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三、解答题
19.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)直角都相等；
(2)如果 $a+b=0$,那么 $a=0,b=0$.
19.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举出反例.
(1)直角都相等；
(2)如果 $a+b=0$,那么 $a=0,b=0$.
答案
解：
(1) 该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。
反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，但a≠0，b≠0。
(1) 该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。
反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，但a≠0，b≠0。
解析
【分析】
判断命题真假的核心方法是：若题设成立时结论一定成立，则为真命题；若存在题设成立但结论不成立的情况，则为假命题，假命题只需举出1个反例即可证明。针对(1)，结合直角的定义可知所有直角的度数都是90°，可直接判断真假；针对(2)，a+b=0的含义是a和b互为相反数，并非必须都为0，只需找一组非零的互为相反数的数值作为反例即可。
【解析】
(1) 根据直角的定义，所有直角的度数都是90°，因此所有直角都相等，该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。
反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，满足题设“a+b=0”，但a≠0且b≠0，不满足结论，因此该命题为假命题。
【答案】
(1) 该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，但a≠0，b≠0。
【知识点】
命题真假判断，直角的性质，相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点掌握假命题的证明方法：只需举出一个符合题设但不符合结论的反例即可，无需证明所有情况都不成立。
【难度系数】
0.8
判断命题真假的核心方法是：若题设成立时结论一定成立，则为真命题；若存在题设成立但结论不成立的情况，则为假命题，假命题只需举出1个反例即可证明。针对(1)，结合直角的定义可知所有直角的度数都是90°，可直接判断真假；针对(2)，a+b=0的含义是a和b互为相反数，并非必须都为0，只需找一组非零的互为相反数的数值作为反例即可。
【解析】
(1) 根据直角的定义，所有直角的度数都是90°，因此所有直角都相等，该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。
反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，满足题设“a+b=0”，但a≠0且b≠0，不满足结论，因此该命题为假命题。
【答案】
(1) 该命题是真命题。
(2) 该命题是假命题。反例：当a=2，b=-2时，a+b=2+(-2)=0，但a≠0，b≠0。
【知识点】
命题真假判断，直角的性质，相反数的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点掌握假命题的证明方法：只需举出一个符合题设但不符合结论的反例即可，无需证明所有情况都不成立。
【难度系数】
0.8
20. 如图，$∠ 1+∠ 2=180°$，$CE// BG$.
(1)求证:$AB// CD$；
(2)求证:$∠ 3=∠ B$.
(1)求证:$AB// CD$；
(2)求证:$∠ 3=∠ B$.
答案
证明：
(1)
∵ ∠2 + ∠CDE = 180°（邻补角的定义），
又∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知），
∴ ∠1 = ∠CDE（同角的补角相等），
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ CE // BG（已知），
∴ ∠B = ∠CEA（两直线平行，同位角相等），
又∵ AB // CD（已证），
∴ ∠3 = ∠CEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠B（等量代换）。
(1)
∵ ∠2 + ∠CDE = 180°（邻补角的定义），
又∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知），
∴ ∠1 = ∠CDE（同角的补角相等），
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ CE // BG（已知），
∴ ∠B = ∠CEA（两直线平行，同位角相等），
又∵ AB // CD（已证），
∴ ∠3 = ∠CEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠B（等量代换）。
解析
【分析】
(1)要证明AB//CD，可通过寻找同位角、内错角相等或同旁内角互补的关系推导。已知∠1+∠2=180°，结合邻补角的性质可知∠2与∠CDE也互补，根据同角的补角相等可推出∠1=∠CDE，二者为同位角，即可证得AB//CD。
(2)要证明∠3=∠B，可借助平行线的性质找中间角传递等量关系。已知CE//BG，可推出∠B与∠CEA相等；结合(1)中已证的AB//CD，可推出∠3与∠CEA相等，通过等量代换即可得到∠3=∠B。
【解析】
(1)
∵ ∠2 + ∠CDE = 180°（邻补角的定义），
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知），
∴ ∠1 = ∠CDE（同角的补角相等），
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ CE // BG（已知），
∴ ∠B = ∠CEA（两直线平行，同位角相等），
又
∵ AB // CD（已证），
∴ ∠3 = ∠CEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠B（等量代换）。
【答案】
(1)证明见上述解析，AB//CD成立；
(2)证明见上述解析，∠3=∠B成立。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线相关证明的基础题型，核心考查平行线判定定理与性质定理的综合应用，解题时需结合已知条件梳理角之间的等量关系，逐步推导结论，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
(1)要证明AB//CD，可通过寻找同位角、内错角相等或同旁内角互补的关系推导。已知∠1+∠2=180°，结合邻补角的性质可知∠2与∠CDE也互补，根据同角的补角相等可推出∠1=∠CDE，二者为同位角，即可证得AB//CD。
(2)要证明∠3=∠B，可借助平行线的性质找中间角传递等量关系。已知CE//BG，可推出∠B与∠CEA相等；结合(1)中已证的AB//CD，可推出∠3与∠CEA相等，通过等量代换即可得到∠3=∠B。
【解析】
(1)
∵ ∠2 + ∠CDE = 180°（邻补角的定义），
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知），
∴ ∠1 = ∠CDE（同角的补角相等），
∴ AB // CD（同位角相等，两直线平行）。
(2)
∵ CE // BG（已知），
∴ ∠B = ∠CEA（两直线平行，同位角相等），
又
∵ AB // CD（已证），
∴ ∠3 = ∠CEA（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠3 = ∠B（等量代换）。
【答案】
(1)证明见上述解析，AB//CD成立；
(2)证明见上述解析，∠3=∠B成立。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线相关证明的基础题型，核心考查平行线判定定理与性质定理的综合应用，解题时需结合已知条件梳理角之间的等量关系，逐步推导结论，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
21.如图,在每个小正方形边长为1的方格纸中,三角形ABC的顶点都在方格纸格点上,将三角形ABC先向左平移2格,再向上平移4格.
