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13. [新课标·综合与实践题]某数学兴趣小组开展探究活动，探究“能被3整除的数”。指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除。例如，$1+2+3+4+5+6=21$，因为21能被3整除，所以615 432能被3整除。关于此规律，该兴趣小组的两位成员分别对三位数、四位数进行了说明。
①星星同学对三位数进行了说明：
设某个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是$a,b,c$。
因为$100a+10b+c=(\_\_\_\_\_\_)+a+b+c=3(\_\_\_\_\_\_)+a+b+c$，
所以当$a+b+c$能被3整除时，该三位数能被3整除。
②宁宁同学对四位数进行了说明：
设某个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是$a,b,c,d$。
因为$1000a+100b+10c+d=(\_\_\_\_\_\_)+(a+b+c+d)=3(\_\_\_\_\_\_)+(a+b+c+d)$，
所以当$a+b+c+d$能被3整除时，该四位数能被3整除。
(1)请写出横线上所缺内容；
(2)该兴趣小组继续探究一个四位数$1000a+100b+10c+d$能被11整除的条件，说明过程如下：
$1000a+100b+10c+d=1\,001a - a + 99b + b + 11c - c + d······$
请补充省略部分的说明过程，并写出四位数能被11整除的条件。
①星星同学对三位数进行了说明：
设某个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是$a,b,c$。
因为$100a+10b+c=(\_\_\_\_\_\_)+a+b+c=3(\_\_\_\_\_\_)+a+b+c$，
所以当$a+b+c$能被3整除时，该三位数能被3整除。
②宁宁同学对四位数进行了说明：
设某个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字分别是$a,b,c,d$。
因为$1000a+100b+10c+d=(\_\_\_\_\_\_)+(a+b+c+d)=3(\_\_\_\_\_\_)+(a+b+c+d)$，
所以当$a+b+c+d$能被3整除时，该四位数能被3整除。
(1)请写出横线上所缺内容；
(2)该兴趣小组继续探究一个四位数$1000a+100b+10c+d$能被11整除的条件，说明过程如下：
$1000a+100b+10c+d=1\,001a - a + 99b + b + 11c - c + d······$
请补充省略部分的说明过程，并写出四位数能被11整除的条件。
答案
13. 解:(1)①$99a+9b$ $33a+3b$
②$999a+99b+9c$ $333a+33b+3c$
(2)$1000a+100b+10c+d=1\,001a - a + 99b + b + 11c - c + d=1\,001a+99b+11c+(-a+b-c+d)=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$,所以当$(b+d)-(a+c)$能被11整除时,该四位数能被11整除。
②$999a+99b+9c$ $333a+33b+3c$
(2)$1000a+100b+10c+d=1\,001a - a + 99b + b + 11c - c + d=1\,001a+99b+11c+(-a+b-c+d)=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$,所以当$(b+d)-(a+c)$能被11整除时,该四位数能被11整除。
解析
【分析】
（1）第一问的解题思路是将多位数拆分为“3的倍数的代数式”和“各数位数字之和”两部分：对于三位数，把100a拆为99a+a、10b拆为9b+b，重组后即可得到第一处横线内容，再对其提取公因式3就能得到第二处横线的内容；四位数同理，将1000a、100b、10c分别拆分为999a+a、99b+b、9c+c，按上述方法变形即可。
（2）第二问的解题思路是把四位数的各项拆分为11的倍数与剩余项的和，先合并1001a、99b、11c这些11的倍数的项并提取公因式11，剩余的项整理后，只要剩余部分能被11整除，整个四位数就能被11整除。
【解析】
(1) ① 对三位数变形：
$100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c)$，
对$99a+9b$提取公因式3得：$99a+9b=3(33a+3b)$，故两空依次填$99a+9b$、$33a+3b$。
② 对四位数变形：
$1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$，
对$999a+99b+9c$提取公因式3得：$999a+99b+9c=3(333a+33b+3c)$，故两空依次填$999a+99b+9c$、$333a+33b+3c$。
(2) 对四位数拆分后重组变形：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=1001a - a + 99b + b + 11c - c + d\\&=(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)\end{aligned}$
因为$1001=11×91$、$99=11×9$、$11=11×1$，提取公因式11得：
$=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$
其中$11(91a+9b+c)$可被11整除，因此只要$(b+d)-(a+c)$能被11整除，该四位数就能被11整除。
【答案】
(1)①$99a+9b$；$33a+3b$
②$999a+99b+9c$；$333a+33b+3c$
(2) 补充过程：$1000a+100b+10c+d=1\,001a+99b+11c+(-a+b-c+d)=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$，四位数能被11整除的条件为$(b+d)-(a+c)$能被11整除。
【知识点】
整式的加减，数的整除特征，代数式变形
【点评】
本题以数的整除规律探究为载体，考查代数式拆项、重组及提取公因式的应用，既巩固了整式运算的相关知识，又引导学生掌握从特殊到一般的规律探究方法，能有效提升逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一问的解题思路是将多位数拆分为“3的倍数的代数式”和“各数位数字之和”两部分：对于三位数，把100a拆为99a+a、10b拆为9b+b，重组后即可得到第一处横线内容，再对其提取公因式3就能得到第二处横线的内容；四位数同理，将1000a、100b、10c分别拆分为999a+a、99b+b、9c+c，按上述方法变形即可。
（2）第二问的解题思路是把四位数的各项拆分为11的倍数与剩余项的和，先合并1001a、99b、11c这些11的倍数的项并提取公因式11，剩余的项整理后，只要剩余部分能被11整除，整个四位数就能被11整除。
【解析】
(1) ① 对三位数变形：
$100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c)$，
对$99a+9b$提取公因式3得：$99a+9b=3(33a+3b)$，故两空依次填$99a+9b$、$33a+3b$。
② 对四位数变形：
$1000a+100b+10c+d=999a+a+99b+b+9c+c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$，
对$999a+99b+9c$提取公因式3得：$999a+99b+9c=3(333a+33b+3c)$，故两空依次填$999a+99b+9c$、$333a+33b+3c$。
(2) 对四位数拆分后重组变形：
$\begin{aligned}1000a+100b+10c+d&=1001a - a + 99b + b + 11c - c + d\\&=(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)\end{aligned}$
因为$1001=11×91$、$99=11×9$、$11=11×1$，提取公因式11得：
$=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$
其中$11(91a+9b+c)$可被11整除，因此只要$(b+d)-(a+c)$能被11整除，该四位数就能被11整除。
【答案】
(1)①$99a+9b$；$33a+3b$
②$999a+99b+9c$；$333a+33b+3c$
(2) 补充过程：$1000a+100b+10c+d=1\,001a+99b+11c+(-a+b-c+d)=11(91a+9b+c)+[(b+d)-(a+c)]$，四位数能被11整除的条件为$(b+d)-(a+c)$能被11整除。
【知识点】
整式的加减，数的整除特征，代数式变形
【点评】
本题以数的整除规律探究为载体，考查代数式拆项、重组及提取公因式的应用，既巩固了整式运算的相关知识，又引导学生掌握从特殊到一般的规律探究方法，能有效提升逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
