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13. 已知 $ m + 8 $ 的算术平方根是 3，$ m - n + 4 $ 的立方根是 -2，求 $ \sqrt[2m+1]{3m - n + 2} $ 的值。
答案
13. $\because m+8$的算术平方根是3，$\therefore m+8=3^2=9$，解得$m=1$. $\because m-n+4$的立方根是$-2$，$\therefore m-n+4=(-2)^3=-8$，解得$n=13$，$\therefore \sqrt[2m+1]{3m-n+2}=\sqrt[3]{3-13+2}=\sqrt[3]{-8}=-2$
解析
【分析】
解题时先根据算术平方根和立方根的定义建立方程：首先，若一个非负数的算术平方根为a，则这个数等于$a^2$，据此可求出m的值；其次，若一个数的立方根为b，则这个数等于$b^3$，将求出的m代入就能求出n的值；最后把m、n代入所求的根式中，先计算根指数和被开方数，再进行开方运算即可得到结果。
【解析】
∵ $ m + 8 $ 的算术平方根是3，根据算术平方根的定义可得：
$ m + 8 = 3^2 = 9 $，解得 $ m = 1 $。
又
∵ $ m - n + 4 $ 的立方根是-2，根据立方根的定义可得：
$ m - n + 4 = (-2)^3 = -8 $，
把 $ m=1 $ 代入上式：$ 1 - n + 4 = -8 $，解得 $ n = 13 $。
将 $ m=1 $，$ n=13 $ 代入 $ \sqrt[2m+1]{3m - n + 2} $ 得：
根指数 $ 2m+1 = 2×1 +1 =3 $，
被开方数 $ 3m -n +2 = 3×1 -13 +2 = -8 $，
∴ 原式 $ = \sqrt[3]{-8} = -2 $。
【答案】
$-2$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；根式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是利用算术平方根和立方根的定义列方程求解未知参数，只要准确掌握相关概念的性质，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时先根据算术平方根和立方根的定义建立方程：首先，若一个非负数的算术平方根为a，则这个数等于$a^2$，据此可求出m的值；其次，若一个数的立方根为b，则这个数等于$b^3$，将求出的m代入就能求出n的值；最后把m、n代入所求的根式中，先计算根指数和被开方数，再进行开方运算即可得到结果。
【解析】
∵ $ m + 8 $ 的算术平方根是3，根据算术平方根的定义可得：
$ m + 8 = 3^2 = 9 $，解得 $ m = 1 $。
又
∵ $ m - n + 4 $ 的立方根是-2，根据立方根的定义可得：
$ m - n + 4 = (-2)^3 = -8 $，
把 $ m=1 $ 代入上式：$ 1 - n + 4 = -8 $，解得 $ n = 13 $。
将 $ m=1 $，$ n=13 $ 代入 $ \sqrt[2m+1]{3m - n + 2} $ 得：
根指数 $ 2m+1 = 2×1 +1 =3 $，
被开方数 $ 3m -n +2 = 3×1 -13 +2 = -8 $，
∴ 原式 $ = \sqrt[3]{-8} = -2 $。
【答案】
$-2$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；根式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是利用算术平方根和立方根的定义列方程求解未知参数，只要准确掌握相关概念的性质，代入计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
14. 小明打算利用一张面积为 900 cm² 的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作.
（1）求正方形卡纸的边长.
（2）如图 4，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为 4：3，裁出的长方形的面积能否为 768 cm²？请通过计算说明.
（3）如图 5，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为 343 cm³，求该正方体的表面积.
（1）求正方形卡纸的边长.
（2）如图 4，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为 4：3，裁出的长方形的面积能否为 768 cm²？请通过计算说明.
（3）如图 5，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为 343 cm³，求该正方体的表面积.
