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8.如图，这是一个“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形.若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a，b，则ab的值为
20
.答案
8.20
解析
【分析】
首先观察赵爽弦图的面积构成：大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积之和加上中间小正方形的面积。解题时先分别求出大正方形、小正方形的面积，再用含a、b的式子表示4个直角三角形的总面积，最后根据面积相等的关系列等式，即可求出ab的值。
【解析】
解：根据图形的面积和差关系可得：
大正方形的面积 = 4个直角三角形的面积和 + 小正方形的面积
已知大正方形边长为7，因此大正方形面积为：$7^2 = 49$
已知小正方形边长为3，因此小正方形面积为：$3^2 = 9$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$
将各部分面积代入等式得：
$49 = 2ab + 9$
移项计算得：$2ab = 49 - 9 = 40$
解得：$ab = 20$
【答案】
20
【知识点】
1. 赵爽弦图的性质
2. 正方形面积计算
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题借助赵爽弦图考查面积和差关系的应用，解题关键是理清图形各部分的面积构成，属于基础常规题型，熟练掌握这类图形的面积模型即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察赵爽弦图的面积构成：大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积之和加上中间小正方形的面积。解题时先分别求出大正方形、小正方形的面积，再用含a、b的式子表示4个直角三角形的总面积，最后根据面积相等的关系列等式，即可求出ab的值。
【解析】
解：根据图形的面积和差关系可得：
大正方形的面积 = 4个直角三角形的面积和 + 小正方形的面积
已知大正方形边长为7，因此大正方形面积为：$7^2 = 49$
已知小正方形边长为3，因此小正方形面积为：$3^2 = 9$
每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}ab = 2ab$
将各部分面积代入等式得：
$49 = 2ab + 9$
移项计算得：$2ab = 49 - 9 = 40$
解得：$ab = 20$
【答案】
20
【知识点】
1. 赵爽弦图的性质
2. 正方形面积计算
3. 直角三角形面积计算
【点评】
本题借助赵爽弦图考查面积和差关系的应用，解题关键是理清图形各部分的面积构成，属于基础常规题型，熟练掌握这类图形的面积模型即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图,一根旗杆在离地面0.9 m处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部1.2 m处,则旗杆折断之前的高度为
2.4
m.答案
9.2.4
解析
【分析】
本题可通过将实际场景转化为直角三角形模型求解：首先明确旗杆断裂后，未断裂的垂直部分、地面上的水平距离、断裂的旗杆部分恰好构成直角三角形，其中两条直角边长度已知，我们可以先利用勾股定理求出断裂部分的长度，再将其与未断裂部分的长度相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，旗杆未断裂部分长0.9m，且与地面垂直，旗杆顶部落地点距离旗杆底部1.2m，因此未断裂部分、水平地面距离、断裂部分构成直角三角形，两条直角边长分别为0.9m、1.2m。
根据勾股定理，断裂部分的长度为：
$\sqrt{0.9^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.81 + 1.44} = \sqrt{2.25} = 1.5\ \mathrm{m}$
则旗杆折断前的总高度为未断裂部分加断裂部分的长度：
$0.9 + 1.5 = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的基础应用题型，解题核心是能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准直角三角形的各边对应量，再结合勾股定理计算即可，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
本题可通过将实际场景转化为直角三角形模型求解：首先明确旗杆断裂后，未断裂的垂直部分、地面上的水平距离、断裂的旗杆部分恰好构成直角三角形，其中两条直角边长度已知，我们可以先利用勾股定理求出断裂部分的长度，再将其与未断裂部分的长度相加，即可得到旗杆折断前的总高度。
【解析】
解：由题意得，旗杆未断裂部分长0.9m，且与地面垂直，旗杆顶部落地点距离旗杆底部1.2m，因此未断裂部分、水平地面距离、断裂部分构成直角三角形，两条直角边长分别为0.9m、1.2m。
根据勾股定理，断裂部分的长度为：
$\sqrt{0.9^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.81 + 1.44} = \sqrt{2.25} = 1.5\ \mathrm{m}$
则旗杆折断前的总高度为未断裂部分加断裂部分的长度：
$0.9 + 1.5 = 2.4\ \mathrm{m}$
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活实际中的基础应用题型，解题核心是能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，找准直角三角形的各边对应量，再结合勾股定理计算即可，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求边BC上高的长. 
答案
10. 解:如图,过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D.$\because AB=AC=13$,$BC=10$,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=5$. 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AB=13$,$BD=5$,$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=12$. $\therefore$边 BC 上高的长为 12.
