登录
16. 如图，AB = AC，点 P 在△ABC 的内部，且满足 PB = PC. 试说明：
(1) △APB≌△APC.
(2) AP⊥BC.
(1) △APB≌△APC.
(2) AP⊥BC.
答案
16. 解:(1)在△APB和△APC中,
$\begin{cases}AB = AC,\\PB = PC,\\AP = AP,\end{cases}$
所以 $△ APB≌△ APC(\mathrm{SSS})$.
(2)【解法一】因为 $△ APB≌△ APC$,所以 $∠BAP = ∠CAP$,所以点 P 在等腰三角形 ABC 的顶角的平分线上,所以 $AP⊥ BC$.
【解法二】延长 AP 交 BC 于点 D(图略). 因为 $△ APB≌△ APC$,所以 $∠BAP = ∠CAP$.
在△ADB和△ADC中,
$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAP = ∠CAP,\\AD = AD,\end{cases}$
所以 $△ ADB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$,所以 $∠ADB = ∠ADC$. 又因为 $∠ADB + ∠ADC = 180°$,所以 $∠ADB = 90°$,所以 $AD⊥ BC$,即 $AP⊥ BC$.
$\begin{cases}AB = AC,\\PB = PC,\\AP = AP,\end{cases}$
所以 $△ APB≌△ APC(\mathrm{SSS})$.
(2)【解法一】因为 $△ APB≌△ APC$,所以 $∠BAP = ∠CAP$,所以点 P 在等腰三角形 ABC 的顶角的平分线上,所以 $AP⊥ BC$.
【解法二】延长 AP 交 BC 于点 D(图略). 因为 $△ APB≌△ APC$,所以 $∠BAP = ∠CAP$.
在△ADB和△ADC中,
$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAP = ∠CAP,\\AD = AD,\end{cases}$
所以 $△ ADB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$,所以 $∠ADB = ∠ADC$. 又因为 $∠ADB + ∠ADC = 180°$,所以 $∠ADB = 90°$,所以 $AD⊥ BC$,即 $AP⊥ BC$.
解析
【分析】
（1）要证明△APB≌△APC，先梳理已知条件：题目给出AB=AC、PB=PC，同时AP是两个三角形的公共边，满足三组边对应相等的条件，可直接用SSS判定定理证明全等。
（2）要证明AP⊥BC，可先借助第一问的全等结论，得到∠BAP=∠CAP，即AP是等腰△ABC的顶角平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质即可推出垂直；也可以延长AP交BC于点D，证明△ADB和△ADC全等，得到对应角相等，结合平角为180°推出夹角为90°，进而证明垂直。
【解析】
(1) 在△APB和△APC中，
$\begin{cases}AB = AC,\\PB = PC,\\AP = AP(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
所以 $△ APB≌△ APC(\mathrm{SSS})$。
(2) 解法一：
因为 $△ APB≌△ APC$，所以 $∠ BAP = ∠ CAP$，即AP是等腰$△ ABC$顶角的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，顶角平分线与底边上的高重合，因此 $AP⊥ BC$。
解法二：
延长AP交BC于点D。
因为 $△ APB≌△ APC$，所以 $∠ BAP = ∠ CAP$。
在$△ ADB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB = AC,\\∠ BAP = ∠ CAP,\\AD = AD(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
所以 $△ ADB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，因此 $∠ ADB = ∠ ADC$。
又因为 $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，代入得 $∠ ADB = 90°$，即 $AD⊥ BC$，也就是 $AP⊥ BC$。
【答案】
(1) $△ APB≌△ APC$，证明成立；
(2) $AP⊥ BC$，证明成立。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定、性质以及等腰三角形的性质，解题时要注意挖掘公共边这类隐含条件，第二问有多种证明思路，既可以用等腰三角形性质简化推导，也可以通过构造全等验证，能帮助学生夯实几何证明的基础逻辑。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△APB≌△APC，先梳理已知条件：题目给出AB=AC、PB=PC，同时AP是两个三角形的公共边，满足三组边对应相等的条件，可直接用SSS判定定理证明全等。
（2）要证明AP⊥BC，可先借助第一问的全等结论，得到∠BAP=∠CAP，即AP是等腰△ABC的顶角平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质即可推出垂直；也可以延长AP交BC于点D，证明△ADB和△ADC全等，得到对应角相等，结合平角为180°推出夹角为90°，进而证明垂直。
【解析】
(1) 在△APB和△APC中，
$\begin{cases}AB = AC,\\PB = PC,\\AP = AP(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
所以 $△ APB≌△ APC(\mathrm{SSS})$。
(2) 解法一：
因为 $△ APB≌△ APC$，所以 $∠ BAP = ∠ CAP$，即AP是等腰$△ ABC$顶角的角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，顶角平分线与底边上的高重合，因此 $AP⊥ BC$。
解法二：
延长AP交BC于点D。
因为 $△ APB≌△ APC$，所以 $∠ BAP = ∠ CAP$。
在$△ ADB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}AB = AC,\\∠ BAP = ∠ CAP,\\AD = AD(\mathrm{公共边}),\end{cases}$
所以 $△ ADB≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，因此 $∠ ADB = ∠ ADC$。
又因为 $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，代入得 $∠ ADB = 90°$，即 $AD⊥ BC$，也就是 $AP⊥ BC$。
【答案】
(1) $△ APB≌△ APC$，证明成立；
(2) $AP⊥ BC$，证明成立。
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定、性质以及等腰三角形的性质，解题时要注意挖掘公共边这类隐含条件，第二问有多种证明思路，既可以用等腰三角形性质简化推导，也可以通过构造全等验证，能帮助学生夯实几何证明的基础逻辑。
【难度系数】
0.8
17.某生物兴趣小组到劳动教育实践基地观察某种植物的生长情况,得到植物高度$y$(厘米)与观察时间$x$(天)之间的关系,并画出如图所示的图象.
