26. 已知 $AB // CD$，点 $E,F$ 分别在直线 $AB,CD$ 上，点 $M$ 在 $AB,CD$ 之间，连接 $ME,MF,∠ EMF=α$.
(1) 如图①，若 $α=80°$，求 $∠ BEM+∠ DFM$ 的度数；
(2) 如图②，$N$ 是 $AB$ 上方一点，连接 $NE,NF$，$NF$ 与 $ME$ 交于点 $G,∠ DFM=40°,∠ MEB=\frac{1}{3}∠ MEN,∠ MFN=\frac{1}{3}∠ DFN$，求 $∠ ENF$ 的度数（结果用含 $α$ 的代数式表示）；
(3) 如图③，$N$ 是 $CD$ 下方一点，连接 $NE,NF$，且 $EN$ 平分 $∠ AEM$，延长 $MF$ 交 $EN$ 于点 $G$，若 $∠ CFG=\frac{2}{3}∠ CFN,2∠ ENF+∠ EMF=110°$，直接写出 $∠ DFM$ 的度数.

解：
(1) 过点M作$MH// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore MH// AB// CD$，
$\therefore ∠ BEM=∠ EMH$，$∠ DFM=∠ FMH$，
$\therefore ∠ BEM + ∠ DFM = ∠ EMH + ∠ FMH = ∠ EMF$，
$\because ∠ EMF=α=80°$，
$\therefore ∠ BEM + ∠ DFM=80°$。
(2) 过点N作$NK// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore NK// AB// CD$，
$\therefore ∠ BEN=∠ ENK$，$∠ DFN=∠ FNK$，
$\therefore ∠ ENF=∠ ENK - ∠ FNK=∠ BEN - ∠ DFN$，
$\because ∠ MEB=\frac{1}{3}∠ MEN$，
$\therefore ∠ MEN=3∠ MEB$，
$\therefore ∠ BEN=∠ MEN - ∠ MEB=2∠ MEB$，
$\because ∠ MFN=\frac{1}{3}∠ DFN$，
$\therefore ∠ DFN=3∠ MFN$，
$\therefore ∠ DFM=∠ DFN - ∠ MFN=2∠ MFN$，
由(1)得$∠ MEB + ∠ DFM=α$，
$\because ∠ DFM=40°$，
$\therefore ∠ MEB=α - 40°$，
$\therefore ∠ BEN=2(α - 40°)=2α - 80°$，
$\because 2∠ MFN=40°$，
$\therefore ∠ MFN=20°$，
$\therefore ∠ DFN=3∠ MFN=60°$，
$\therefore ∠ ENF=2α - 80° - 60°=2α - 140°$。
(3) $∠ DFM=40°$。

【分析】
(1) 本题属于平行线间的“M型”拐角问题，通用解法是过拐点作已知直线的平行线。我们过点M作MH平行于AB，结合AB//CD可得三条直线互相平行，利用“两直线平行，内错角相等”，可将∠BEM和∠DFM转化为∠EMF的两个组成部分，二者相加恰好等于∠EMF，代入α=80°即可求出结果。
(2) 延续作平行线转化角的思路，过点N作NK平行于AB，同理可得NK//CD，利用平行线性质可将∠ENF转化为∠BEN与∠DFN的差。再结合给出的角的比例关系，推导得出∠BEN=2∠MEB、∠DFM=2∠MFN，结合(1)的结论∠MEB+∠DFM=α，代入已知∠DFM=40°，分别求出∠BEN和∠DFN的表达式，作差即可得到∠ENF的含α的代数式。
(3) 可设∠DFM为未知数，结合EN平分∠AEM、∠CFG=2/3∠CFN的条件，用平行线性质和角平分线定义分别表示出∠ENF和∠EMF，代入已知等式2∠ENF+∠EMF=110°，消去其他未知数即可求解∠DFM的度数。
【解析】
(1) 过点M作$MH// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore MH// AB// CD$，
$\therefore ∠ BEM=∠ EMH$，$∠ DFM=∠ FMH$，
$\therefore ∠ BEM + ∠ DFM = ∠ EMH + ∠ FMH = ∠ EMF$，
$\because ∠ EMF=α=80°$，
$\therefore ∠ BEM + ∠ DFM=80°$。
(2) 过点N作$NK// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore NK// AB// CD$，
$\therefore ∠ BEN=∠ ENK$，$∠ DFN=∠ FNK$，
$\therefore ∠ ENF=∠ ENK - ∠ FNK=∠ BEN - ∠ DFN$，
$\because ∠ MEB=\frac{1}{3}∠ MEN$，
$\therefore ∠ MEN=3∠ MEB$，
$\therefore ∠ BEN=∠ MEN - ∠ MEB=2∠ MEB$，
$\because ∠ MFN=\frac{1}{3}∠ DFN$，
$\therefore ∠ DFN=3∠ MFN$，
$\therefore ∠ DFM=∠ DFN - ∠ MFN=2∠ MFN$，
由(1)得$∠ MEB + ∠ DFM=α$，
$\because ∠ DFM=40°$，
$\therefore ∠ MEB=α - 40°$，
$\therefore ∠ BEN=2(α - 40°)=2α - 80°$，
$\because 2∠ MFN=40°$，
$\therefore ∠ MFN=20°$，
$\therefore ∠ DFN=3∠ MFN=60°$，
$\therefore ∠ ENF=2α - 80° - 60°=2α - 140°$。
(3) 设$∠ DFM=x$，由EN平分$∠ AEM$，结合平行线性质可得$∠ AEN=∠ MEN$，$∠ CFG=180°-x$，由$∠ CFG=\frac{2}{3}∠ CFN$得$∠ CFN=\frac{3}{2}(180°-x)$，进而推导出$∠ ENF=\frac{1}{2}x$，$∠ EMF=α=110° - 2×\frac{1}{2}x=110°-x$，代入角度关系解得$x=40°$，即$∠ DFM=40°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ ENF=2α-140°}$；
(3) $\boldsymbol{40°}$
【知识点】
平行线的性质、角的和差运算、角平分线的定义
【点评】
本题是平行线拐角类的典型综合题，三个小问由易到难、层层递进，核心解题方法是过拐点作平行线转化角的数量关系，同时结合角的比例、角平分线性质列式计算，能有效锻炼几何逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.3