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12. 在解方程组$\begin{cases} ax+by=2, \\ cx+5y=8 \end{cases}$时,一位马虎的学生把$c$写错了,从而解得$\begin{cases} x=-3, \\ y=1, \end{cases}$而方程组正确的解是$\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$求$a+b-c$的值.
答案
12.解:把$\begin{cases} x=-3,\\ y=1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$分别代入$ax+by=2$,得$\begin{cases} -3a+b=2, \quad ①\\ 3a-2b=2. \quad ② \end{cases}$ ①+②,得$-b=4$,所以$b=-4$.把$b=-4$代入①,得$-3a-4=2$,所以$a=-2$.把$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$代入$cx+5y=8$,得$3c-10=8$,所以$c=6$.所以$a+b-c=-2-4-6=-12$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步梳理：首先，马虎学生仅写错了系数c，第一个方程$ax+by=2$不含c，因此他解得的结果仍然满足第一个方程，同时方程组的正确解满足两个方程。其次，把错误解和正确解分别代入第一个方程，即可得到关于a、b的二元一次方程组，求解就能得到a、b的值。最后，把正确解代入第二个含c的方程，求出c的值，再代入代数式$a+b-c$计算即可。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=-3,\\ y=1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$分别代入$ax+by=2$，得
$\begin{cases} -3a+b=2, \quad ①\\ 3a-2b=2. \quad ② \end{cases}$
①+②，得$-b=4$，所以$b=-4$。
把$b=-4$代入①，得$-3a-4=2$，所以$a=-2$。
把正确解$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$代入$cx+5y=8$，得$3c-10=8$，所以$c=6$。
因此$a+b-c=-2-4-6=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组典型题型，解题核心是明确抄错参数的解仍然满足不含该参数的方程，分步骤求解未知参数即可，解题时要注意代入计算的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步梳理：首先，马虎学生仅写错了系数c，第一个方程$ax+by=2$不含c，因此他解得的结果仍然满足第一个方程，同时方程组的正确解满足两个方程。其次，把错误解和正确解分别代入第一个方程，即可得到关于a、b的二元一次方程组，求解就能得到a、b的值。最后，把正确解代入第二个含c的方程，求出c的值，再代入代数式$a+b-c$计算即可。
【解析】
解：把$\begin{cases} x=-3,\\ y=1 \end{cases}$和$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$分别代入$ax+by=2$，得
$\begin{cases} -3a+b=2, \quad ①\\ 3a-2b=2. \quad ② \end{cases}$
①+②，得$-b=4$，所以$b=-4$。
把$b=-4$代入①，得$-3a-4=2$，所以$a=-2$。
把正确解$\begin{cases} x=3,\\ y=-2 \end{cases}$代入$cx+5y=8$，得$3c-10=8$，所以$c=6$。
因此$a+b-c=-2-4-6=-12$。
【答案】
$-12$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是含参数的二元一次方程组典型题型，解题核心是明确抄错参数的解仍然满足不含该参数的方程，分步骤求解未知参数即可，解题时要注意代入计算的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
13. 小明三次到某超市购买 A,B 两种商品,其中仅有一次是打折的,购买数量及消费金额如下表:
解答下列问题:
(1)第
(2)求 A,B 两种商品的原价；
(3)若 A,B 两种商品的打折情况相同,求打了几折.
解答下列问题:
(1)第
三
次购买打折了；(2)求 A,B 两种商品的原价；
(3)若 A,B 两种商品的打折情况相同,求打了几折.
答案
13.解:(1)三
(2)设A种商品的原价为x元,B种商品的原价为y元.
根据题意,得$\begin{cases} 4x+5y=320,\\ 2x+6y=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30,\\ y=40. \end{cases}$
答:A种商品的原价为30元,B种商品的原价为40元.
(3)设打了m折.
根据题意,得$5×30×\frac{m}{10}+7×40×\frac{m}{10}=258$,解得$m=6$.
