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一、选择题
1. [2024·安徽]如下左图,在$Rt△ ABC$中,$AC=BC=2$,点$D$在$AB$的延长线上,且$CD=AB$,则$BD$的长是 （
A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
1. [2024·安徽]如下左图,在$Rt△ ABC$中,$AC=BC=2$,点$D$在$AB$的延长线上,且$CD=AB$,则$BD$的长是 （
B
）A.$\sqrt{10}-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}-2$
D.$2\sqrt{2}-\sqrt{6}$
答案
1. B
解析
【分析】
首先观察到△ABC是等腰直角三角形，我们可以先计算出斜边AB的长度，再通过作辅助线：过C作AB的垂线CE，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，得到CE、BE的长度；已知CD=AB，在构造出的Rt△CED中用勾股定理求出ED的长，最后通过ED减去BE即可得到BD的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AD于点E。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
∴ 由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵ △ABC是等腰直角三角形，CE⊥AB
∴ $CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$
由题意知$CD=AB=2\sqrt{2}$，在Rt△CED中，∠CED=90°，由勾股定理得：
$ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$
∴ $BD=ED-BE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
首先观察到△ABC是等腰直角三角形，我们可以先计算出斜边AB的长度，再通过作辅助线：过C作AB的垂线CE，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的性质，得到CE、BE的长度；已知CD=AB，在构造出的Rt△CED中用勾股定理求出ED的长，最后通过ED减去BE即可得到BD的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AD于点E。
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2
∴ 由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
∵ △ABC是等腰直角三角形，CE⊥AB
∴ $CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$
由题意知$CD=AB=2\sqrt{2}$，在Rt△CED中，∠CED=90°，由勾股定理得：
$ED=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{8-2}=\sqrt{6}$
∴ $BD=ED-BE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
2. 如上右图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为$ a $,较短直角边长为$ b $.若$ ab=8 $,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 (
A.9
B.6
C.4
D.3
D
)A.9
B.6
C.4
D.3
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先结合赵爽弦图的结构，明确大正方形边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长为较长直角边减较短直角边（即$a-b$）。已知大正方形面积可得斜边平方，结合勾股定理得到$a^2+b^2$的值；再观察所求的$a-b$与已知的$ab$、$a^2+b^2$的关系，可通过完全平方公式变形求出$(a-b)^2$的值，开方取正值即为小正方形边长。
【解析】
解：由题意可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 25$
小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a - b$。
根据完全平方公式变形：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
将$a^2 + b^2=25$，$ab=8$代入得：
$(a - b)^2 = 25 - 2×8 = 25 - 16 = 9$
因为边长为正数，所以$a - b = \sqrt{9}=3$，即小正方形的边长为3。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题结合经典的赵爽弦图考查几何与代数的综合应用，解题核心是找准图形中边长的数量关系，熟练运用勾股定理和完全平方公式进行变形计算，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合赵爽弦图的结构，明确大正方形边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长为较长直角边减较短直角边（即$a-b$）。已知大正方形面积可得斜边平方，结合勾股定理得到$a^2+b^2$的值；再观察所求的$a-b$与已知的$ab$、$a^2+b^2$的关系，可通过完全平方公式变形求出$(a-b)^2$的值，开方取正值即为小正方形边长。
【解析】
解：由题意可知，大正方形的边长为直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 25$
小正方形的边长为较长直角边减较短直角边，即$a - b$。
根据完全平方公式变形：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab$
将$a^2 + b^2=25$，$ab=8$代入得：
$(a - b)^2 = 25 - 2×8 = 25 - 16 = 9$
因为边长为正数，所以$a - b = \sqrt{9}=3$，即小正方形的边长为3。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；正方形的性质
【点评】
本题结合经典的赵爽弦图考查几何与代数的综合应用，解题核心是找准图形中边长的数量关系，熟练运用勾股定理和完全平方公式进行变形计算，是勾股定理相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图甲,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图乙的方式放置在最大正方形内.若知道图乙中阴影部分的面积,则一定能求出
(
A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
(
C
)A.直角三角形的面积
B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积
D.最大正方形与直角三角形的面积和
答案
3. C
解析
【分析】我们可以先设直角三角形的三边长分别为短直角边a、长直角边b、斜边c，根据勾股定理可得三个正方形的面积满足a²+b²=c²。再分析图乙的面积关系：阴影部分面积等于最大正方形面积减去两个小正方形在大正方形内覆盖的总面积，而两个小正方形有重叠部分，覆盖总面积需要用两个小正方形面积和减去重叠面积，结合勾股定理化简即可得到阴影面积和重叠面积的关系，进而判断正确选项。
【解析】设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，较小两个正方形重叠部分的面积为S重叠，阴影部分面积为S阴。
根据勾股定理可得：$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$。
两个小正方形放入最大正方形内时，因为存在重叠，所以它们覆盖的总面积为$a^2+b^2-S重叠$。
阴影部分面积为最大正方形面积减去两个小正方形的覆盖总面积，即：
$S_{阴}=c^2-(a^2+b^2-S_{重叠})$
将$a^2+b^2=c^2$代入上式化简可得：
$S_{阴}=c^2-(c^2-S_{重叠})=S_{重叠}$
因此阴影部分面积和较小两个正方形重叠部分的面积相等，知道阴影部分面积即可求出重叠部分面积。
其余选项中，直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$、最大正方形面积为$c^2$、二者的和为$c^2+\frac{1}{2}ab$，都无法仅通过阴影面积求出，因此ABD错误。
【答案】C
【知识点】勾股定理；面积和差计算；正方形的性质
【点评】本题将勾股定理和面积重叠问题结合考查，不需要计算具体边长，只要利用勾股定理建立三个正方形的面积关系，再通过面积的和差推导就能得到结论，解题的核心是理清重叠面积的计算逻辑。
【难度系数】0.6
【解析】设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，较小两个正方形重叠部分的面积为S重叠，阴影部分面积为S阴。
根据勾股定理可得：$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$。
两个小正方形放入最大正方形内时，因为存在重叠，所以它们覆盖的总面积为$a^2+b^2-S重叠$。
阴影部分面积为最大正方形面积减去两个小正方形的覆盖总面积，即：
$S_{阴}=c^2-(a^2+b^2-S_{重叠})$
将$a^2+b^2=c^2$代入上式化简可得：
$S_{阴}=c^2-(c^2-S_{重叠})=S_{重叠}$
因此阴影部分面积和较小两个正方形重叠部分的面积相等，知道阴影部分面积即可求出重叠部分面积。
其余选项中，直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$、最大正方形面积为$c^2$、二者的和为$c^2+\frac{1}{2}ab$，都无法仅通过阴影面积求出，因此ABD错误。
【答案】C
【知识点】勾股定理；面积和差计算；正方形的性质
【点评】本题将勾股定理和面积重叠问题结合考查，不需要计算具体边长，只要利用勾股定理建立三个正方形的面积关系，再通过面积的和差推导就能得到结论，解题的核心是理清重叠面积的计算逻辑。
【难度系数】0.6
