8. 如图,过平行四边形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点 E 作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA 于点 P,M,Q,N.
(1)求证:$△ PBE≌△ QDE$;
(2)连接 PM,MQ,QN,NP,求证:四边形 PMQN 是菱形.

8. (1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED,AB//CD.
∴∠EBP=∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
$\begin{cases}∠ EBP=∠ EDQ, \\EB=ED, \\∠ BEP=∠ DEQ,\end{cases}$
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)连接PM,MQ,QN,NP.
∵△PBE≌△QDE,
∴EP=EQ.
同理△BME≌△DNE(ASA),
∴EM=EN.
∴四边形PMQN是平行四边形.
又PQ⊥MN,
∴平行四边形PMQN是菱形.

9. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知O是AC的中点,AE=CF,DF//BE.
(1)求证:△BOE≌△DOF.
(2)若$OD=\frac{1}{2}AC$,则四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.

9. (1)
∵DF//BE,
∴∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO.
∵O为AC的中点,
∴OA=OC.
又AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
在△BOE和△DOF中，
$\begin{cases}∠ EBO=∠ FDO, \\∠ BEO=∠ DFO, \\OE=OF,\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF(AAS).
(2)若$OD=\frac{1}{2}AC$,则四边形ABCD是矩形.
证明如下:
∵△BOE≌△DOF,
∴OB=OD.
又OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴$OD=\frac{1}{2}BD$.
∵$OD=\frac{1}{2}AC$,
∴BD=AC,
∴平行四边形ABCD为矩形.

10. 如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EF//AB交BC于点F.
(1)求证:四边形ABFE是菱形;
(2)若AB=5,BE=8,CF=$\frac{5}{2}$,求平行四边形ABCD的面积.

10. (1)证明略.提示:先证四边形ABFE为平行四边形,再证AB=AE,即可得四边形ABFE为菱形.
(2)如图,连接AF交BE于点M,过点A作AN⊥BC于点N.

由(1)可知,四边形ABFE是菱形,
∴$BF=AB=5,BM=EM=\frac{1}{2} BE=4$,
AM=FM,AF⊥BE,
∴∠AMB=90°,
∴$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,
∴AF=2AM=6.
∵AN⊥BF,
∴$S_{菱形ABFE}=BF·AN=\frac{1}{2} AF·BE$,
即$5AN=\frac{1}{2}×6×8$,解得$AN=\frac{24}{5}$.
∵$BC=BF+CF=5+\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$,
∴$S_{平行四边形ABCD}=BC·AN=\frac{15}{2} ×\frac{24}{5}=36$.