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7. 解方程(组)：
(1)$3(x-1)-4(2x+1)=8$；
(2)$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2y-2}{3}, \\ 2(x-1)+3(y+2)=5. \end{cases}$
(1)$3(x-1)-4(2x+1)=8$；
(2)$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2y-2}{3}, \\ 2(x-1)+3(y+2)=5. \end{cases}$
答案
7.解:(1)$x=-3$. (2)$\begin{cases} x=-1,\\ y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 本题是一元一次方程，按照一元一次方程的标准解题步骤求解即可：先去括号，再移项将含未知数的项放等号左侧、常数项放等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1就能得到结果。
(2) 本题是二元一次方程组，首先需要对两个原方程去分母、去括号，化简为整系数的标准二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，求出其中一个未知数的值，再代入方程求另一个未知数的值即可。
【解析】
(1) 解方程$3(x-1)-4(2x+1)=8$：
第一步去括号，得：$3x - 3 - 8x - 4 = 8$
合并左侧同类项，得：$-5x - 7 = 8$
移项，得：$-5x = 8 + 7$，即$-5x = 15$
系数化为1，两边同时除以$-5$，得：$x = -3$
(2) 解方程组$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2y-2}{3}, \\ 2(x-1)+3(y+2)=5. \end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时乘6去分母，得$3(x+1)=2(2y-2)$，去括号整理得：$3x - 4y = -7$ ①
再化简第二个方程：去括号得$2x - 2 + 3y + 6 = 5$，整理得：$2x + 3y = 1$ ②
用加减消元法消去$x$：①$×2$得$6x - 8y = -14$ ③，②$×3$得$6x + 9y = 3$ ④
用④$-$③，得：$17y = 17$，解得$y=1$
把$y=1$代入②，得：$2x + 3×1 = 1$，解得$x=-1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}$
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 二元一次方程组解法
3. 等式的性质
【点评】
本题属于方程类基础题型，重点考察解方程的常规步骤，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，熟练掌握消元法是求解二元一次方程组的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是一元一次方程，按照一元一次方程的标准解题步骤求解即可：先去括号，再移项将含未知数的项放等号左侧、常数项放等号右侧，合并同类项后将未知数的系数化为1就能得到结果。
(2) 本题是二元一次方程组，首先需要对两个原方程去分母、去括号，化简为整系数的标准二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，求出其中一个未知数的值，再代入方程求另一个未知数的值即可。
【解析】
(1) 解方程$3(x-1)-4(2x+1)=8$：
第一步去括号，得：$3x - 3 - 8x - 4 = 8$
合并左侧同类项，得：$-5x - 7 = 8$
移项，得：$-5x = 8 + 7$，即$-5x = 15$
系数化为1，两边同时除以$-5$，得：$x = -3$
(2) 解方程组$\begin{cases} \dfrac{x+1}{2}=\dfrac{2y-2}{3}, \\ 2(x-1)+3(y+2)=5. \end{cases}$
先化简第一个方程：两边同时乘6去分母，得$3(x+1)=2(2y-2)$，去括号整理得：$3x - 4y = -7$ ①
再化简第二个方程：去括号得$2x - 2 + 3y + 6 = 5$，整理得：$2x + 3y = 1$ ②
用加减消元法消去$x$：①$×2$得$6x - 8y = -14$ ③，②$×3$得$6x + 9y = 3$ ④
用④$-$③，得：$17y = 17$，解得$y=1$
把$y=1$代入②，得：$2x + 3×1 = 1$，解得$x=-1$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}$
【答案】
(1)$x=-3$；(2)$\begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 二元一次方程组解法
3. 等式的性质
【点评】
本题属于方程类基础题型，重点考察解方程的常规步骤，解题时要注意去括号、移项过程中的符号变化，熟练掌握消元法是求解二元一次方程组的核心。
