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12.如图，小明的数学作业本上都是等距的横线，相邻两条横线的距离都是1.他把一个等腰直角三角板$ABC(∠ ACB=90°,AC=BC)$放在本子上，点$A,B,C$恰好都在横线上，则斜边$AB$的长度为（
A.$10$
B.$3\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{5}$
C
）A.$10$
B.$3\sqrt{10}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$6\sqrt{5}$
答案
12.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形，结合等距横线的条件求出直角边长度，再用勾股定理计算斜边。首先，过点A、B分别向过点C的横线作垂线，得到两个直角三角形，通过同角的余角相等证明两个三角形全等，得到对应边相等，再结合相邻横线间距为1，算出直角边AC的长度，最后利用勾股定理求出AB的长度。
【解析】
解：过点A作$AE⊥$过点C的横线，垂足为E，过点B作$BF⊥$过点C的横线，垂足为F。
则$∠ AEC=∠ CFB=90°$，$\therefore ∠ CAE + ∠ ACE = 90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF = 180° - 90° = 90°$，$\therefore ∠ CAE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ CFB \\∠ CAE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CFB(\mathrm{AAS})$。
由相邻横线距离为1，可得$AE=2$，$BF=6$，根据全等三角形对应边相等，得$CE=BF=6$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{40+40}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将等腰直角三角形和等距横线结合，需要通过作辅助线构造全等三角形，把未知线段转化为已知长度的线段求解，解题的关键是正确构造全等三角形，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形，结合等距横线的条件求出直角边长度，再用勾股定理计算斜边。首先，过点A、B分别向过点C的横线作垂线，得到两个直角三角形，通过同角的余角相等证明两个三角形全等，得到对应边相等，再结合相邻横线间距为1，算出直角边AC的长度，最后利用勾股定理求出AB的长度。
【解析】
解：过点A作$AE⊥$过点C的横线，垂足为E，过点B作$BF⊥$过点C的横线，垂足为F。
则$∠ AEC=∠ CFB=90°$，$\therefore ∠ CAE + ∠ ACE = 90°$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACE + ∠ BCF = 180° - 90° = 90°$，$\therefore ∠ CAE=∠ BCF$。
在$△ AEC$和$△ CFB$中：
$\begin{cases}∠ AEC=∠ CFB \\∠ CAE=∠ BCF \\AC=BC\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ CFB(\mathrm{AAS})$。
由相邻横线距离为1，可得$AE=2$，$BF=6$，根据全等三角形对应边相等，得$CE=BF=6$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{40+40}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将等腰直角三角形和等距横线结合，需要通过作辅助线构造全等三角形，把未知线段转化为已知长度的线段求解，解题的关键是正确构造全等三角形，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.6
13. 如图所示的网格都是正方形网格，A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
13.B
解析
【分析】
要求∠PAB+∠PBA的度数，可先利用三角形内角和定理将问题转化为求∠APB的度数。结合网格特点，设每个小正方形边长为1，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算相关线段长度，推导∠APB的度数后即可求出两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 先计算相关线段长度：由网格可得，AP横向跨度为2、纵向跨度为1，根据勾股定理$AP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；PB横向跨度为3、纵向跨度为1，同理$PB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；AB在水平网格线上，长度为5。
2. 过点B作$BM⊥ AP$，交AP的延长线于点M，设$PM=x$，$BM=y$。
在$Rt△ ABM$中，$AM=AP+PM=\sqrt{5}+x$，由勾股定理得：
$AM^2+BM^2=AB^2$，即$(\sqrt{5}+x)^2+y^2=25$ ①
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理得：
$PM^2+BM^2=PB^2$，即$x^2+y^2=10$ ②
用①-②化简得：$5+2\sqrt{5}x=15$，解得$x=\sqrt{5}$。
将$x=\sqrt{5}$代入②，得$y=\sqrt{5}$，即$PM=BM$，因此$△ PBM$是等腰直角三角形，$∠ BPM=45°$。
