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一、选择题
1. 下列二次根式中,最简二次根式是 （
A.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{50}$
1. 下列二次根式中,最简二次根式是 （
C
）A.$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
B.$\sqrt{0.5}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{50}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时可根据这两个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5}$的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数25，不符合要求，化简后为$5\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时注意先把被开方数的小数转化为分数，再结合两个判定条件排查即可。
【难度系数】
0.9
要判断最简二次根式，首先明确最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时可根据这两个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们根据最简二次根式的判定条件逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{5}}$的被开方数含有分母，不符合最简二次根式要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式；
选项B：$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式；
选项C：$\sqrt{5}$的被开方数是整数，且不存在能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
选项D：$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数25，不符合要求，化简后为$5\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对最简二次根式判定规则的掌握，解题时注意先把被开方数的小数转化为分数，再结合两个判定条件排查即可。
【难度系数】
0.9
2. 下面的推导中开始出错的步骤是 （
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^2× 3}=\sqrt{12}$，①
$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^2× 3}=\sqrt{12}$，②
$\therefore 2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$.③
$\therefore 2=-2$.④
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^2× 3}=\sqrt{12}$，①
$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^2× 3}=\sqrt{12}$，②
$\therefore 2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$.③
$\therefore 2=-2$.④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
2. B
解析
【分析】
解题时需结合二次根式的性质判断每一步推导是否正确：首先明确二次根式的结果为非负数，且将根号外的数移入根号内时，若该数为负数，需保留负号在根号外，仅将其绝对值平方后与根号内的数相乘。我们逐步骤验证：步骤①中根号外的2是正数，移入根号的操作符合规则；步骤②中左边是负数，右边推导得到的是正数，二者不可能相等，说明该步推导错误，后续步骤均是基于错误前提推导的，因此最早出错的是步骤②。
【解析】
根据二次根式的性质：
1. 二次根式的运算结果为非负数；
2. 将根号外的因数移入根号内时，若因数为正，可直接平方后乘根号内的数；若因数为负，需保留负号在根号外，仅将因数的绝对值平方后乘根号内的数。
对各步骤逐一判断：
步骤①：2是正数，因此$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$，推导正确；
步骤②：$-2\sqrt{3}$是负数，正确变形应为$-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^2×3}=-\sqrt{12}$，题中错误将负号一同移入根号，得到$\sqrt{(-2)^2×3}=\sqrt{12}$（正数），负数与正数不可能相等，该步推导错误；
步骤③、④均是基于步骤②的错误结论推导的，因此最早出错的步骤是②。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的非负性
2. 二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式变形的易错点，做题时要格外注意根号外负号的处理，不能随意将负号平方后移入根号内，避免出现正负号混淆的错误。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次根式的性质判断每一步推导是否正确：首先明确二次根式的结果为非负数，且将根号外的数移入根号内时，若该数为负数，需保留负号在根号外，仅将其绝对值平方后与根号内的数相乘。我们逐步骤验证：步骤①中根号外的2是正数，移入根号的操作符合规则；步骤②中左边是负数，右边推导得到的是正数，二者不可能相等，说明该步推导错误，后续步骤均是基于错误前提推导的，因此最早出错的是步骤②。
【解析】
根据二次根式的性质：
1. 二次根式的运算结果为非负数；
2. 将根号外的因数移入根号内时，若因数为正，可直接平方后乘根号内的数；若因数为负，需保留负号在根号外，仅将因数的绝对值平方后乘根号内的数。
对各步骤逐一判断：
步骤①：2是正数，因此$2\sqrt{3}=\sqrt{2^2×3}=\sqrt{12}$，推导正确；
步骤②：$-2\sqrt{3}$是负数，正确变形应为$-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^2×3}=-\sqrt{12}$，题中错误将负号一同移入根号，得到$\sqrt{(-2)^2×3}=\sqrt{12}$（正数），负数与正数不可能相等，该步推导错误；