(1)在这个变化过程中,自变量是
(2)该植物从观察时起,多少天以后停止长高?
(3)观察时间从第40天到第60天,植物的高度增长了多少厘米?该植物平均每天长高多少厘米?
(1)在这个变化过程中,自变量是
观察时间x
,因变量是植物高度y
.(2)该植物从观察时起,多少天以后停止长高?
(3)观察时间从第40天到第60天,植物的高度增长了多少厘米?该植物平均每天长高多少厘米?
答案
17. 解:(1)观察时间x 植物高度y
(2)根据题中图象可知,该植物从观察时起,60天以后停止长高.
(3)因为 $31 - 24 = 7$(厘米),所以从第40天到第60天,植物的高度增长了7厘米. 因为 $7 ÷ (60 - 40) = \frac{7}{20}$(厘米),所以观察时间从第40天到第60天,该植物平均每天长高 $\frac{7}{20}$ 厘米.
(2)根据题中图象可知,该植物从观察时起,60天以后停止长高.
(3)因为 $31 - 24 = 7$(厘米),所以从第40天到第60天,植物的高度增长了7厘米. 因为 $7 ÷ (60 - 40) = \frac{7}{20}$(厘米),所以观察时间从第40天到第60天,该植物平均每天长高 $\frac{7}{20}$ 厘米.
解析
【分析】
(1) 先回忆自变量、因变量的定义：主动变化的量为自变量，随自变量变化而变化的量为因变量，结合题中两个量的含义即可判断。
(2) 植物停止长高时高度不再随时间增加，对应图象中y值不变的水平段，找到水平段对应的x的起始值即可。
(3) 先从图象中读取第40天、第60天对应的植物高度，两者的差就是这段时间的高度增长量；再计算两个时间的间隔天数，用总增长量除以间隔天数，就能得到平均每天长高的高度。
【解析】
(1) 观察时间x是主动变化的量，植物高度y会随着观察时间x的变化而变化，因此自变量是观察时间x，因变量是植物高度y。
(2) 观察图象可知，当$x≥60$时，植物高度y始终为31厘米，不再发生变化，因此该植物从观察时起，60天以后停止长高。
(3) 从图象中可得：第40天植物高度为24厘米，第60天植物高度为31厘米。
高度增长量：$31-24=7$（厘米）
时间间隔：$60-40=20$（天）
平均每天长高的高度：$7÷(60-40)=\frac{7}{20}$（厘米）
【答案】
(1) 观察时间x；植物高度y
(2) 60天
(3) 高度增长了7厘米，平均每天长高$\frac{7}{20}$厘米
【知识点】
1.自变量与因变量
2.函数图象的应用
3.平均数计算
【点评】
本题结合植物生长的实际场景，考查从函数图象中提取有效信息的能力和基础运算能力，解题的关键是理解图象各段、各拐点对应的实际意义。
【难度系数】
0.85
(1) 先回忆自变量、因变量的定义：主动变化的量为自变量，随自变量变化而变化的量为因变量，结合题中两个量的含义即可判断。
(2) 植物停止长高时高度不再随时间增加，对应图象中y值不变的水平段，找到水平段对应的x的起始值即可。
(3) 先从图象中读取第40天、第60天对应的植物高度，两者的差就是这段时间的高度增长量；再计算两个时间的间隔天数，用总增长量除以间隔天数，就能得到平均每天长高的高度。
【解析】
(1) 观察时间x是主动变化的量，植物高度y会随着观察时间x的变化而变化，因此自变量是观察时间x，因变量是植物高度y。
(2) 观察图象可知，当$x≥60$时，植物高度y始终为31厘米，不再发生变化，因此该植物从观察时起，60天以后停止长高。
(3) 从图象中可得：第40天植物高度为24厘米，第60天植物高度为31厘米。
高度增长量：$31-24=7$（厘米）
时间间隔：$60-40=20$（天）
平均每天长高的高度：$7÷(60-40)=\frac{7}{20}$（厘米）
【答案】
(1) 观察时间x；植物高度y
(2) 60天
(3) 高度增长了7厘米，平均每天长高$\frac{7}{20}$厘米
【知识点】
1.自变量与因变量
2.函数图象的应用
3.平均数计算
【点评】
本题结合植物生长的实际场景，考查从函数图象中提取有效信息的能力和基础运算能力，解题的关键是理解图象各段、各拐点对应的实际意义。
【难度系数】
0.85