解析
【分析】
首先观察到△ABC中AB=AC，是等腰三角形，要求BC边上的高，我们可以先作辅助线AD⊥BC（D为垂足）。根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，可先求出BD的长度；此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，利用勾股定理即可求出直角边AD的长度，也就是BC边上高的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥BC$，垂足为D。
$\because AB=AC=13$，$BC=10$，AD为BC边上的高，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理可得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
边BC上高的长为12。
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的高
【点评】
本题是几何基础计算题，是等腰三角形性质和勾股定理结合的典型常考题型，解题关键是正确作出辅助线，利用等腰三角形的性质构造直角三角形后计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察到△ABC中AB=AC，是等腰三角形，要求BC边上的高，我们可以先作辅助线AD⊥BC（D为垂足）。根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是BC边上的中线，可先求出BD的长度；此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，利用勾股定理即可求出直角边AD的长度，也就是BC边上高的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥BC$，垂足为D。
$\because AB=AC=13$，$BC=10$，AD为BC边上的高，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$BD=\frac{1}{2}BC=5$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理可得$AD^2+BD^2=AB^2$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
边BC上高的长为12。
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的高
【点评】
本题是几何基础计算题，是等腰三角形性质和勾股定理结合的典型常考题型，解题关键是正确作出辅助线，利用等腰三角形的性质构造直角三角形后计算即可。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，其中$CD=2$，$AD=4$，$BD=8$.
(1)求线段$AC$，$AB$的长.
(2)求证：$∠ CAB=90°$.
(1)求线段$AC$，$AB$的长.
(2)求证：$∠ CAB=90°$.
答案
11. 解:(1) $\because CD=2$,$AD=4$,$BD=8$,$AD⊥BC$,$\therefore AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=2\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=4\sqrt{5}$.
(2)证明:$\because AC=2\sqrt{5}$,$AB=4\sqrt{5}$,$BC=CD+BD=10$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$.$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠CAB=90°$.
(2)证明:$\because AC=2\sqrt{5}$,$AB=4\sqrt{5}$,$BC=CD+BD=10$,$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$.$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠CAB=90°$.
解析
【分析】
(1) 由AD⊥BC可知△ACD、△ABD都是直角三角形，已知两个直角三角形的两条直角边长度，直接用勾股定理即可计算出斜边AC、AB的长度。
(2) 要证明∠CAB=90°，只需证明△ABC为直角三角形且BC为斜边，先求出BC的总长度，再验证AC、AB的平方和是否等于BC的平方，若相等即可根据勾股定理的逆定理得到结论。
【解析】
(1) 解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore △ ACD$和$△ ABD$均为直角三角形，
在$Rt△ ACD$中，$CD=2$，$AD=4$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
在$Rt△ ABD$中，$AD=4$，$BD=8$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$
(2) 证明：$\because BC=CD+BD=2+8=10$，
$\therefore AC^2+AB^2=(2\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=20+80=100$，$BC^2=10^2=100$，
$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ CAB=90°$。
【答案】
(1) $AC=2\sqrt{5}$，$AB=4\sqrt{5}$；
(2) 已证得$∠ CAB=90°$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时只需找准直角三角形的边的对应关系，牢记定理内容即可快速解题，是对直角三角形相关性质的基础考察。
【难度系数】
0.8
(1) 由AD⊥BC可知△ACD、△ABD都是直角三角形，已知两个直角三角形的两条直角边长度，直接用勾股定理即可计算出斜边AC、AB的长度。
(2) 要证明∠CAB=90°，只需证明△ABC为直角三角形且BC为斜边，先求出BC的总长度，再验证AC、AB的平方和是否等于BC的平方，若相等即可根据勾股定理的逆定理得到结论。
【解析】
(1) 解：$\because AD⊥ BC$，
$\therefore △ ACD$和$△ ABD$均为直角三角形，
在$Rt△ ACD$中，$CD=2$，$AD=4$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
在$Rt△ ABD$中，$AD=4$，$BD=8$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$
(2) 证明：$\because BC=CD+BD=2+8=10$，
$\therefore AC^2+AB^2=(2\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=20+80=100$，$BC^2=10^2=100$，
$\therefore AC^2+AB^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ CAB=90°$。
【答案】
(1) $AC=2\sqrt{5}$，$AB=4\sqrt{5}$；
(2) 已证得$∠ CAB=90°$。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题时只需找准直角三角形的边的对应关系，牢记定理内容即可快速解题，是对直角三角形相关性质的基础考察。
【难度系数】
0.8