步骤③、④均是基于步骤②的错误结论推导的，因此最早出错的步骤是②。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的非负性
2. 二次根式的化简
【点评】
本题重点考查二次根式变形的易错点，做题时要格外注意根号外负号的处理，不能随意将负号平方后移入根号内，避免出现正负号混淆的错误。
【难度系数】
0.7
3. [2023·江西]若$\sqrt{a-4}$有意义,则$a$的值可以是 (
A.-1
B.0
C.2
D.6
D
)A.-1
B.0
C.2
D.6
答案
3. D
解析
【分析】
要确定a的可取值，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，解出a的取值范围，再逐一比对选项，找到符合范围的数值即可。
【解析】
解：若二次根式$\sqrt{a-4}$有意义，则被开方数$a-4$需满足非负要求，即：
$a-4 ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ 4$
逐一核对选项：
A. $-1＜4$，不符合要求；
B. $0＜4$，不符合要求；
C. $2＜4$，不符合要求；
D. $6＞4$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记二次根式被开方数为非负数的规则，结合简单的不等式计算就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
要确定a的可取值，首先需明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。我们先根据这个条件列出关于a的不等式，解出a的取值范围，再逐一比对选项，找到符合范围的数值即可。
【解析】
解：若二次根式$\sqrt{a-4}$有意义，则被开方数$a-4$需满足非负要求，即：
$a-4 ≥ 0$
解不等式得：$a ≥ 4$
逐一核对选项：
A. $-1＜4$，不符合要求；
B. $0＜4$，不符合要求；
C. $2＜4$，不符合要求；
D. $6＞4$，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记二次根式被开方数为非负数的规则，结合简单的不等式计算就能快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9
4. 若$\sqrt{18x}+2\sqrt{\dfrac{x}{2}}+x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=10$,则$x$的值等于（
A.4
B.$\pm 2$
C.2
D.$\pm 4$
C
）A.4
B.$\pm 2$
C.2
D.$\pm 4$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先要根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，直接排除不符合范围的错误选项；再将原式中所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的简易方程，解方程即可得到x的值，最后代入验证即可。
【解析】
解：第一步确定x的取值范围：
要使原式中$\sqrt{\dfrac{2}{x}}$有意义，需满足$\begin{cases}x≠0\\\dfrac{2}{x}≥0\end{cases}$，解得$x＞0$，因此直接排除含负数的选项B、D。
第二步化简原式左侧各项：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$；
$2\sqrt{\dfrac{x}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$；
$x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=x×\dfrac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$。
第三步合并同类项解方程：
左侧合并后为$3\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+\sqrt{2x}=5\sqrt{2x}$，结合题意得$5\sqrt{2x}=10$，
两边同除以5得$\sqrt{2x}=2$，两边平方得$2x=4$，解得$x=2$。
代入原式验证，左边=10=右边，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考查二次根式的基础运算，解题的关键是先抓住x＞0的隐含条件，避开带负号的干扰选项，再熟练运用二次根式的化简规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，直接排除不符合范围的错误选项；再将原式中所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后得到关于x的简易方程，解方程即可得到x的值，最后代入验证即可。
【解析】
解：第一步确定x的取值范围：
要使原式中$\sqrt{\dfrac{2}{x}}$有意义，需满足$\begin{cases}x≠0\\\dfrac{2}{x}≥0\end{cases}$，解得$x＞0$，因此直接排除含负数的选项B、D。
第二步化简原式左侧各项：
$\sqrt{18x}=\sqrt{9×2x}=3\sqrt{2x}$；
$2\sqrt{\dfrac{x}{2}}=2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2}=\sqrt{2x}$；
$x\sqrt{\dfrac{2}{x}}=x×\dfrac{\sqrt{2x}}{x}=\sqrt{2x}$。
第三步合并同类项解方程：
左侧合并后为$3\sqrt{2x}+\sqrt{2x}+\sqrt{2x}=5\sqrt{2x}$，结合题意得$5\sqrt{2x}=10$，
两边同除以5得$\sqrt{2x}=2$，两边平方得$2x=4$，解得$x=2$。
代入原式验证，左边=10=右边，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；二次根式加减运算
【点评】
本题核心考查二次根式的基础运算，解题的关键是先抓住x＞0的隐含条件，避开带负号的干扰选项，再熟练运用二次根式的化简规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 若$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________.