【难度系数】
0.8
8. 参加医疗保险后，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司的报销金额是1 100元，那么此人住院的医疗费是 （
A.1 000元
B.1 250元
C.1 500元
D.2 000元
D
）A.1 000元
B.1 250元
C.1 500元
D.2 000元
答案
8.D
解析
【分析】
首先需要先计算不同费用段的最高报销金额，判断报销1100元对应的医疗费所属的区间：①不超过500元部分报销0元；②500~1000元的部分最多报销$(1000-500)×60\%=300$元，合计最多报销300元，小于1100元，说明医疗费超过1000元；③1000~3000元部分最多报销$(3000-1000)×80\%=1600$元，合计最多报销$300+1600=1900$元，大于1100元，因此医疗费在1000~3000元区间。接下来设医疗费为$x$元，根据“500~1000元部分报销金额+1000元以上部分报销金额=总报销金额1100元”列一元一次方程求解即可。
【解析】
步骤1：判断医疗费所属区间
医疗费≤500元时，报销金额为0元；
500元＜医疗费≤1000元时，最高报销金额：$(1000-500)×60\%=300$元，$300＜1100$，说明医疗费超过1000元；
1000元＜医疗费≤3000元时，最高报销金额：$300+(3000-1000)×80\%=1900$元，$1900＞1100$，因此医疗费在1000~3000元区间。
步骤2：列方程求解
设此人住院的医疗费是$x$元，根据报销规则列方程：
$(1000-500)×60\% + (x-1000)×80\% = 1100$
计算得：
$300 + 0.8x - 800 = 1100$
$0.8x = 1100 + 800 - 300$
$0.8x = 1600$
$x = 2000$
【答案】D
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的分段计费类应用题，解题的核心是先根据已知的报销金额反推费用所属的计费区间，再根据分段规则找等量关系列方程计算，切忌直接用总报销金额除以对应段的报销率，忽略分段规则导致错误。
【难度系数】
0.6
首先需要先计算不同费用段的最高报销金额，判断报销1100元对应的医疗费所属的区间：①不超过500元部分报销0元；②500~1000元的部分最多报销$(1000-500)×60\%=300$元，合计最多报销300元，小于1100元，说明医疗费超过1000元；③1000~3000元部分最多报销$(3000-1000)×80\%=1600$元，合计最多报销$300+1600=1900$元，大于1100元，因此医疗费在1000~3000元区间。接下来设医疗费为$x$元，根据“500~1000元部分报销金额+1000元以上部分报销金额=总报销金额1100元”列一元一次方程求解即可。
【解析】
步骤1：判断医疗费所属区间
医疗费≤500元时，报销金额为0元；
500元＜医疗费≤1000元时，最高报销金额：$(1000-500)×60\%=300$元，$300＜1100$，说明医疗费超过1000元；
1000元＜医疗费≤3000元时，最高报销金额：$300+(3000-1000)×80\%=1900$元，$1900＞1100$，因此医疗费在1000~3000元区间。
步骤2：列方程求解
设此人住院的医疗费是$x$元，根据报销规则列方程：
$(1000-500)×60\% + (x-1000)×80\% = 1100$
计算得：
$300 + 0.8x - 800 = 1100$
$0.8x = 1100 + 800 - 300$
$0.8x = 1600$
$x = 2000$
【答案】D
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的分段计费类应用题，解题的核心是先根据已知的报销金额反推费用所属的计费区间，再根据分段规则找等量关系列方程计算，切忌直接用总报销金额除以对应段的报销率，忽略分段规则导致错误。
【难度系数】
0.6
9. [新课标·情境题]小红去超市买棒棒糖，已知棒棒糖每个1.5元，结账时店员告诉小红：“如果你再多买一个棒棒糖就可以打九折，价钱会比现在便宜4.5元.”小红说：“我买这些就好了，谢谢.”根据两人的对话，判断结账时小红买的棒棒糖的个数为 （
A.38
B.39
C.40
D.41
B
）A.38
B.39
C.40
D.41
答案
9.B
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系。我们可以先设小红结账时购买的棒棒糖个数为未知数，分别表示出当前购买的总费用、多买一个打九折后的总费用，再根据“当前总费用 - 打折后总费用 = 4.5元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设结账时小红买的棒棒糖的个数为$x$个。
当前购买的总费用为：$1.5x$元
若多买1个，总个数为$(x+1)$个，打九折后的总费用为：$1.5×(x+1)×0.9$元
根据题意列方程：
$1.5x - 1.5×0.9×(x+1) = 4.5$
解方程：
展开括号得：$1.5x - 1.35x - 1.35 = 4.5$
合并同类项得：$0.15x - 1.35 = 4.5$
移项得：$0.15x = 4.5 + 1.35$
