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6. 不求值，比较大小：$2\sqrt{3}$ ______ $3\sqrt{2}$；$-4\sqrt{3}$ ______ $-3\sqrt{5}$.
答案
6.＜ ＜
解析
【分析】
比较带根号的正实数大小，可利用“两个正数，平方后值更大的原数更大”的性质，先计算两个数的平方再比较；比较负的带根号实数大小，先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值越大的原数越小”的规则得出结果。
【解析】
1. 比较$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的大小：
∵ $2\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{2}＞0$
分别计算两个数的平方：
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
∵ $12＜18$，
∴ $2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$。
2. 比较$-4\sqrt{3}$和$-3\sqrt{5}$的大小：
先比较两个数的绝对值$4\sqrt{3}$和$3\sqrt{5}$的大小：
∵ $4\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{5}＞0$
分别计算平方：
$(4\sqrt{3})^2=4^2×(\sqrt{3})^2=16×3=48$
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$
∵ $48＞45$，
∴ $4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$
根据负数比较大小的规则：绝对值大的数更小，可得$-4\sqrt{3}＜-3\sqrt{5}$。
【答案】
＜；＜
【知识点】
二次根式大小比较、实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题，常用平方法解决这类问题，需要注意负数比较大小时不要忽略符号规则，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
比较带根号的正实数大小，可利用“两个正数，平方后值更大的原数更大”的性质，先计算两个数的平方再比较；比较负的带根号实数大小，先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值越大的原数越小”的规则得出结果。
【解析】
1. 比较$2\sqrt{3}$和$3\sqrt{2}$的大小：
∵ $2\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{2}＞0$
分别计算两个数的平方：
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$
$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2=9×2=18$
∵ $12＜18$，
∴ $2\sqrt{3}＜3\sqrt{2}$。
2. 比较$-4\sqrt{3}$和$-3\sqrt{5}$的大小：
先比较两个数的绝对值$4\sqrt{3}$和$3\sqrt{5}$的大小：
∵ $4\sqrt{3}＞0$，$3\sqrt{5}＞0$
分别计算平方：
$(4\sqrt{3})^2=4^2×(\sqrt{3})^2=16×3=48$
$(3\sqrt{5})^2=3^2×(\sqrt{5})^2=9×5=45$
∵ $48＞45$，
∴ $4\sqrt{3}＞3\sqrt{5}$
根据负数比较大小的规则：绝对值大的数更小，可得$-4\sqrt{3}＜-3\sqrt{5}$。
【答案】
＜；＜
【知识点】
二次根式大小比较、实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题，常用平方法解决这类问题，需要注意负数比较大小时不要忽略符号规则，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
三、计算题
1. $\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$.
1. $\sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{27}$.
答案
1.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将所有非最简二次根式化简为最简二次根式，化简时需将被开方数中能开得尽方的因数单独开方；第二步识别同类二次根式（被开方数相同的二次根式），将同类二次根式的系数相加减，根号部分保持不变，最终得到计算结果。
【解析】
解：先对各项二次根式进行化简：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{27}&=\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\&=(1-2+3)\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 合并同类二次根式
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，核心考察二次根式的化简规则以及同类二次根式的合并方法，掌握“先化简、再合并”的运算流程就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
本题属于二次根式的加减运算题，解题思路分为两步：第一步先将所有非最简二次根式化简为最简二次根式，化简时需将被开方数中能开得尽方的因数单独开方；第二步识别同类二次根式（被开方数相同的二次根式），将同类二次根式的系数相加减，根号部分保持不变，最终得到计算结果。
【解析】
解：先对各项二次根式进行化简：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=\sqrt{9}×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}\sqrt{3}-\sqrt{12}+\sqrt{27}&=\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\&=(1-2+3)\sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 合并同类二次根式
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，核心考察二次根式的化简规则以及同类二次根式的合并方法，掌握“先化简、再合并”的运算流程就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
2. $(\sqrt{18} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2}.$
答案
2.1
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，有两种常用解题思路：思路一，先化简括号内的二次根式，合并同类二次根式后再做除法运算；思路二，利用除法分配律，将括号内的两个二次根式分别除以√2，再利用二次根式的除法法则计算，最后做减法，第二种方法计算更简便。解题时先回忆二次根式的化简规则和除法法则，按步骤计算即可。
【解析】
方法一：
$\begin{aligned}(\sqrt{18} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2}&=(3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}\\&=\sqrt{2} ÷ \sqrt{2}\\&=1\end{aligned}$
方法二：
$\begin{aligned}(\sqrt{18} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2}&=\sqrt{18}÷\sqrt{2} - \sqrt{8}÷\sqrt{2}\\&=\sqrt{18÷2} - \sqrt{8÷2}\\&=\sqrt{9} - \sqrt{4}\\&=3 - 2\\&=1\end{aligned}$
