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1. 下列各式属于方程的是 （
A.$2x + 3 - (x + 2)$
B.$3x + 1 ＞ 0$
C.$3x - 1 = 4x + 2$
D.$2 + 5 = 7$
C
）A.$2x + 3 - (x + 2)$
B.$3x + 1 ＞ 0$
C.$3x - 1 = 4x + 2$
D.$2 + 5 = 7$
答案
1.C
解析
【分析】
判断式子是否为方程，需先明确方程的两个核心判断条件：一是式子中含有未知数，二是式子必须是等式（包含等号“=”）。解题时只需对照这两个条件逐一排查选项，同时满足两个条件的即为正确答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，对各选项逐一分析：
A选项：$2x + 3 - (x + 2)$是含有未知数的代数式，没有等号，不是等式，不符合方程定义，排除；
B选项：$3x + 1 ＞ 0$是含有未知数的不等式，用大于号连接，不是等式，不符合方程定义，排除；
C选项：$3x - 1 = 4x + 2$既含有未知数$x$，又是等式，同时满足方程的两个条件，属于方程；
D选项：$2 + 5 = 7$是等式，但式子中不含未知数，不符合方程定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要准确记忆方程的两个判断要点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
判断式子是否为方程，需先明确方程的两个核心判断条件：一是式子中含有未知数，二是式子必须是等式（包含等号“=”）。解题时只需对照这两个条件逐一排查选项，同时满足两个条件的即为正确答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，对各选项逐一分析：
A选项：$2x + 3 - (x + 2)$是含有未知数的代数式，没有等号，不是等式，不符合方程定义，排除；
B选项：$3x + 1 ＞ 0$是含有未知数的不等式，用大于号连接，不是等式，不符合方程定义，排除；
C选项：$3x - 1 = 4x + 2$既含有未知数$x$，又是等式，同时满足方程的两个条件，属于方程；
D选项：$2 + 5 = 7$是等式，但式子中不含未知数，不符合方程定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要准确记忆方程的两个判断要点，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法不正确的是 （
A.若 $ 3a = 3b $，则 $ a = b $
B.若 $ a = b $，则 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $
C.若 $ a = b $，则 $ a + 3 = b + 3 $
D.若 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $，则 $ a = b $
B
）A.若 $ 3a = 3b $，则 $ a = b $
B.若 $ a = b $，则 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $
C.若 $ a = b $，则 $ a + 3 = b + 3 $
D.若 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $，则 $ a = b $
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一对照四个选项判断正误，尤其注意涉及除法运算时，必须满足除数不为0的前提，否则除法无意义。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个分析选项：
A. 已知$3a=3b$，等式两边同时除以不为0的数3，可得$a=b$，该说法正确，不符合题意。
B. 若$a=b$，等式两边同时除以$c$时，未说明$c≠0$，当$c=0$时，除以0无意义，因此该说法不成立，符合题意。
C. 若$a=b$，等式两边同时加3，根据等式性质1可得$a+3=b+3$，该说法正确，不符合题意。
D. 若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，该等式成立的隐含前提是分母$c≠0$，等式两边同时乘$c$可得$a=b$，该说法正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点在于容易忽略除法运算中除数不能为0的前提，要注意区分“给等式两边同时除以字母”和“已知含字母分母的等式成立”两种情况的不同前提条件。
【难度系数】
0.8
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的两条基本性质：①等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一对照四个选项判断正误，尤其注意涉及除法运算时，必须满足除数不为0的前提，否则除法无意义。
【解析】
我们根据等式的基本性质逐个分析选项：
A. 已知$3a=3b$，等式两边同时除以不为0的数3，可得$a=b$，该说法正确，不符合题意。
B. 若$a=b$，等式两边同时除以$c$时，未说明$c≠0$，当$c=0$时，除以0无意义，因此该说法不成立，符合题意。
C. 若$a=b$，等式两边同时加3，根据等式性质1可得$a+3=b+3$，该说法正确，不符合题意。
D. 若$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$，该等式成立的隐含前提是分母$c≠0$，等式两边同时乘$c$可得$a=b$，该说法正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 除数不为0
【点评】
本题是等式性质的基础应用题型，易错点在于容易忽略除法运算中除数不能为0的前提，要注意区分“给等式两边同时除以字母”和“已知含字母分母的等式成立”两种情况的不同前提条件。