计算得：$0.15x = 5.85$
解得：$x = 39$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合日常购物场景出题，贴近生活，解题关键是准确梳理不同购买方案下的费用关系，列方程计算时注意运算准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程的实际应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系。我们可以先设小红结账时购买的棒棒糖个数为未知数，分别表示出当前购买的总费用、多买一个打九折后的总费用，再根据“当前总费用 - 打折后总费用 = 4.5元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设结账时小红买的棒棒糖的个数为$x$个。
当前购买的总费用为：$1.5x$元
若多买1个，总个数为$(x+1)$个，打九折后的总费用为：$1.5×(x+1)×0.9$元
根据题意列方程：
$1.5x - 1.5×0.9×(x+1) = 4.5$
解方程：
展开括号得：$1.5x - 1.35x - 1.35 = 4.5$
合并同类项得：$0.15x - 1.35 = 4.5$
移项得：$0.15x = 4.5 + 1.35$
计算得：$0.15x = 5.85$
解得：$x = 39$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合日常购物场景出题，贴近生活，解题关键是准确梳理不同购买方案下的费用关系，列方程计算时注意运算准确性即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
10. [2025·合肥五十中期末]一个两位数,个位数字比十位数字大5.如果把个位数字与十位数字对调,那么所得到的新数与原数的和是99.原来的两位数是
27
.答案
10.27
解析
【分析】
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字。首先梳理题目中的等量关系：①个位数字=十位数字+5；②对调后新数+原数=99。我们可以设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字、原数和新数，再根据两个数的和为99列方程求解即可。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+5$。
原数可表示为：$10x + (x+5) = 11x + 5$
对调后新数的十位数字为$x+5$，个位数字为$x$，新数可表示为：$10(x+5) + x = 11x + 50$
根据新数与原数的和是99，列方程得：
$(11x + 5) + (11x + 50) = 99$
合并同类项得：$22x + 55 = 99$
移项得：$22x = 99 - 55$
计算得：$22x = 44$
解得：$x = 2$
则个位数字为$x + 5 = 2 + 5 = 7$
所以原来的两位数是27。
【答案】
27
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示规则，准确提取题干中的等量关系建立方程，属于基础题型，熟练掌握这类题的解法可以为后续复杂应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字。首先梳理题目中的等量关系：①个位数字=十位数字+5；②对调后新数+原数=99。我们可以设十位数字为未知数，用含未知数的式子表示出个位数字、原数和新数，再根据两个数的和为99列方程求解即可。
【解析】
解：设原来两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+5$。
原数可表示为：$10x + (x+5) = 11x + 5$
对调后新数的十位数字为$x+5$，个位数字为$x$，新数可表示为：$10(x+5) + x = 11x + 50$
根据新数与原数的和是99，列方程得：
$(11x + 5) + (11x + 50) = 99$
合并同类项得：$22x + 55 = 99$
移项得：$22x = 99 - 55$
计算得：$22x = 44$
解得：$x = 2$
则个位数字为$x + 5 = 2 + 5 = 7$
所以原来的两位数是27。
【答案】
27
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题核心是正确掌握多位数的表示规则，准确提取题干中的等量关系建立方程，属于基础题型，熟练掌握这类题的解法可以为后续复杂应用题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx + m = (2k - 1)x + 4 $. 当 $ k, m $ 为何值时：
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解.
(1)方程有唯一解；
(2)方程有无数个解；
(3)方程无解.
答案
11.解:整理原方程,得$(k-1)x=m-4$.
(1)当$k≠1,m$为任意数时,原方程有唯一解.
(2)当$k=1,m=4$时,原方程有无数个解.
(3)当$k=1,m≠4$时,原方程无解.
(1)当$k≠1,m$为任意数时,原方程有唯一解.