3. 可得$∠ APB=180°-∠ BPM=135°$，根据三角形内角和为$180°$，$∠ PAB+∠ PBA=180°-∠ APB=180°-135°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是网格背景下的角度计算问题，解题的核心是结合网格特征作辅助线构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度推导角度，需要熟练掌握三角形内角和定理进行角度的转化。
【难度系数】
0.65
要求∠PAB+∠PBA的度数，可先利用三角形内角和定理将问题转化为求∠APB的度数。结合网格特点，设每个小正方形边长为1，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算相关线段长度，推导∠APB的度数后即可求出两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 先计算相关线段长度：由网格可得，AP横向跨度为2、纵向跨度为1，根据勾股定理$AP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；PB横向跨度为3、纵向跨度为1，同理$PB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；AB在水平网格线上，长度为5。
2. 过点B作$BM⊥ AP$，交AP的延长线于点M，设$PM=x$，$BM=y$。
在$Rt△ ABM$中，$AM=AP+PM=\sqrt{5}+x$，由勾股定理得：
$AM^2+BM^2=AB^2$，即$(\sqrt{5}+x)^2+y^2=25$ ①
在$Rt△ PBM$中，由勾股定理得：
$PM^2+BM^2=PB^2$，即$x^2+y^2=10$ ②
用①-②化简得：$5+2\sqrt{5}x=15$，解得$x=\sqrt{5}$。
将$x=\sqrt{5}$代入②，得$y=\sqrt{5}$，即$PM=BM$，因此$△ PBM$是等腰直角三角形，$∠ BPM=45°$。
3. 可得$∠ APB=180°-∠ BPM=135°$，根据三角形内角和为$180°$，$∠ PAB+∠ PBA=180°-∠ APB=180°-135°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题是网格背景下的角度计算问题，解题的核心是结合网格特征作辅助线构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度推导角度，需要熟练掌握三角形内角和定理进行角度的转化。
【难度系数】
0.65
14.在如图所示的网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在格点上,则下列结论:
结论:
①$AB^2=20$;②$∠BAC=90°$;③$S_{△ABC}=11$;④点A到直线BC的距离是2.
其中正确的有
结论:
①$AB^2=20$;②$∠BAC=90°$;③$S_{△ABC}=11$;④点A到直线BC的距离是2.
其中正确的有
①②④
(填序号).答案
14.①②④
解析
【分析】
解决网格中三角形的相关判断问题，可按以下步骤思考：1. 利用勾股定理计算三角形各边的平方，验证边长相关结论；2. 用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，验证角度相关结论；3. 用割补法或直角三角形面积公式计算三角形面积，验证面积相关结论；4. 用等面积法（三角形面积=1/2×底×高）计算点到直线的距离，验证距离相关结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证①：AB的水平距离为4，竖直距离为2，根据勾股定理，$AB^2=4^2+2^2=16+4=20$，故①正确；
2. 验证②：同理计算$AC^2=2^2+1^2=5$，$BC^2=4^2+3^2=25$，可得$AB^2+AC^2=20+5=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，故②正确；
3. 验证③：方法1：因为$∠ BAC=90°$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{20}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$；方法2：用割补法，用边长为4的正方形面积减去周围3个直角三角形的面积：$S=4×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3×4=16-1-4-6=5$，故$S_{△ ABC}=5≠11$，③错误；
4. 验证④：设点A到直线BC的距离为h，BC的长度为$\sqrt{BC^2}=5$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，代入得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是网格几何的常见题型，解题核心是灵活运用勾股定理、割补法和等面积法，需要注意计算各边长度时的格子数不要数错，面积计算时避免漏减多余部分。
【难度系数】
0.7
解决网格中三角形的相关判断问题，可按以下步骤思考：1. 利用勾股定理计算三角形各边的平方，验证边长相关结论；2. 用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形，验证角度相关结论；3. 用割补法或直角三角形面积公式计算三角形面积，验证面积相关结论；4. 用等面积法（三角形面积=1/2×底×高）计算点到直线的距离，验证距离相关结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证①：AB的水平距离为4，竖直距离为2，根据勾股定理，$AB^2=4^2+2^2=16+4=20$，故①正确；