【难度系数】
0.8
3. 某同学在解关于$x$的方程$7(a+x)=14$时，误将$+x$看作$-x$，得方程的解为$x=-4$，那么原方程的解为 （
A.$x=4$
B.$x=2$
C.$x=0$
D.$x=-2$
A
）A.$x=4$
B.$x=2$
C.$x=0$
D.$x=-2$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时要抓住“误将+x看作-x”的核心特点：同学看错的只是x的符号，方程中的参数a是正确的，因此他得到的错解x=-4满足看错后的方程。我们可以先把x=-4代入看错后的方程求出a的值，再将a代入原正确方程，即可求出原方程的解。
【解析】
第一步：确定看错后的方程：原方程为$7(a+x)=14$，误将$+x$看作$-x$后，错误方程为$7(a-x)=14$。
第二步：将错解$x=-4$代入错误方程求$a$：
把$x=-4$代入$7(a-x)=14$，得：
$7[a - (-4)]=14$
化简得：$7(a+4)=14$
两边同时除以7，得：$a+4=2$
解得：$a=-2$
第三步：将$a=-2$代入原方程求解：
原方程为$7(-2 + x)=14$
两边同时除以7，得：$-2 + x = 2$
解得：$x=4$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型题型，解题关键是明确参数a不受看错符号的影响，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解，能有效考察对一元一次方程解的概念的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时要抓住“误将+x看作-x”的核心特点：同学看错的只是x的符号，方程中的参数a是正确的，因此他得到的错解x=-4满足看错后的方程。我们可以先把x=-4代入看错后的方程求出a的值，再将a代入原正确方程，即可求出原方程的解。
【解析】
第一步：确定看错后的方程：原方程为$7(a+x)=14$，误将$+x$看作$-x$后，错误方程为$7(a-x)=14$。
第二步：将错解$x=-4$代入错误方程求$a$：
把$x=-4$代入$7(a-x)=14$，得：
$7[a - (-4)]=14$
化简得：$7(a+4)=14$
两边同时除以7，得：$a+4=2$
解得：$a=-2$
第三步：将$a=-2$代入原方程求解：
原方程为$7(-2 + x)=14$
两边同时除以7，得：$-2 + x = 2$
解得：$x=4$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程的典型题型，解题关键是明确参数a不受看错符号的影响，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解，能有效考察对一元一次方程解的概念的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.8
4. [新课标·数学文化题]《九章算术》中有这样一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问：人数、羊价各几何？”意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱.求买羊的人数和这头羊的价格.设买羊的人数为$x$，根据题意，可列方程为________.
答案
4.$5x+45=7x+3$
解析
【分析】
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中不管每人出钱多少，羊的总价格是固定不变的，我们可以分别用两种出钱情况表示出羊价，再令两个羊价的表达式相等即可列出方程。首先根据“每人出5钱，差45钱”，总出钱为5x，加上差的45钱就是羊价；再根据“每人出7钱，差3钱”，总出钱为7x，加上差的3钱也是羊价，两者相等即可得到方程。
【解析】
设买羊的人数为$x$：
1. 当每人出5钱时，所有人总共出的钱为$5x$，此时还差45钱才够买羊，因此羊的价格可表示为：$5x + 45$；
2. 当每人出7钱时，所有人总共出的钱为$7x$，此时还差3钱才够买羊，因此羊的价格可表示为：$7x + 3$；
由于羊的价格固定不变，因此两个羊价的表达式相等，可列方程：$5x + 45 = 7x + 3$。
【答案】
$5x+45=7x+3$
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学文化背景设计，侧重考查对实际问题的分析能力，解题的关键是准确抓住题目中的不变量建立等式，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系。本题中不管每人出钱多少，羊的总价格是固定不变的，我们可以分别用两种出钱情况表示出羊价，再令两个羊价的表达式相等即可列出方程。首先根据“每人出5钱，差45钱”，总出钱为5x，加上差的45钱就是羊价；再根据“每人出7钱，差3钱”，总出钱为7x，加上差的3钱也是羊价，两者相等即可得到方程。
【解析】
设买羊的人数为$x$：
1. 当每人出5钱时，所有人总共出的钱为$5x$，此时还差45钱才够买羊，因此羊的价格可表示为：$5x + 45$；
2. 当每人出7钱时，所有人总共出的钱为$7x$，此时还差3钱才够买羊，因此羊的价格可表示为：$7x + 3$；
由于羊的价格固定不变，因此两个羊价的表达式相等，可列方程：$5x + 45 = 7x + 3$。
【答案】
$5x+45=7x+3$
【知识点】
一元一次方程应用；等量关系确定
【点评】
本题结合传统数学文化背景设计，侧重考查对实际问题的分析能力，解题的关键是准确抓住题目中的不变量建立等式，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
5.[新课标·跨学科题]科学研究表明,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146 mg.设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg,依据题意,可列方程组为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
