12. 一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知$∠ 2=105°$，则$∠ 1=$。

$\boldsymbol{75°}$

【分析】
首先观察图形，古秤的两条吊线都是竖直方向，竖直方向的直线互相平行，此时秤杆作为截线，和两条平行的吊线相交形成了∠1和∠2。结合平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，因此两个角的和为180°，已知∠2的度数，用180°减去∠2的度数就能得到∠1的大小。
【解析】
解：由生活常识可知，古秤的两条吊线均为竖直方向，因此两条吊线互相平行。
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 2=105°$，代入计算得：
$∠ 1 = 180° - 105° = 75°$
【答案】
$\boldsymbol{75°}$
【知识点】
1. 平行线的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的古秤场景考查平行线相关知识，需要学生从实际图形中抽象出平行的直线，再利用平行线的角度关系求解，注重知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8

13.如图，AB//CD，点E在CD上，BC平分∠ABE.若∠BED=70°，则∠ABC的大小为.

$\boldsymbol{35°}$

【分析】
解题时先观察图形条件，首先由AB//CD可联想到平行线的性质，先找到与已知∠BED相等的内错角∠ABE，求出∠ABE的度数；再结合BC平分∠ABE的条件，利用角平分线的定义即可求出∠ABC的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠ABE = ∠BED = 70°，
又
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
$35°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，将平行线的性质与角平分线的定义结合考查，解题的关键是准确识别平行线形成的内错角，结合角平分线的性质计算即可。
【难度系数】
0.8

14. 如图，AB//CD，EF交GF于点F，∠BEF=60°，则∠EFG+∠CGF=。

$\boldsymbol{240°}$

【分析】
本题属于平行线间的折线角度计算问题，解题核心是通过过拐点作辅助平行线转化角的关系。首先过点F作平行于AB的直线，根据平行公理的推论可得该直线也平行于CD，再分别利用平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，将所求的两个角的和拆分转化为已知角和互补两角的和，即可算出结果。
【解析】
过点F作$FP// AB$，
$\because AB// CD$（已知），
$\therefore FP// AB// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because AB// FP$，$EF$为截线，
$\therefore ∠ BEF = ∠ EFP = 60°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because FP// CD$，$GF$为截线，
$\therefore ∠ PFG + ∠ CGF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ EFG = ∠ EFP + ∠ PFG$，
$\therefore ∠ EFG + ∠ CGF = ∠ EFP + ∠ PFG + ∠ CGF = 60° + 180° = 240°$。
【答案】
$\boldsymbol{240°}$
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，重点考察折线类角度问题的辅助线构造方法，熟练掌握平行线的性质和辅助线构造技巧就能快速解题。
【难度系数】
0.7

15. 小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题.如图所示，已知$AB// CD$，$∠ BAE=87°$，$∠ DCE=121°$，则$∠ E$ 的度数是.

$\boldsymbol{34°}$

【分析】
这是一道平行线与角度计算结合的问题，已知AB平行于CD，两个已知角分别在两条平行线上，且点E是平行线外的拐点，我们可以通过延长DC交AE于点F，先利用平行线的同位角相等得到∠DFE与∠BAE相等，再结合三角形外角的性质，即可求出∠E的度数。
【解析】
解：延长DC，交AE于点F。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ DFE = ∠ BAE = 87°$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $∠ DCE$是$△ EFC$的外角，
∴ $∠ DCE = ∠ E + ∠ DFE$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
将$∠ DCE=121°$，$∠ DFE=87°$代入得：
$∠ E = ∠ DCE - ∠ DFE = 121° - 87° = 34°$。
【答案】
$\boldsymbol{34°}$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质；角度计算
【点评】
本题属于平行线与三角形性质结合的常规题型，解题的关键是通过延长线段构造出同位角和三角形外角，建立已知角和待求角的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

16.将一个宽度相等的长方形纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=50°，则∠2=

$\boldsymbol{100°}$

【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是长方形对边互相平行，二是折叠前后对应角大小相等。要求∠2的度数，先找它和已知∠1的关系：因为纸条上下边平行，∠2和它的内错角大小相等，而这个内错角恰好是折叠后两个与∠1相等的角的和，因此只需要用2倍的∠1即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵长方形纸条的上下对边互相平行，且沿AB折叠
∴折叠后与∠1重合的角与∠1大小相等，即该角也为50°（折叠前后对应角相等）
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得：
∠2 = ∠1 + 折叠后对应的角 = 50°+50°=100°
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质
【点评】
本题是角度计算的常见基础题型，考查折叠变换和平行线性质的综合应用，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角度关系计算，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8

17.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，∠CAD=∠AOB=90°,∠ACD=60°,∠ADC=30°,∠OAB=∠ABO=45°,若固定三角尺AOB,改变三角尺ACD的位置(其中点A的位置始终不变),当∠BAD的度数为时,CD//AB.

