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22. 把下列的推理过程补充完整.
如图,已知∠D=∠1,∠2+∠ABC=180°,BD平分∠ABC,证明:EF//AB.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠1= .
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴//（）.
∴∠A+∠ABC=180°（）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2.
∴EF//AB（）.
如图,已知∠D=∠1,∠2+∠ABC=180°,BD平分∠ABC,证明:EF//AB.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠1= .
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴//（）.
∴∠A+∠ABC=180°（）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2.
∴EF//AB（）.
答案
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠1= $\boldsymbol{∠DBC}$ .
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴ $\boldsymbol{AD}$ $//$ $\boldsymbol{BC}$（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2.
∴$EF// AB$（同位角相等，两直线平行）.
∴∠1= $\boldsymbol{∠DBC}$ .
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴ $\boldsymbol{AD}$ $//$ $\boldsymbol{BC}$（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2.
∴$EF// AB$（同位角相等，两直线平行）.
解析
【分析】
这是一道平行线判定与性质的推理填空题，解题可按给出的步骤逐步推导：首先根据角平分线的定义，就能填出第一个空的角；得到∠D=∠DBC后，观察两角是AD、BC被BD截得的内错角，由内错角相等可推出两直线平行，填出平行的直线及判定依据；两直线平行后同旁内角互补，即可得到∠A与∠ABC的数量关系，填出对应的性质依据；最后结合已知∠2和∠ABC互补，利用同角的补角相等得到∠A=∠2，这两个角是EF、AB被AD截得的同位角，根据同位角相等即可推出EF//AB，填出对应的判定依据。
【解析】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠1= $\boldsymbol{∠DBC}$（角平分线的定义）.
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴ $\boldsymbol{AD}$ $\boldsymbol{//}$ $\boldsymbol{BC}$（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2（同角的补角相等）.
∴$EF// AB$（同位角相等，两直线平行）.
【答案】
依次填入：$\boldsymbol{∠DBC}$；$\boldsymbol{AD}$，$\boldsymbol{BC}$，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行。
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题是几何推理的基础题，核心考查平行线判定和性质的区别与应用，解题时要理清推导逻辑：由角的数量关系推平行用判定定理，由平行推角的数量关系用性质定理，熟练掌握基础定理即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
这是一道平行线判定与性质的推理填空题，解题可按给出的步骤逐步推导：首先根据角平分线的定义，就能填出第一个空的角；得到∠D=∠DBC后，观察两角是AD、BC被BD截得的内错角，由内错角相等可推出两直线平行，填出平行的直线及判定依据；两直线平行后同旁内角互补，即可得到∠A与∠ABC的数量关系，填出对应的性质依据；最后结合已知∠2和∠ABC互补，利用同角的补角相等得到∠A=∠2，这两个角是EF、AB被AD截得的同位角，根据同位角相等即可推出EF//AB，填出对应的判定依据。
【解析】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠1= $\boldsymbol{∠DBC}$（角平分线的定义）.
∵∠D=∠1,
∴∠D=∠DBC.
∴ $\boldsymbol{AD}$ $\boldsymbol{//}$ $\boldsymbol{BC}$（内错角相等，两直线平行）.
∴∠A+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠2+∠ABC=180°,
∴∠A=∠2（同角的补角相等）.
∴$EF// AB$（同位角相等，两直线平行）.
【答案】
依次填入：$\boldsymbol{∠DBC}$；$\boldsymbol{AD}$，$\boldsymbol{BC}$，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行。
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题是几何推理的基础题，核心考查平行线判定和性质的区别与应用，解题时要理清推导逻辑：由角的数量关系推平行用判定定理，由平行推角的数量关系用性质定理，熟练掌握基础定理即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
23. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOC=60°，若∠BOF：∠COF=1：2，求∠BOF 的度数.
答案
解：
设∠BOF的度数为x，
∵ ∠BOF:∠COF = 1:2，
∴ ∠COF = 2x。
∵ AB是直线，平角为180°，
∴ ∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 180°，
将∠AOC=60°代入得：
60° + 2x + x = 180°，
解得x = 40°，
即∠BOF = 40°。
设∠BOF的度数为x，
∵ ∠BOF:∠COF = 1:2，
∴ ∠COF = 2x。
∵ AB是直线，平角为180°，
∴ ∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 180°，
将∠AOC=60°代入得：
60° + 2x + x = 180°，
解得x = 40°，
即∠BOF = 40°。
解析
【分析】
解题时首先根据∠BOF与∠COF的比例关系，可设未知数表示两个角的度数；再观察图形可知直线AB为平角，因此∠AOC、∠COF、∠BOF三个角的和为180°；最后将已知的∠AOC=60°代入角的和的关系式，列一元一次方程即可求解出∠BOF的度数。
【解析】
设∠BOF的度数为x，
∵ ∠BOF:∠COF = 1:2，
∴ ∠COF = 2x。
∵ AB是直线，平角为180°，
∴ ∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 180°，
将∠AOC=60°代入得：
60° + 2x + x = 180°，
解得x = 40°，
即∠BOF = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
平角的定义；角的和差运算；比例的应用
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是结合图形明确角之间的和差关系，结合比例设未知数列方程的方法是几何角度计算中的常用技巧，熟练掌握平角的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据∠BOF与∠COF的比例关系，可设未知数表示两个角的度数；再观察图形可知直线AB为平角，因此∠AOC、∠COF、∠BOF三个角的和为180°；最后将已知的∠AOC=60°代入角的和的关系式，列一元一次方程即可求解出∠BOF的度数。
【解析】
设∠BOF的度数为x，
∵ ∠BOF:∠COF = 1:2，
∴ ∠COF = 2x。
∵ AB是直线，平角为180°，
∴ ∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 180°，
将∠AOC=60°代入得：
60° + 2x + x = 180°，
解得x = 40°，
即∠BOF = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
平角的定义；角的和差运算；比例的应用
【点评】
本题属于相交线角度计算的基础题型，解题核心是结合图形明确角之间的和差关系，结合比例设未知数列方程的方法是几何角度计算中的常用技巧，熟练掌握平角的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
24. 如图，$∠ DFB=125°$，$∠ ACB=55°$.
