25.问题情境:如图①,AB//CD,点E在直线AB上,点F在直线CD上,点P在直线AB,CD之间,连接PE,PF.勤奋小组的同学们对该图形进行了研究.
(1)观察猜想:小明猜想∠AEP+∠CFP=∠EPF,他过点P作PQ//AB,如图②,请帮他完成证明过程;
(2)深入探究:小华在帮助小明完善解题过程时,发现用同样的辅助线还可以得到∠BEP,∠EPF,∠PFD之间的关系,请写出这三个角度间满足的关系并完成证明;
(3)问题解决:如图③是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面,绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A,B,C,D,E,F,G,并连接AB,BC,CD,DE,EF,FG.绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线AB与天玑、天璇所在的直线EF几乎平行(如图④)(因为距离地球很远,所以近似看作AB//EF).结合上面的探究过程,若∠HBC=36°,∠BCD=168°,∠DEF=103°,则∠CDE=.

$\boldsymbol{125°}$

【分析】
本题考查平行线的性质在拐点问题中的应用，解题核心方法是“过拐点作平行线”，利用平行线的传递性得到新的平行关系，再通过内错角相等、同旁内角互补转化角度关系求解。第(1)(2)问是基础的单拐点模型，第(3)问是多拐点的拓展，只需在每个拐点处分别作AB的平行线，套用前面的角度关系推导即可。
【解析】
(1) 证明：过点P作PQ//AB，
∵ AB//CD，根据平行于同一直线的两直线互相平行，可得PQ//AB//CD，
∴ ∠AEP = ∠EPQ（两直线平行，内错角相等），∠CFP = ∠FPQ（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠EPF = ∠EPQ + ∠FPQ，
∴ ∠AEP + ∠CFP = ∠EPF。
(2) 三个角的关系为：$\boldsymbol{∠BEP + ∠EPF + ∠PFD = 360°}$，证明如下：
∵ PQ//AB//CD，
∴ ∠BEP + ∠EPQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），∠PFD + ∠FPQ = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
两式相加得：∠BEP + ∠EPQ + ∠FPQ + ∠PFD = 360°，
即∠BEP + ∠EPF + ∠PFD = 360°。
(3) 解：过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，
∵ AB//EF，
∴ AB//CM//DN//EF，
∵ CM//AB，
∴ ∠BCM = ∠HBC = 36°（两直线平行，内错角相等），
∵ ∠BCD = 168°，
∴ ∠DCM = ∠BCD - ∠BCM = 168° - 36° = 132°，
∵ CM//DN，
∴ ∠DCM + ∠CDN = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠CDN = 180° - 132° = 48°，
∵ DN//EF，
∴ ∠EDN + ∠DEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠DEF=103°，
∴ ∠EDN = 180° - 103° = 77°，
∴ ∠CDE = ∠CDN + ∠EDN = 48° + 77° = 125°。
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，拐点角度计算
【点评】
本题属于平行线性质的典型应用题型，从单拐点到多拐点层层递进，解题的核心是掌握“过拐点作平行线”的辅助线作法，能将复杂的多拐点问题拆解为多个基础平行线模型，结合平行线的角度关系进行推导计算。
【难度系数】
0.6