（两种方法任选其一即可）
【答案】
1
【知识点】
二次根式化简、二次根式除法运算、二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，选择合适的运算方法可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的混合运算题，有两种常用解题思路：思路一，先化简括号内的二次根式，合并同类二次根式后再做除法运算；思路二，利用除法分配律，将括号内的两个二次根式分别除以√2，再利用二次根式的除法法则计算，最后做减法，第二种方法计算更简便。解题时先回忆二次根式的化简规则和除法法则，按步骤计算即可。
【解析】
方法一：
$\begin{aligned}(\sqrt{18} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2}&=(3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) ÷ \sqrt{2}\\&=\sqrt{2} ÷ \sqrt{2}\\&=1\end{aligned}$
方法二：
$\begin{aligned}(\sqrt{18} - \sqrt{8}) ÷ \sqrt{2}&=\sqrt{18}÷\sqrt{2} - \sqrt{8}÷\sqrt{2}\\&=\sqrt{18÷2} - \sqrt{8÷2}\\&=\sqrt{9} - \sqrt{4}\\&=3 - 2\\&=1\end{aligned}$
（两种方法任选其一即可）
【答案】
1
【知识点】
二次根式化简、二次根式除法运算、二次根式混合运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，选择合适的运算方法可以简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
3. $\sqrt{108} - \sqrt{96} + \sqrt{54} - \sqrt{75}$.
4. $(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{3}-1)^2$.
5. $(\sqrt{12}+\sqrt{3}) × \sqrt{6} - \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$.
4. $(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6}) - (2\sqrt{3}-1)^2$.
5. $(\sqrt{12}+\sqrt{3}) × \sqrt{6} - \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$.
答案
3.$\sqrt{3}-\sqrt{6}$
4.$-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}$
5.$7\sqrt{2}$
4.$-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}$
5.$7\sqrt{2}$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式混合运算类题目，解题思路如下：①首先把算式中所有二次根式化为最简二次根式；②运算顺序和整式运算一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容，若算式中存在符合平方差、完全平方公式结构的部分，可优先用公式简化计算；③最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
3. 先化简各二次根式：
$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6\sqrt{3}-4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-5\sqrt{3}\\&=(6\sqrt{3}-5\sqrt{3})+(-4\sqrt{6}+3\sqrt{6})\\&=\sqrt{3}-\sqrt{6}\end{aligned}$
4. 分别计算乘法部分，再合并：
先计算$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})$，展开得：
$\begin{aligned}&1×\sqrt{2}-1×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{6}\\=&\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{18}\\=&\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\=&-2\sqrt{2}\end{aligned}$
再计算$(2\sqrt{3}-1)^2$，用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2\\=&12-4\sqrt{3}+1\\=&13-4\sqrt{3}\end{aligned}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-2\sqrt{2}-(13-4\sqrt{3})\\&=-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}\end{aligned}$
5. 分别计算两部分，再合并：
先计算$(\sqrt{12}+\sqrt{3})×\sqrt{6}$，先化简括号内：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，括号内为$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，则：
$3\sqrt{3}×\sqrt{6}=3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
再计算$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$，用平方差公式计算后两个因式：
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，则：
$\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$
代入原式得：
$原式=9\sqrt{2}-2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
【答案】
3. $\sqrt{3}-\sqrt{6}$
4. $-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}$
5. $7\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
这组题目侧重考察二次根式的运算基本功，解题时优先化简二次根式可降低计算难度，合理运用乘法公式能简化计算过程，运算时要注意符号处理，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于二次根式混合运算类题目，解题思路如下：①首先把算式中所有二次根式化为最简二次根式；②运算顺序和整式运算一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容，若算式中存在符合平方差、完全平方公式结构的部分，可优先用公式简化计算；③最后合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
3. 先化简各二次根式：
$\sqrt{108}=\sqrt{36×3}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{96}=\sqrt{16×6}=4\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=6\sqrt{3}-4\sqrt{6}+3\sqrt{6}-5\sqrt{3}\\&=(6\sqrt{3}-5\sqrt{3})+(-4\sqrt{6}+3\sqrt{6})\\&=\sqrt{3}-\sqrt{6}\end{aligned}$