(2)当$k=1,m=4$时,原方程有无数个解.
(3)当$k=1,m≠4$时,原方程无解.
解析
【分析】
要解决含参数的一元一次方程解的情况问题，首先需要通过移项、合并同类项把原方程整理为$ax=b$的标准形式，再结合一元一次方程三种解对应的条件分类讨论：当$a≠0$时方程有唯一解；当$a=0$且$b=0$时方程有无数个解；当$a=0$且$b≠0$时方程无解，对应求出$k、m$的取值即可。
【解析】
首先对原方程进行变形：
移项得：$kx - (2k - 1)x = 4 - m$
合并同类项得：$(k - 2k + 1)x = 4 - m$，即$(1 - k)x = 4 - m$
整理为标准形式：$(k - 1)x = m - 4$
(1) 当一次项系数不为0，即$k - 1≠0$，也就是$k≠1$时，无论$m$取任意实数，方程两边都可同时除以$k-1$得到唯一的解$x=\frac{m-4}{k-1}$，此时方程有唯一解。
(2) 当一次项系数为0且常数项也为0时，即$\begin{cases}k - 1 = 0 \\ m - 4 = 0\end{cases}$，也就是$k=1$且$m=4$时，原方程变为$0· x=0$，无论$x$取何值等式都成立，此时方程有无数个解。
(3) 当一次项系数为0但常数项不为0时，即$\begin{cases}k - 1 = 0 \\ m - 4 ≠ 0\end{cases}$，也就是$k=1$且$m≠4$时，原方程变为$0· x=\mathrm{非零常数}$，无论$x$取何值等式都不成立，此时方程无解。
【答案】
整理原方程,得$(k-1)x=m-4$.
(1)当$k≠1,m$为任意数时,原方程有唯一解.
(2)当$k=1,m=4$时,原方程有无数个解.
(3)当$k=1,m≠4$时,原方程无解.
【知识点】
一元一次方程化简，含参一次方程解的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是含参数一元一次方程解的判定的典型基础题，解题核心是先将方程整理为$ax=b$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，熟练掌握三种解对应的判定条件就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决含参数的一元一次方程解的情况问题，首先需要通过移项、合并同类项把原方程整理为$ax=b$的标准形式，再结合一元一次方程三种解对应的条件分类讨论：当$a≠0$时方程有唯一解；当$a=0$且$b=0$时方程有无数个解；当$a=0$且$b≠0$时方程无解，对应求出$k、m$的取值即可。
【解析】
首先对原方程进行变形：
移项得：$kx - (2k - 1)x = 4 - m$
合并同类项得：$(k - 2k + 1)x = 4 - m$，即$(1 - k)x = 4 - m$
整理为标准形式：$(k - 1)x = m - 4$
(1) 当一次项系数不为0，即$k - 1≠0$，也就是$k≠1$时，无论$m$取任意实数，方程两边都可同时除以$k-1$得到唯一的解$x=\frac{m-4}{k-1}$，此时方程有唯一解。
(2) 当一次项系数为0且常数项也为0时，即$\begin{cases}k - 1 = 0 \\ m - 4 = 0\end{cases}$，也就是$k=1$且$m=4$时，原方程变为$0· x=0$，无论$x$取何值等式都成立，此时方程有无数个解。
(3) 当一次项系数为0但常数项不为0时，即$\begin{cases}k - 1 = 0 \\ m - 4 ≠ 0\end{cases}$，也就是$k=1$且$m≠4$时，原方程变为$0· x=\mathrm{非零常数}$，无论$x$取何值等式都不成立，此时方程无解。
【答案】
整理原方程,得$(k-1)x=m-4$.
(1)当$k≠1,m$为任意数时,原方程有唯一解.
(2)当$k=1,m=4$时,原方程有无数个解.
(3)当$k=1,m≠4$时,原方程无解.
【知识点】
一元一次方程化简，含参一次方程解的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是含参数一元一次方程解的判定的典型基础题，解题核心是先将方程整理为$ax=b$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，熟练掌握三种解对应的判定条件就能快速解题。
【难度系数】
0.7