解：分两种情况讨论：
① 当CD与AB形成内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAD = ∠ ADC = 30°$；
② 当CD与AB形成另一组内错角的位置关系时，若$CD// AB$，
根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAC = ∠ ACD = 60°$，
又$\because ∠ CAD = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 60° + 90° = 150°$。
综上，$∠ BAD$的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{150°}$。

【分析】
要解决该问题，首先回忆平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。由于三角尺ACD可绕固定点A旋转，CD与AB平行存在两种不同的位置情况，我们需要结合三角尺的已知固定角度，分别对两种情况计算∠BAD的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当CD与AB形成内错角∠BAD和∠ADC时，若$CD// AB$，根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAD = ∠ ADC = 30°$；
② 当CD与AB形成内错角∠BAC和∠ACD时，若$CD// AB$，根据内错角相等，两直线平行，可得$∠ BAC = ∠ ACD = 60°$，
又$\because ∠ CAD = 90°$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 60° + 90° = 150°$。
综上，$∠ BAD$的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
平行线的判定；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题结合三角尺的固定角度考查平行线判定的实际应用，解题时需要全面考虑三角尺的不同摆放位置，避免漏解，能有效锻炼学生的几何分析能力和分类讨论思维。
【难度系数】
0.6

18.如图，$AB// CD$，点$F$，$G$分别在$AB$，$CD$上，点$E$在$AB$，$CD$之间，连接$EF$，$EG$，$FQ$平分$∠ BFE$，$GH$平分$∠ CGE$且交$FQ$的反向延长线于点$H$，交$AB$于点$P$，$∠ BFE=70°$，$∠ DGE=40°$.给出下面四个结论：
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论的序号有________.

解：
1. 推导结论①：
已知$∠ DGE=40°$，因此$∠ CGE=180°-∠ DGE=140°$。
因为$GH$平分$∠ CGE$，所以$∠ CGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
则$∠ DGH=180°-∠ CGH=110°$，结论①正确。
2. 推导结论②：
过点$E$作$EM// AB$，由$AB// CD$得$EM// CD$，
因此$∠ FEM=∠ BFE=70°$，$∠ MEG=∠ DGE=40°$，
则$∠ FEG=∠ FEM+∠ MEG=110°$。
又$∠ HGE=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，所以$∠ FEG+∠ HGE=110°+70°=180°$，
同旁内角互补，故$EF// GH$，结论②正确。
3. 推导结论③：
由$FQ$平分$∠ BFE$，得$∠ BFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=35°$，
$FH$是$FQ$的反向延长线，因此$∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
$∠ AFE=180°-∠ BFE=110°$，则$∠ HFE=∠ AFH+∠ AFE=35°+110°=145°$，
而$∠ E=∠ FEG=110°$，显然$∠ HFE≠∠ E$，结论③错误。
4. 推导结论④：
由$AB// CD$，得内错角$∠ GPB=∠ CGH=70°$，因此$∠ AP G=180°-∠ GPB=110°$，
在$△ HFP$中，$∠ HPF=∠ APG=110°$，$∠ HFP=∠ AFH=35°$，
所以$∠ H=180°-110°-35°=35°$，即$∠ H=∠ AFH$，结论④正确。
综上，正确结论的序号为$\boldsymbol{①②④}$。

【分析】
解题时需结合已知条件，利用角平分线定义、平行线性质、三角形内角和等知识逐个验证四个结论：首先通过邻补角和角平分线的性质计算∠DGH判断结论①；再过点E作AB的平行线，利用平行线的传递性和内错角相等求出∠FEG的度数，结合同旁内角互补判断EF与GH的位置关系验证结论②；接着根据角平分线求出∠BFQ，再计算∠HFE的度数与∠E比较判断结论③；最后利用平行线的内错角相等和三角形内角和求出∠H的度数，与∠AFH比较判断结论④。
【解析】
1. 验证结论①：
已知∠DGE=40°，∠CGE与∠DGE互为邻补角，因此∠CGE=180°-∠DGE=140°。
因为GH平分∠CGE，所以$∠ CGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
∠DGH与∠CGH互为邻补角，则$∠ DGH=180°-∠ CGH=110°$，故①正确。
2. 验证结论②：
过点E作$EM//AB$，由$AB//CD$，根据平行线的传递性得$EM//CD$，
根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ FEM=∠ BFE=70°$，$∠ MEG=∠ DGE=40°$，
则$∠ FEG=∠ FEM+∠ MEG=70°+40°=110°$。
又$∠ HGE=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，所以$∠ FEG+∠ HGE=110°+70°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$EF//GH$，故②正确。
3. 验证结论③：
因为FQ平分$∠ BFE$，所以$∠ BFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=\frac{1}{2}×70°=35°$，
FH是FQ的反向延长线，∠AFH与∠BFQ互为对顶角，因此$∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
∠AFE与∠BFE互为邻补角，$∠ AFE=180°-∠ BFE=110°$，则$∠ HFE=∠ AFH+∠ AFE=35°+110°=145°$，
而$∠ E=∠ FEG=110°$，显然$∠ HFE≠∠ E$，故③错误。
4. 验证结论④：
因为$AB//CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，得$∠ GPB=∠ CGH=70°$，因此$∠ APG=180°-∠ GPB=110°$，
∠HPF与∠APG互为对顶角，因此$∠ HPF=∠ APG=110°$，
在$△ HFP$中，根据三角形内角和为180°，得$∠ H=180°-∠ HPF-∠ HFP=180°-110°-35°=35°$，
所以$∠ H=∠ AFH=35°$，故④正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于平行线的综合应用题型，需要结合邻补角、对顶角的性质逐一推导各角的度数，解题的关键是正确作出辅助线拆分夹在平行线间的角，推导过程中要注意区分各角的位置关系，避免计算或判断错误。
【难度系数】
0.6