14.如图,已知$AC// DF$,$∠ C=∠ D$.说明:$∠ 1=∠ 2$.

14. 解:因为 $AC// DF$,所以 $∠DBA = ∠D$. 因为 $∠C = ∠D$,所以 $∠DBA = ∠C$,所以 $CE// BD$,所以 $∠1 = ∠GHC$. 因为 $∠2 = ∠GHC$,所以 $∠1 = ∠2$.

【分析】
解题时可从已知条件出发逐步推导：首先已知$AC//DF$，根据平行线的内错角相等性质可得$∠D=∠DBA$；再结合题目给出的$∠C=∠D$，通过等量代换得到$∠DBA=∠C$，此时同位角相等可判定$CE//BD$；接着根据平行线的同位角相等性质得$∠1=∠GHC$；最后$∠2$和$∠GHC$是对顶角，根据对顶角相等可知$∠2=∠GHC$，通过等量代换即可证明$∠1=∠2$。
【解析】
因为 $AC// DF$，所以 $∠DBA = ∠D$（两直线平行，内错角相等）。
因为 $∠C = ∠D$，所以 $∠DBA = ∠C$（等量代换），所以 $CE// BD$（同位角相等，两直线平行），所以 $∠1 = ∠GHC$（两直线平行，同位角相等）。
因为 $∠2 = ∠GHC$（对顶角相等），所以 $∠1 = ∠2$（等量代换）。
【答案】
$\boldsymbol{∠1=∠2}$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质 2. 对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查平行线相关性质和判定的灵活运用，解题时需要从已知条件出发逐步推导角的等量关系，逻辑链条清晰，熟练掌握基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

15. 一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球，若红球个数是黑球个数的2倍多40个，从袋中任取一个球是白球的概率是$\frac{1}{29}$。
(1)求袋中红球的个数；
(2)求从袋中任取一个球是黑球的概率。
好学生暑假生活 七年级数学 BS

15. 解:(1)白球的个数为 $290 × \frac{1}{29} = 10$,红球、黑球一共有 $290 - 10 = 280$(个),黑球的个数为 $(280 - 40) ÷ (2 + 1) = 80$,红球的个数为 $280 - 80 = 200$. 故袋中红球的个数是200.
(2)$80 ÷ 290 = \frac{8}{29}$. 故从袋中任取一个球是黑球的概率是$\frac{8}{29}$.

【分析】
解决本题首先从已知的白球概率入手，第一步利用概率公式的变形“所求情况数=总情况数×对应概率”计算出白球的个数；再用总球数减去白球个数得到红球与黑球的数量和；接下来结合“红球个数是黑球个数的2倍多40个”的条件，将红球比黑球2倍多的40个从红黑总数中减去，此时剩余的数量恰好是黑球个数的3倍，即可求出黑球个数，最后用红黑总数减去黑球个数得到红球个数。第二问求取到黑球的概率，直接代入概率公式，用黑球个数除以总球数化简即可。
【解析】
(1) 计算白球个数：
已知总球数为290个，任取一球是白球的概率为$\frac{1}{29}$，因此白球个数为 $290 × \frac{1}{29} = 10$（个）
红球和黑球的总个数为：$290 - 10 = 280$（个）
把黑球个数看作1份，则红球个数为2份多40个，因此黑球个数为：$(280 - 40) ÷ (2 + 1) = 80$（个）
红球个数为：$280 - 80 = 200$（个）
(2) 根据概率公式，任取一个球是黑球的概率为黑球个数除以总球数，即：
$80 ÷ 290 = \frac{8}{29}$
【答案】
(1) 200个；(2) $\frac{8}{29}$
【知识点】
概率公式应用、和倍问题计算
【点评】
本题将概率计算与数量关系应用结合，属于基础题型，解题核心是先通过白球概率求出白球数量，再利用红黑球的倍数关系逐步推导，逻辑链条清晰，主要考察对基础概率公式的掌握以及分析数量关系的能力。
【难度系数】
0.8