1. 若$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________.
答案
1. $1≤ x≤ 2$
解析
【分析】
要使含有多个二次根式的代数式有意义，需保证每个二次根式的被开方数均为非负数。因此我们需要先分别列出两个被开方数对应的非负不等式，组成一元一次不等式组，再求解不等式组的公共解集，即为x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \quad ① \\x-1≥0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≤2$
解不等式②：移项得$x≥1$
取两个解集的公共部分，可得x的取值范围是$1≤ x≤2$。
【答案】
$1≤ x≤ 2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是基础概念类题型，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，当式子包含多个二次根式时，需同时满足所有被开方数的非负要求，最终取各不等式解集的公共部分即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要使含有多个二次根式的代数式有意义，需保证每个二次根式的被开方数均为非负数。因此我们需要先分别列出两个被开方数对应的非负不等式，组成一元一次不等式组，再求解不等式组的公共解集，即为x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \quad ① \\x-1≥0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≤2$
解不等式②：移项得$x≥1$
取两个解集的公共部分，可得x的取值范围是$1≤ x≤2$。
【答案】
$1≤ x≤ 2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是基础概念类题型，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，当式子包含多个二次根式时，需同时满足所有被开方数的非负要求，最终取各不等式解集的公共部分即可得到结果。
【难度系数】
0.9
2. $\sqrt{45a}$，$\sqrt{30}$，$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$，$\sqrt{40b^2}$，$\sqrt{54}$，$\sqrt{17(a^2+b^2)}$中的最简二次根式是$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
2. $\sqrt{30},\sqrt{17(a^2+b^2)}$
解析
【分析】
解题前先明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数、因式是整式，即不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个验证给出的二次根式是否同时满足这两个条件，即可筛选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个根式：
1. $\sqrt{45a}$：被开方数中$45=9×5$，9是能开得尽方的因数，可化简为$3\sqrt{5a}$，不是最简二次根式；
2. $\sqrt{30}$：30分解质因数为$2×3×5$，无开得尽方的因数，且被开方数不含分母，符合最简二次根式要求；
3. $\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$：被开方数是带分数，可化为$\dfrac{5}{2}$，含分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{40b^2}$：被开方数中$40=4×10$，$b^2$是能开得尽方的因式，可化简为$2|b|\sqrt{10}$，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{54}$：被开方数中$54=9×6$，9是能开得尽方的因数，可化简为$3\sqrt{6}$，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{17(a^2+b^2)}$：17是质数，$a^2+b^2$无开得尽方的因式，且被开方数不含分母，符合最简二次根式要求。
【答案】
$\sqrt{30},\sqrt{17(a^2+b^2)}$
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题是基础概念类题目，核心是熟练掌握最简二次根式的判定规则，排查时注意先将带分数化为假分数，对含字母的因式要确认是否存在可开方的部分，避免漏判。
【难度系数】
0.8
解题前先明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数的因数是整数、因式是整式，即不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需逐个验证给出的二次根式是否同时满足这两个条件，即可筛选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个根式：
1. $\sqrt{45a}$：被开方数中$45=9×5$，9是能开得尽方的因数，可化简为$3\sqrt{5a}$，不是最简二次根式；
2. $\sqrt{30}$：30分解质因数为$2×3×5$，无开得尽方的因数，且被开方数不含分母，符合最简二次根式要求；
3. $\sqrt{2\dfrac{1}{2}}$：被开方数是带分数，可化为$\dfrac{5}{2}$，含分母，可化简为$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$，不是最简二次根式；
4. $\sqrt{40b^2}$：被开方数中$40=4×10$，$b^2$是能开得尽方的因式，可化简为$2|b|\sqrt{10}$，不是最简二次根式；
5. $\sqrt{54}$：被开方数中$54=9×6$，9是能开得尽方的因数，可化简为$3\sqrt{6}$，不是最简二次根式；
6. $\sqrt{17(a^2+b^2)}$：17是质数，$a^2+b^2$无开得尽方的因式，且被开方数不含分母，符合最简二次根式要求。
【答案】
$\sqrt{30},\sqrt{17(a^2+b^2)}$
【知识点】
最简二次根式判定、二次根式化简
【点评】
本题是基础概念类题目，核心是熟练掌握最简二次根式的判定规则，排查时注意先将带分数化为假分数，对含字母的因式要确认是否存在可开方的部分，避免漏判。
【难度系数】
0.8
3. 计算$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}$的结果是________.