(1)请在方格纸中画出平移后的三角形A'B'C';
(2)求出平移过程中线段AC扫过的图形的面积.
(1)请在方格纸中画出平移后的三角形A'B'C';
(2)求出平移过程中线段AC扫过的图形的面积.
答案
解：
(1) 分别将点A、B、C向左平移2格，得到对应点后再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，即可画出平移后的△A'B'C'。
(2) 线段AC向左平移2格时，扫过的图形为平行四边形，面积为$2 × 3 = 6$；
线段AC再向上平移4格时，扫过的图形为平行四边形，面积为$4 × 6 = 24$；
因此平移过程中线段AC扫过的图形的总面积为$6 + 24 = 30$。
答：平移过程中线段AC扫过的图形的面积为30。
(1) 分别将点A、B、C向左平移2格，得到对应点后再向上平移4格，得到点A'、B'、C'，顺次连接A'、B'、C'，即可画出平移后的△A'B'C'。
(2) 线段AC向左平移2格时，扫过的图形为平行四边形，面积为$2 × 3 = 6$；
线段AC再向上平移4格时，扫过的图形为平行四边形，面积为$4 × 6 = 24$；
因此平移过程中线段AC扫过的图形的总面积为$6 + 24 = 30$。
答：平移过程中线段AC扫过的图形的面积为30。
解析
【分析】
(1) 平移作图的核心是确定各顶点平移后的对应点：根据“向左平移2格，再向上平移4格”的平移规则，依次找到点A、B、C平移后的对应点A'、B'、C'，顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 计算线段AC扫过的面积时分两步分析：向左平移的过程中，线段AC扫过的图形是平行四边形，底为水平平移距离2，高为线段AC两端点的竖直距离差3；向上平移的过程中，线段AC扫过的图形也是平行四边形，底为竖直平移距离4，高为线段AC两端点的水平距离差6；两个扫过的图形无重叠，总面积为两个平行四边形的面积和。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 将点A先向左平移2格，再向上平移4格，得到对应点A'；
② 按照相同的平移规则，分别作出点B、C的对应点B'、C'；
③ 顺次连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'即为平移后的三角形。
(2) 面积计算：
线段AC向左平移2格时，扫过的平行四边形面积：$2 × 3 = 6$；
线段AC向上平移4格时，扫过的平行四边形面积：$4 × 6 = 24$；
扫过的总面积为两个平行四边形面积之和：$6 + 24 = 30$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出△A'B'C'即可；
(2) 30
【知识点】
平移作图，平行四边形面积计算，平移的性质
【点评】
本题考查平移的相关应用，作图时要准确把握平移的方向和距离，计算扫过面积的关键是正确判断线段在不同平移阶段扫过的图形形状，结合对应图形的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 平移作图的核心是确定各顶点平移后的对应点：根据“向左平移2格，再向上平移4格”的平移规则，依次找到点A、B、C平移后的对应点A'、B'、C'，顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(2) 计算线段AC扫过的面积时分两步分析：向左平移的过程中，线段AC扫过的图形是平行四边形，底为水平平移距离2，高为线段AC两端点的竖直距离差3；向上平移的过程中，线段AC扫过的图形也是平行四边形，底为竖直平移距离4，高为线段AC两端点的水平距离差6；两个扫过的图形无重叠，总面积为两个平行四边形的面积和。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 将点A先向左平移2格，再向上平移4格，得到对应点A'；
② 按照相同的平移规则，分别作出点B、C的对应点B'、C'；
③ 顺次连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'即为平移后的三角形。
(2) 面积计算：
线段AC向左平移2格时，扫过的平行四边形面积：$2 × 3 = 6$；
线段AC向上平移4格时，扫过的平行四边形面积：$4 × 6 = 24$；
扫过的总面积为两个平行四边形面积之和：$6 + 24 = 30$。
【答案】
(1) 按上述步骤作出△A'B'C'即可；
(2) 30
【知识点】
平移作图，平行四边形面积计算，平移的性质
【点评】
本题考查平移的相关应用，作图时要准确把握平移的方向和距离，计算扫过面积的关键是正确判断线段在不同平移阶段扫过的图形形状，结合对应图形的面积公式即可求解。
【难度系数】
0.6