答:打了六折.
(2)设A种商品的原价为x元,B种商品的原价为y元.
根据题意,得$\begin{cases} 4x+5y=320,\\ 2x+6y=300, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30,\\ y=40. \end{cases}$
答:A种商品的原价为30元,B种商品的原价为40元.
(3)设打了m折.
根据题意,得$5×30×\frac{m}{10}+7×40×\frac{m}{10}=258$,解得$m=6$.
答:打了六折.
解析
【分析】
(1)判断打折批次：已知仅有一次购买打折，打折时实际消费金额会低于按原价购买的应付金额。观察三次购买数据，第三次购买的A、B商品数量均多于前两次，但消费金额更低，初步判断第三次为打折批次，后续可通过计算验证该结论。
(2)求A、B商品原价：前两次为原价购买，可根据“总消费金额=A商品单价×A购买数量+B商品单价×B购买数量”的等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种商品的原价。
(3)求折扣：设折扣为m折，打折后商品售价=原价×$\frac{m}{10}$，根据第三次购买的实际消费金额等于打折后A、B商品的总价和，列一元一次方程求解即可得到折扣数。
【解析】
(1)对比三次购买的数量和消费金额，第三次购买商品更多但花费更少，可知第三次购买打折了。
(2)设A种商品的原价为x元，B种商品的原价为y元，根据前两次未打折的消费数据列方程组：
$\begin{cases} 4x+5y=320\\ 2x+6y=300 \end{cases}$
将第二个方程变形为$x=150-3y$，代入第一个方程得：
$4×(150-3y)+5y=320$
$600-12y+5y=320$
解得$y=40$，将$y=40$代入$x=150-3y$，得$x=30$。
(3)设打了m折，根据第三次消费金额列方程：
$5×30×\frac{m}{10}+7×40×\frac{m}{10}=258$
整理得$43m=258$，解得$m=6$。
【答案】
(1)三；
(2)A种商品原价为30元，B种商品原价为40元；
(3)打了六折。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，打折销售计算
【点评】
本题结合生活购物场景考查方程的实际应用，解题关键是先通过数据特征判断出打折批次，再利用未打折的消费数据建立方程求解，贴近生活实际，能有效锻炼学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断打折批次：已知仅有一次购买打折，打折时实际消费金额会低于按原价购买的应付金额。观察三次购买数据，第三次购买的A、B商品数量均多于前两次，但消费金额更低，初步判断第三次为打折批次，后续可通过计算验证该结论。
(2)求A、B商品原价：前两次为原价购买，可根据“总消费金额=A商品单价×A购买数量+B商品单价×B购买数量”的等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种商品的原价。
(3)求折扣：设折扣为m折，打折后商品售价=原价×$\frac{m}{10}$，根据第三次购买的实际消费金额等于打折后A、B商品的总价和，列一元一次方程求解即可得到折扣数。
【解析】
(1)对比三次购买的数量和消费金额，第三次购买商品更多但花费更少，可知第三次购买打折了。
(2)设A种商品的原价为x元，B种商品的原价为y元，根据前两次未打折的消费数据列方程组：
$\begin{cases} 4x+5y=320\\ 2x+6y=300 \end{cases}$
将第二个方程变形为$x=150-3y$，代入第一个方程得：
$4×(150-3y)+5y=320$
$600-12y+5y=320$
解得$y=40$，将$y=40$代入$x=150-3y$，得$x=30$。
(3)设打了m折，根据第三次消费金额列方程：
$5×30×\frac{m}{10}+7×40×\frac{m}{10}=258$
整理得$43m=258$，解得$m=6$。
【答案】
(1)三；
(2)A种商品原价为30元，B种商品原价为40元；
(3)打了六折。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，打折销售计算
【点评】
本题结合生活购物场景考查方程的实际应用，解题关键是先通过数据特征判断出打折批次，再利用未打折的消费数据建立方程求解，贴近生活实际，能有效锻炼学生提取信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