2. 验证②：同理计算$AC^2=2^2+1^2=5$，$BC^2=4^2+3^2=25$，可得$AB^2+AC^2=20+5=25=BC^2$，根据勾股定理逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$，故②正确；
3. 验证③：方法1：因为$∠ BAC=90°$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{20}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$；方法2：用割补法，用边长为4的正方形面积减去周围3个直角三角形的面积：$S=4×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3×4=16-1-4-6=5$，故$S_{△ ABC}=5≠11$，③错误；
4. 验证④：设点A到直线BC的距离为h，BC的长度为$\sqrt{BC^2}=5$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× h$，代入得$\frac{1}{2}×5× h=5$，解得$h=2$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题是网格几何的常见题型，解题核心是灵活运用勾股定理、割补法和等面积法，需要注意计算各边长度时的格子数不要数错，面积计算时避免漏减多余部分。
【难度系数】
0.7
15.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$P$为直线$AB$上一动点，连接$PC$.当$PC=5$时，$AP$的长是
5或2.2
.答案
15.5或2.2
解析
【分析】
首先在Rt△ABC中，利用勾股定理先求出斜边AB的长度，再用面积法求出AB边上的高，判断出PC=5时点P存在两种位置（在垂足的两侧），接下来分别计算P到垂足的距离、A到垂足的距离，最后分两种情况计算AP的长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，解得$CD=4.8$
$\because PC=5＞4.8$，$\therefore$直线$AB$上有2个点$P$满足条件
在$Rt△ PCD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4.8^2}=\sqrt{1.96}=1.4$
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=\sqrt{12.96}=3.6$
分两种情况：
1. 当点$P$在线段$AD$上时，$AP=AD-PD=3.6-1.4=2.2$
2. 当点$P$在线段$DB$上时，$AP=AD+PD=3.6+1.4=5$
【答案】
5或2.2
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略P在直线AB上，仅考虑线段AB上的点导致漏解，解题时先通过斜边上的高判断解的个数，再分情况计算即可，考查了直角三角形相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
首先在Rt△ABC中，利用勾股定理先求出斜边AB的长度，再用面积法求出AB边上的高，判断出PC=5时点P存在两种位置（在垂足的两侧），接下来分别计算P到垂足的距离、A到垂足的距离，最后分两种情况计算AP的长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$，解得$CD=4.8$
$\because PC=5＞4.8$，$\therefore$直线$AB$上有2个点$P$满足条件
在$Rt△ PCD$中，由勾股定理得：
$PD=\sqrt{PC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4.8^2}=\sqrt{1.96}=1.4$
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=\sqrt{12.96}=3.6$
分两种情况：
1. 当点$P$在线段$AD$上时，$AP=AD-PD=3.6-1.4=2.2$
2. 当点$P$在线段$DB$上时，$AP=AD+PD=3.6+1.4=5$
【答案】
5或2.2
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略P在直线AB上，仅考虑线段AB上的点导致漏解，解题时先通过斜边上的高判断解的个数，再分情况计算即可，考查了直角三角形相关性质的综合运用。
【难度系数】
0.6
16. 如图,在一条东西走向的河的一侧有一村庄 C,河边原有两个取水点 A,B,其中$AB=AC$.由于某些原因,由点 C 到点 A 的路现在已经不通了,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点 H(点 A,H,B 在一条直线上),并新修一条路 CH,现测得 $CB=3\ \mathrm{km},CH=2.4\ \mathrm{km},HB=1.8\ \mathrm{km}$.
(1)CH 是否为从村庄 C 到河边最近的路?请通过计算加以说明.
(2)求新路 CH 比原路 CA 近多少千米.
(1)CH 是否为从村庄 C 到河边最近的路?请通过计算加以说明.
(2)求新路 CH 比原路 CA 近多少千米.
答案
16. 解:(1)CH 是村庄 C 到河边最近的路,理由如下:$\because CH^2+BH^2=2.4^2+1.8^2=9$,$BC^2=3^2=9$,$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$.$\therefore ∠CHB=90°$.$\therefore CH⊥AB$. $\therefore CH$ 是从村庄 C 到河边最近的路.