4. 分别计算乘法部分，再合并：
先计算$(1+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{6})$，展开得：
$\begin{aligned}&1×\sqrt{2}-1×\sqrt{6}+\sqrt{3}×\sqrt{2}-\sqrt{3}×\sqrt{6}\\=&\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{18}\\=&\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\=&-2\sqrt{2}\end{aligned}$
再计算$(2\sqrt{3}-1)^2$，用完全平方公式展开：
$\begin{aligned}&(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×1+1^2\\=&12-4\sqrt{3}+1\\=&13-4\sqrt{3}\end{aligned}$
代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-2\sqrt{2}-(13-4\sqrt{3})\\&=-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}\end{aligned}$
5. 分别计算两部分，再合并：
先计算$(\sqrt{12}+\sqrt{3})×\sqrt{6}$，先化简括号内：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，括号内为$2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，则：
$3\sqrt{3}×\sqrt{6}=3\sqrt{18}=3×3\sqrt{2}=9\sqrt{2}$
再计算$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$，用平方差公式计算后两个因式：
$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1=2$，则：
$\sqrt{2}×2=2\sqrt{2}$
代入原式得：
$原式=9\sqrt{2}-2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
【答案】
3. $\sqrt{3}-\sqrt{6}$
4. $-2\sqrt{2}-13+4\sqrt{3}$
5. $7\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、乘法公式应用
【点评】
这组题目侧重考察二次根式的运算基本功，解题时优先化简二次根式可降低计算难度，合理运用乘法公式能简化计算过程，运算时要注意符号处理，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
四、解答题
化简:$\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}·(-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^{3}}{m^{3}}})÷\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}(m＞0,n＞0)$.
化简:$\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}·(-\dfrac{1}{m}\sqrt{\dfrac{n^{3}}{m^{3}}})÷\sqrt{\dfrac{n}{2m^{3}}}(m＞0,n＞0)$.
答案
解:$\because m＞0,n＞0$,
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{n}{m}· \dfrac{1}{m}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}· \dfrac{2m^3}{n}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2}{m^3}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}.$
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{n}{m}· \dfrac{1}{m}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}· \dfrac{2m^3}{n}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2}{m^3}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}.$
解析
【分析】
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先确定运算结果的符号，原式包含1个负号，且m、n均为正数，因此最终结果为负；2. 二次根式乘除运算中，可将系数和被开方数分别进行乘除运算，除法可转化为乘以对应被开方数的倒数；3. 先对被开方数部分约分，化简后再将二次根式化为最简形式，最后做分母有理化得到最终结果。
【解析】
$\because m＞0,n＞0$，所有二次根式均有意义，
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{n}{m}· \dfrac{1}{m}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}÷\dfrac{n}{2m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}· \dfrac{2m^3}{n}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2}{m^3}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}$
【答案】
$-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题时要先确定符号，再将系数与被开方数分开运算，计算过程中优先约分可简化步骤，最终结果需化为最简二次根式，避免出现分母含根号的情况。
【难度系数】
0.6
这是二次根式的乘除混合运算题，解题思路如下：1. 先确定运算结果的符号，原式包含1个负号，且m、n均为正数，因此最终结果为负；2. 二次根式乘除运算中，可将系数和被开方数分别进行乘除运算，除法可转化为乘以对应被开方数的倒数；3. 先对被开方数部分约分，化简后再将二次根式化为最简形式，最后做分母有理化得到最终结果。
【解析】
$\because m＞0,n＞0$，所有二次根式均有意义，
$\therefore$ 原式$=-\dfrac{n}{m}· \dfrac{1}{m}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}÷\dfrac{n}{2m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n}{2m^3}· \dfrac{n^3}{m^3}· \dfrac{2m^3}{n}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \sqrt{\dfrac{n^3}{m^3}}$
$=-\dfrac{n}{m^2}· \dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2}{m^3}\sqrt{\dfrac{n}{m}}$
$=-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}$
【答案】
$-\dfrac{n^2\sqrt{mn}}{m^4}$
【知识点】
二次根式乘除运算，最简二次根式，分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，解题时要先确定符号，再将系数与被开方数分开运算，计算过程中优先约分可简化步骤，最终结果需化为最简二次根式，避免出现分母含根号的情况。
【难度系数】
0.6