5.$\begin{cases} x=2y-4,\\ 2x+3y=146 \end{cases}$
解析
【分析】
解本题的核心是从题干中提取两个对应的等量关系，再将等量关系转化为含x、y的方程。首先先梳理第一个数量关系：银杏树叶的年平均滞尘量 = 国槐树叶年平均滞尘量的2倍 - 4mg；再梳理第二个数量关系：2片银杏的年滞尘量 + 3片国槐的年滞尘量 = 146mg，分别将x、y代入两个等量关系，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg”，代入x、y可得第一个方程：$x=2y-4$；
2. 根据“两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146 mg”，2片银杏滞尘量为$2x$，3片国槐滞尘量为$3y$，相加等于总滞尘量，可得第二个方程：$2x+3y=146$；
3. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x=2y-4,\\ 2x+3y=146 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题结合植物滞尘的跨学科背景命题，难度较低，主要考查从文字信息中提取数量关系的能力，解题时注意不要混淆两种树叶滞尘量的倍数关系即可。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是从题干中提取两个对应的等量关系，再将等量关系转化为含x、y的方程。首先先梳理第一个数量关系：银杏树叶的年平均滞尘量 = 国槐树叶年平均滞尘量的2倍 - 4mg；再梳理第二个数量关系：2片银杏的年滞尘量 + 3片国槐的年滞尘量 = 146mg，分别将x、y代入两个等量关系，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 根据“一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg”，代入x、y可得第一个方程：$x=2y-4$；
2. 根据“两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146 mg”，2片银杏滞尘量为$2x$，3片国槐滞尘量为$3y$，相加等于总滞尘量，可得第二个方程：$2x+3y=146$；
3. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x=2y-4,\\ 2x+3y=146 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，等量关系提取
【点评】
本题结合植物滞尘的跨学科背景命题，难度较低，主要考查从文字信息中提取数量关系的能力，解题时注意不要混淆两种树叶滞尘量的倍数关系即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图,一个密闭的酒瓶的容积为 500 mL,瓶内有一些黄酒.当瓶子正放时,瓶内黄酒的高度为12 cm;当瓶子倒放时,空余部分的高度为 8 cm.该瓶子的底面积为
25
$\mathrm{cm}^2$.(1 mL=1 cm³)答案
6.25
解析
【分析】
解题时首先明确：不管瓶子正放还是倒放，瓶内黄酒的体积不变，空余部分的体积也不变。正放时黄酒是规则的圆柱形，高12cm；倒放时空余部分也可以看成和瓶身底面积相同的圆柱形，高8cm。因此瓶子的总容积就等于底面积相同、高为（12+8）cm的圆柱的体积，已知总容积，结合圆柱体积公式即可列方程求出底面积。
【解析】
首先进行单位换算：$500\mathrm{mL}=500\mathrm{cm}^3$
设瓶子的底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
正放时黄酒的体积：$V_酒 = 12S$
倒放时空余部分的体积：$V_空 = 8S$
瓶子总容积等于黄酒体积加空余部分体积，可得方程：
$12S + 8S = 500$
合并同类项得：$20S=500$
解得：$S=500÷20=25$
【答案】
25
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；容积单位换算
【点评】
本题是不规则容器容积计算的典型题型，核心解题技巧是利用倒置前后液体体积、空余体积均不变的特点，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱进行计算，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：不管瓶子正放还是倒放，瓶内黄酒的体积不变，空余部分的体积也不变。正放时黄酒是规则的圆柱形，高12cm；倒放时空余部分也可以看成和瓶身底面积相同的圆柱形，高8cm。因此瓶子的总容积就等于底面积相同、高为（12+8）cm的圆柱的体积，已知总容积，结合圆柱体积公式即可列方程求出底面积。
【解析】
首先进行单位换算：$500\mathrm{mL}=500\mathrm{cm}^3$
设瓶子的底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
正放时黄酒的体积：$V_酒 = 12S$
倒放时空余部分的体积：$V_空 = 8S$
瓶子总容积等于黄酒体积加空余部分体积，可得方程：
$12S + 8S = 500$
合并同类项得：$20S=500$
解得：$S=500÷20=25$
【答案】
25
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；容积单位换算
【点评】
本题是不规则容器容积计算的典型题型，核心解题技巧是利用倒置前后液体体积、空余体积均不变的特点，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱进行计算，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