(2)设$AC=x\ \mathrm{km}$,则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$,根据勾股定理,得$AC^2=AH^2+CH^2$,即$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$,解得$x=2.5$. $\therefore AC=2.5\ \mathrm{km}$.$\therefore AC-CH=2.5-2.4=0.1(\mathrm{km})$.$\therefore$新路 CH 比原路 CA 近 0.1 km.
(2)设$AC=x\ \mathrm{km}$,则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$,根据勾股定理,得$AC^2=AH^2+CH^2$,即$x^2=(x-1.8)^2+2.4^2$,解得$x=2.5$. $\therefore AC=2.5\ \mathrm{km}$.$\therefore AC-CH=2.5-2.4=0.1(\mathrm{km})$.$\therefore$新路 CH 比原路 CA 近 0.1 km.
解析
【分析】
(1)要判断CH是否为村庄C到河边最近的路，根据“点到直线的所有连线中垂线段最短”，只需判断CH是否垂直AB即可。已知△CHB的三边长，可通过勾股定理逆定理验证三边是否满足勾股关系，进而判断∠CHB是否为直角。
(2)已知AC=AB，设AC的长度为x km，则AB=x km，可表示出AH=(x-1.8)km，在Rt△ACH中利用勾股定理列方程求解AC的长度，再计算AC与CH的长度差即可得到结果。
【解析】
(1)CH是从村庄C到河边最近的路，理由如下：
在△CHB中，$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，$BC^2 = 3^2 = 9$，
∴$CH^2 + BH^2 = BC^2$，
根据勾股定理逆定理可得$∠ CHB = 90°$，即$CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边最近的路。
(2)设$AC = x\ \mathrm{km}$，由$AB=AC$得$AB=x\ \mathrm{km}$，则$AH = AB - HB = (x - 1.8)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据勾股定理得$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数据得：$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$，
展开得：$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$，
整理得：$3.6x = 9$，
解得$x=2.5$，即$AC=2.5\ \mathrm{km}$。
则$AC - CH = 2.5 - 2.4 = 0.1(\mathrm{km})$。
【答案】
(1)CH是从村庄C到河边最近的路；
(2)新路CH比原路CA近0.1千米。
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，勾股定理应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何中的垂直判断和边长计算问题，通过勾股定理及其逆定理即可求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1)要判断CH是否为村庄C到河边最近的路，根据“点到直线的所有连线中垂线段最短”，只需判断CH是否垂直AB即可。已知△CHB的三边长，可通过勾股定理逆定理验证三边是否满足勾股关系，进而判断∠CHB是否为直角。
(2)已知AC=AB，设AC的长度为x km，则AB=x km，可表示出AH=(x-1.8)km，在Rt△ACH中利用勾股定理列方程求解AC的长度，再计算AC与CH的长度差即可得到结果。
【解析】
(1)CH是从村庄C到河边最近的路，理由如下：
在△CHB中，$CH^2 + BH^2 = 2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$，$BC^2 = 3^2 = 9$，
∴$CH^2 + BH^2 = BC^2$，
根据勾股定理逆定理可得$∠ CHB = 90°$，即$CH ⊥ AB$。
根据垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边最近的路。
(2)设$AC = x\ \mathrm{km}$，由$AB=AC$得$AB=x\ \mathrm{km}$，则$AH = AB - HB = (x - 1.8)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，根据勾股定理得$AC^2 = AH^2 + CH^2$，
代入数据得：$x^2 = (x - 1.8)^2 + 2.4^2$，
展开得：$x^2 = x^2 - 3.6x + 3.24 + 5.76$，
整理得：$3.6x = 9$，
解得$x=2.5$，即$AC=2.5\ \mathrm{km}$。
则$AC - CH = 2.5 - 2.4 = 0.1(\mathrm{km})$。
【答案】
(1)CH是从村庄C到河边最近的路；
(2)新路CH比原路CA近0.1千米。
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，勾股定理应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是将实际问题转化为几何中的垂直判断和边长计算问题，通过勾股定理及其逆定理即可求解，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