(1)求证:$AC// DE$；
(2)若$∠ D=∠ A$，$∠ ACD=120°$，求$∠ B$的度数.
(1)求证:$AC// DE$；
(2)若$∠ D=∠ A$，$∠ ACD=120°$，求$∠ B$的度数.
答案
(1) 证明：
∵ ∠DFB = 125°，
∴ ∠EFB = 180° - ∠DFB = 180° - 125° = 55°，
又∵ ∠ACB = 55°，
∴ ∠ACB = ∠EFB，
∴ AC // DE（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AC // DE，
∴ ∠A = ∠DEB（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠D = ∠A，
∴ ∠D = ∠DEB，
∴ CD // AB（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠ACD + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠ACD = 120°，
∴ ∠A = 180° - 120° = 60°，
在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 60° - 55° = 65°。
答：∠B的度数为65°。
∵ ∠DFB = 125°，
∴ ∠EFB = 180° - ∠DFB = 180° - 125° = 55°，
又∵ ∠ACB = 55°，
∴ ∠ACB = ∠EFB，
∴ AC // DE（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ AC // DE，
∴ ∠A = ∠DEB（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠D = ∠A，
∴ ∠D = ∠DEB，
∴ CD // AB（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠ACD + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠ACD = 120°，
∴ ∠A = 180° - 120° = 60°，
在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB = 180° - 60° - 55° = 65°。
答：∠B的度数为65°。
解析
【分析】
(1) 要证明$AC// DE$，可通过两直线平行的角的判定条件推导：首先$∠ DFB$和$∠ EFB$互为邻补角，先求出$∠ EFB$的度数，对比已知的$∠ ACB$的度数，若二者相等，就符合同位角相等、两直线平行的判定条件，即可完成证明。
(2) 借助第一问得到的$AC// DE$的结论，先利用平行线的性质得到$∠ A$和$∠ DEB$的等量关系，结合已知$∠ D=∠ A$，等量代换后得到$∠ D=∠ DEB$，可推出$CD// AB$；再利用平行线同旁内角互补的性质求出$∠ A$的度数，最后在$△ ABC$中利用三角形内角和为$180°$，就能计算出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ DFB=125°$，$∠ DFB$与$∠ EFB$互为邻补角，
$\therefore ∠ EFB=180°-∠ DFB=180°-125°=55°$，
又$\because ∠ ACB=55°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ EFB$，
$\therefore AC// DE$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because AC// DE$，
$\therefore ∠ A=∠ DEB$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ D=∠ A$，
$\therefore ∠ D=∠ DEB$，
$\therefore CD// AB$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ ACD+∠ A=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ ACD=120°$，
$\therefore ∠ A=180°-120°=60°$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-60°-55°=65°$。
【答案】
(1) 已证$AC// DE$；(2) $∠ B$的度数为$65°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 邻补角的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线的判定、性质以及三角形内角和的应用，解题的关键是准确识别角的位置关系，通过等量代换推导平行关系，再逐步求解待求角，对锻炼几何逻辑推导能力有较大帮助。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC// DE$，可通过两直线平行的角的判定条件推导：首先$∠ DFB$和$∠ EFB$互为邻补角，先求出$∠ EFB$的度数，对比已知的$∠ ACB$的度数，若二者相等，就符合同位角相等、两直线平行的判定条件，即可完成证明。
(2) 借助第一问得到的$AC// DE$的结论，先利用平行线的性质得到$∠ A$和$∠ DEB$的等量关系，结合已知$∠ D=∠ A$，等量代换后得到$∠ D=∠ DEB$，可推出$CD// AB$；再利用平行线同旁内角互补的性质求出$∠ A$的度数，最后在$△ ABC$中利用三角形内角和为$180°$，就能计算出$∠ B$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ DFB=125°$，$∠ DFB$与$∠ EFB$互为邻补角，
$\therefore ∠ EFB=180°-∠ DFB=180°-125°=55°$，
又$\because ∠ ACB=55°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ EFB$，
$\therefore AC// DE$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because AC// DE$，
$\therefore ∠ A=∠ DEB$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ D=∠ A$，
$\therefore ∠ D=∠ DEB$，
$\therefore CD// AB$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ ACD+∠ A=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ ACD=120°$，
$\therefore ∠ A=180°-120°=60°$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ B=180°-∠ A-∠ ACB=180°-60°-55°=65°$。
【答案】
(1) 已证$AC// DE$；(2) $∠ B$的度数为$65°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 邻补角的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线的判定、性质以及三角形内角和的应用，解题的关键是准确识别角的位置关系，通过等量代换推导平行关系，再逐步求解待求角，对锻炼几何逻辑推导能力有较大帮助。
【难度系数】
0.7
