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17. 设$a,b,c$是一个三角形的三条边，且$a$是最长边，我们可以利用$a,b,c$三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：
①若$a^2 = b^2 + c^2$，则该三角形是直角三角形；
②若$a^2 ＞ b^2 + c^2$，则该三角形是钝角三角形；
③若$a^2 ＜ b^2 + c^2$，则该三角形是锐角三角形.
例如:若一个三角形的三边长分别是$4,5,6$,则最长边的长是$6,6^2 = 36 ＜ 4^2 + 5^2$,故由③可知该三角形是锐角三角形.
请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是$7,8,9$,则该三角形是
(2)若一个三角形的三边长分别是$5,12,x$,且这个三角形是直角三角形,求$x^2$的值.
(3)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,当$a=2,b=4$时,判断$△ ABC$的形状,并求出对应的$c^2$的取值范围.
①若$a^2 = b^2 + c^2$，则该三角形是直角三角形；
②若$a^2 ＞ b^2 + c^2$，则该三角形是钝角三角形；
③若$a^2 ＜ b^2 + c^2$，则该三角形是锐角三角形.
例如:若一个三角形的三边长分别是$4,5,6$,则最长边的长是$6,6^2 = 36 ＜ 4^2 + 5^2$,故由③可知该三角形是锐角三角形.
请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三边长分别是$7,8,9$,则该三角形是
锐角
三角形.(2)若一个三角形的三边长分别是$5,12,x$,且这个三角形是直角三角形,求$x^2$的值.
(3)已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,当$a=2,b=4$时,判断$△ ABC$的形状,并求出对应的$c^2$的取值范围.
答案
17. 解:(1)锐角
(2)$\because$这个三角形是直角三角形,当$x$为斜边长时,则$x^2=5^2+12^2=169$;当12为斜边长时,则$5^2+x^2=12^2$,解得$x^2=119$. 故$x^2$的值为169或119.
(3)$\because a=2,b=4$,$\therefore 4-2＜c＜4+2$,即$2＜c＜6$.$\therefore 4＜c^2＜36$.
若$△ABC$是钝角三角形,则$a^2+b^2＜c^2$或$a^2+c^2＜b^2$,则$c^2＞20$或$c^2＜12$,所以$20＜c^2＜36$或$4＜c^2＜12$;若$△ABC$是直角三角形,则$a^2+b^2=c^2$或$a^2+c^2=b^2$,所以$c^2=20$或$c^2=12$;若$△ABC$是锐角三角形,则$a^2+b^2＞c^2$或$a^2+c^2＞b^2$,则$c^2＜20$或$c^2＞12$,所以$12＜c^2＜20$.
(2)$\because$这个三角形是直角三角形,当$x$为斜边长时,则$x^2=5^2+12^2=169$;当12为斜边长时,则$5^2+x^2=12^2$,解得$x^2=119$. 故$x^2$的值为169或119.
(3)$\because a=2,b=4$,$\therefore 4-2＜c＜4+2$,即$2＜c＜6$.$\therefore 4＜c^2＜36$.
若$△ABC$是钝角三角形,则$a^2+b^2＜c^2$或$a^2+c^2＜b^2$,则$c^2＞20$或$c^2＜12$,所以$20＜c^2＜36$或$4＜c^2＜12$;若$△ABC$是直角三角形,则$a^2+b^2=c^2$或$a^2+c^2=b^2$,所以$c^2=20$或$c^2=12$;若$△ABC$是锐角三角形,则$a^2+b^2＞c^2$或$a^2+c^2＞b^2$,则$c^2＜20$或$c^2＞12$,所以$12＜c^2＜20$.
