始就尝试不确定的数字，先填能100%确定的，再逐步推导剩下的空格即可。
【解析】
1. 首先明确数独规则：每行、每列、每个3×3宫的数字为1~9且互不重复。
2. 优先处理已知数最多的区域：如上中3×3宫（第1~3行、第4~6列），已有数字1、3、4、5、6、8、9，仅缺2、7；再观察第二行，已有数字1、2、3、4、5、6、9，仅缺7、8，因此第二行第6格只能填7，剩余第一行第6格填2。
3. 观察第一行，已有数字1、2、3、7、8、9，缺4、5、6；结合左上角3×3宫（第1~3行、第1~3列）已有数字1、2、3、5、7、9，缺4、6、8，因此第一行的第1、3格只能填4或6，余下第一行第8格唯一可填5。
4. 按照上述排除法和唯一余数法的逻辑，依次推导其余空格，每填一个数字后就更新对应行、列、宫的可选数字范围，最终填满所有空格，验证所有行、列、宫都符合1~9不重复的规则即可。
【答案】
【知识点】
逻辑推理，排除法，数独规则
【点评】
本题是经典的数独趣味题，核心考察观察能力和逻辑推理能力，解题时需要保持耐心，从确定性高的空格入手逐步推导，熟练运用排除法就能高效完成，适合锻炼思维灵活性。
【难度系数】
0.6
解这道数独题首先要明确规则：每行、每列、每个3×3的宫内都要包含1~9的所有数字，且不能重复。解题时优先选择已知数字最多的行、列或者3×3宫入手，采用排除法，先确定只有唯一填法的空格，再根据已经填好的数字逐步缩小其他空格的可选范围，不要一开始就尝试不确定的数字，先填能100%确定的，再逐步推导剩下的空格即可。
【解析】
1. 首先明确数独规则：每行、每列、每个3×3宫的数字为1~9且互不重复。
2. 优先处理已知数最多的区域：如上中3×3宫（第1~3行、第4~6列），已有数字1、3、4、5、6、8、9，仅缺2、7；再观察第二行，已有数字1、2、3、4、5、6、9，仅缺7、8，因此第二行第6格只能填7，剩余第一行第6格填2。
3. 观察第一行，已有数字1、2、3、7、8、9，缺4、5、6；结合左上角3×3宫（第1~3行、第1~3列）已有数字1、2、3、5、7、9，缺4、6、8，因此第一行的第1、3格只能填4或6，余下第一行第8格唯一可填5。
4. 按照上述排除法和唯一余数法的逻辑，依次推导其余空格，每填一个数字后就更新对应行、列、宫的可选数字范围，最终填满所有空格，验证所有行、列、宫都符合1~9不重复的规则即可。
【答案】
【知识点】
逻辑推理，排除法，数独规则
【点评】
本题是经典的数独趣味题，核心考察观察能力和逻辑推理能力，解题时需要保持耐心，从确定性高的空格入手逐步推导，熟练运用排除法就能高效完成，适合锻炼思维灵活性。
【难度系数】
0.6