答案
3. $\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
这是一道二次根式的除法运算题，解题思路如下：第一步先观察分母中的二次根式，发现$\sqrt{12}$不是最简二次根式，先将其化简为最简二次根式；第二步合并分母中的同类二次根式；第三步对分子分母进行约分即可得到结果，先化简再计算比直接分母有理化更简便。
【解析】
先化简分母中的$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
将其代入原式得：
$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$
合并分母中的同类二次根式：
$\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
此时原式变为：
$\dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$
约去分子分母的公因式$\sqrt{3}$，得：
$\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式约分
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时优先将非最简二次根式化简后再运算，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式的除法运算题，解题思路如下：第一步先观察分母中的二次根式，发现$\sqrt{12}$不是最简二次根式，先将其化简为最简二次根式；第二步合并分母中的同类二次根式；第三步对分子分母进行约分即可得到结果，先化简再计算比直接分母有理化更简便。
【解析】
先化简分母中的$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
将其代入原式得：
$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{12}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$
合并分母中的同类二次根式：
$\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
此时原式变为：
$\dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$
约去分子分母的公因式$\sqrt{3}$，得：
$\dfrac{1}{3}$
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式约分
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题时优先将非最简二次根式化简后再运算，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
4. [2024·威海]计算：$\sqrt{12}-\sqrt{8}·\sqrt{6}=$
$-2\sqrt{3}$
.答案
4. $-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题时先遵循“先乘除后加减”的运算顺序，先计算乘法部分$\sqrt{8}·\sqrt{6}$，再将前后两个二次根式分别化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。思考时首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，以及最简二次根式的化简方法、合并同类二次根式的规则，按步骤计算即可。
【解析】
解：根据二次根式混合运算顺序，先计算乘法，再计算减法：
1. 计算乘法部分，由二次根式乘法法则得：
$\sqrt{8}·\sqrt{6}=\sqrt{8×6}=\sqrt{48}$
2. 将两个二次根式化简为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
3. 合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则和运算顺序，计算时注意先处理乘除运算，再将根式化简后合并，避免因运算顺序错误或者化简出错导致失分。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算题，解题时先遵循“先乘除后加减”的运算顺序，先计算乘法部分$\sqrt{8}·\sqrt{6}$，再将前后两个二次根式分别化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果。思考时首先回忆二次根式的乘法法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，以及最简二次根式的化简方法、合并同类二次根式的规则，按步骤计算即可。
【解析】
解：根据二次根式混合运算顺序，先计算乘法，再计算减法：
1. 计算乘法部分，由二次根式乘法法则得：
$\sqrt{8}·\sqrt{6}=\sqrt{8×6}=\sqrt{48}$
2. 将两个二次根式化简为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
3. 合并同类二次根式：
原式$=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的化简、同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则和运算顺序，计算时注意先处理乘除运算，再将根式化简后合并，避免因运算顺序错误或者化简出错导致失分。
【难度系数】
0.8