解析
【分析】
（1）第一问先找到最长边，分别计算最长边的平方、另外两边的平方和，对比二者大小，结合题干给出的形状判定规则即可得出结论。
（2）第二问未明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论：①x为斜边；②12为斜边，分别根据勾股定理计算$x^2$即可，计算结果需符合三角形三边关系。
（3）第三问首先根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出$c$的取值范围，进而得到$c^2$的取值范围；再分别按直角、钝角、锐角三角形的判定规则，分最长边为$b=4$、最长边为$c$两种情况讨论，求出对应$c^2$的范围即可。
【解析】
(1) 三角形三边长为7,8,9，最长边为9，计算得：$9^2=81$，$7^2+8^2=49+64=113$，$\because 81＜113$，即$a^2＜b^2+c^2$，因此该三角形为锐角三角形。
(2) 该三角形为直角三角形，未明确斜边，分两种情况计算：
①当$x$为斜边长时，由勾股定理得：$x^2=5^2+12^2=25+144=169$；
②当12为斜边长时，由勾股定理得：$5^2+x^2=12^2$，解得$x^2=12^2-5^2=144-25=119$。
因此$x^2$的值为169或119。
(3) 已知$a=2,b=4$，由三角形三边关系得：$4-2＜c＜4+2$，即$2＜c＜6$，平方得$4＜c^2＜36$，分三类讨论形状：
①若为直角三角形：
当$c$为斜边时，$c^2=a^2+b^2=2^2+4^2=20$；
当$b$为斜边时，$a^2+c^2=b^2$，即$c^2=b^2-a^2=16-4=12$；
②若为钝角三角形：
当$c$为最长边时，$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$，结合$c^2＜36$，得$20＜c^2＜36$；
当$b$为最长边时，$a^2+c^2＜b^2$，即$c^2＜12$，结合$c^2＞4$，得$4＜c^2＜12$；
③若为锐角三角形：需同时满足两边平方和大于最长边平方，即$a^2+b^2＞c^2$且$a^2+c^2＞b^2$，得$c^2＜20$且$c^2＞12$，即$12＜c^2＜20$。
【答案】
(1) 锐角
(2) $x^2$的值为169或119
(3) 当$4＜c^2＜12$或$20＜c^2＜36$时，$△ ABC$是钝角三角形；当$c^2=12$或$c^2=20$时，$△ ABC$是直角三角形；当$12＜c^2＜20$时，$△ ABC$是锐角三角形。
【知识点】
三角形三边关系，勾股定理逆应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新给定的三角形形状判定规则，考查了勾股定理相关知识和三角形三边关系的应用，解题的核心是注意分类讨论最长边的不同情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
（1）第一问先找到最长边，分别计算最长边的平方、另外两边的平方和，对比二者大小，结合题干给出的形状判定规则即可得出结论。
（2）第二问未明确直角三角形的斜边，因此需要分类讨论：①x为斜边；②12为斜边，分别根据勾股定理计算$x^2$即可，计算结果需符合三角形三边关系。
（3）第三问首先根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求出$c$的取值范围，进而得到$c^2$的取值范围；再分别按直角、钝角、锐角三角形的判定规则，分最长边为$b=4$、最长边为$c$两种情况讨论，求出对应$c^2$的范围即可。
【解析】
(1) 三角形三边长为7,8,9，最长边为9，计算得：$9^2=81$，$7^2+8^2=49+64=113$，$\because 81＜113$，即$a^2＜b^2+c^2$，因此该三角形为锐角三角形。
(2) 该三角形为直角三角形，未明确斜边，分两种情况计算：
①当$x$为斜边长时，由勾股定理得：$x^2=5^2+12^2=25+144=169$；
②当12为斜边长时，由勾股定理得：$5^2+x^2=12^2$，解得$x^2=12^2-5^2=144-25=119$。
因此$x^2$的值为169或119。
(3) 已知$a=2,b=4$，由三角形三边关系得：$4-2＜c＜4+2$，即$2＜c＜6$，平方得$4＜c^2＜36$，分三类讨论形状：
①若为直角三角形：
当$c$为斜边时，$c^2=a^2+b^2=2^2+4^2=20$；
当$b$为斜边时，$a^2+c^2=b^2$，即$c^2=b^2-a^2=16-4=12$；
②若为钝角三角形：
当$c$为最长边时，$a^2+b^2＜c^2$，即$c^2＞20$，结合$c^2＜36$，得$20＜c^2＜36$；
当$b$为最长边时，$a^2+c^2＜b^2$，即$c^2＜12$，结合$c^2＞4$，得$4＜c^2＜12$；
③若为锐角三角形：需同时满足两边平方和大于最长边平方，即$a^2+b^2＞c^2$且$a^2+c^2＞b^2$，得$c^2＜20$且$c^2＞12$，即$12＜c^2＜20$。
【答案】
(1) 锐角
(2) $x^2$的值为169或119
(3) 当$4＜c^2＜12$或$20＜c^2＜36$时，$△ ABC$是钝角三角形；当$c^2=12$或$c^2=20$时，$△ ABC$是直角三角形；当$12＜c^2＜20$时，$△ ABC$是锐角三角形。
【知识点】
三角形三边关系，勾股定理逆应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合新给定的三角形形状判定规则，考查了勾股定理相关知识和三角形三边关系的应用，解题的核心是注意分类讨论最长边的不同情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