答案
14.（1）设正方形卡纸的边长为$x$ cm，$\because x^2=900$，$x＞0$，$\therefore x=30$. $\therefore$正方形卡纸的边长为30 cm
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm². 理由如下：设长方形的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm，假设裁出的长方形的面积为768 cm²，$\therefore 4x · 3x =768$，$\therefore x^2=64. \because x＞0$，$\therefore x=8$. $\therefore$长方形的长为32 cm，宽为24 cm. 由（1）知正方形卡纸的边长为30 cm，$\because 32＞30$，$\therefore$裁出的长方形的面积不能为768 cm²
（3）设正方体的棱长为$y$ cm，$\therefore y^3=343$，$\therefore y=7$. $\because 4×7=28＜30$，$3×7=21＜30$，$\therefore$符合题意. $\therefore$正方体的表面积$=6×7^2=294$（cm²）
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm². 理由如下：设长方形的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm，假设裁出的长方形的面积为768 cm²，$\therefore 4x · 3x =768$，$\therefore x^2=64. \because x＞0$，$\therefore x=8$. $\therefore$长方形的长为32 cm，宽为24 cm. 由（1）知正方形卡纸的边长为30 cm，$\because 32＞30$，$\therefore$裁出的长方形的面积不能为768 cm²
（3）设正方体的棱长为$y$ cm，$\therefore y^3=343$，$\therefore y=7$. $\because 4×7=28＜30$，$3×7=21＜30$，$\therefore$符合题意. $\therefore$正方体的表面积$=6×7^2=294$（cm²）
解析
【分析】
（1）已知正方形面积求边长，根据正方形面积公式，边长是面积的算术平方根，结合边长为正数的实际意义计算即可。
（2）已知长方形长宽比为4:3，可设长为4x cm、宽为3x cm，先根据假设的面积列方程求出x的值，再计算出长方形的长，和正方形卡纸的边长30cm对比，若长大于30cm则无法裁出，反之可以裁出。
（3）已知正方体体积求棱长，根据正方体体积公式，棱长是体积的立方根，先验证裁剪该正方体展开图所需的尺寸是否小于正方形卡纸边长，确认可行后再根据正方体表面积公式计算即可。
【解析】
（1）设正方形卡纸的边长为$x$ cm，根据正方形面积公式可得：
$x^2=900$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=30$。
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm²，理由如下：
设长方形的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm，假设裁出的长方形面积为768 cm²，根据长方形面积公式可得：
$4x · 3x =768$，
整理得$x^2=64$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=8$，
$\therefore$长方形的长为$4×8=32$ cm，宽为$3×8=24$ cm。
由（1）可知正方形卡纸的边长为30 cm，
$\because 32＞30$，长度超过卡纸边长，
$\therefore$裁出的长方形的面积不能为768 cm²。
（3）设正方体的棱长为$y$ cm，根据正方体体积公式可得：
$y^3=343$，
$\therefore y=7$，
验证：裁剪该正方体展开图所需横向长度为$4×7=28＜30$，纵向长度为$3×7=21＜30$，符合要求。
根据正方体表面积公式可得：
表面积$=6×7^2=294$（cm²）。
【答案】
（1）正方形卡纸的边长为30 cm；
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm²；
（3）该正方体的表面积为294 cm²。
【知识点】
平方根的应用，立方根的应用，正方体体积与表面积计算
【点评】
本题结合手工裁剪的实际情境考查平方根、立方根的实际应用，解题时要注意将计算得到的图形尺寸与原有卡纸尺寸对比，验证结果的合理性，避免出现仅符合理论计算但不符合实际操作要求的错误。
【难度系数】
0.8
（1）已知正方形面积求边长，根据正方形面积公式，边长是面积的算术平方根，结合边长为正数的实际意义计算即可。
（2）已知长方形长宽比为4:3，可设长为4x cm、宽为3x cm，先根据假设的面积列方程求出x的值，再计算出长方形的长，和正方形卡纸的边长30cm对比，若长大于30cm则无法裁出，反之可以裁出。
（3）已知正方体体积求棱长，根据正方体体积公式，棱长是体积的立方根，先验证裁剪该正方体展开图所需的尺寸是否小于正方形卡纸边长，确认可行后再根据正方体表面积公式计算即可。
【解析】
（1）设正方形卡纸的边长为$x$ cm，根据正方形面积公式可得：
$x^2=900$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=30$。
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm²，理由如下：
设长方形的长为$4x$ cm，宽为$3x$ cm，假设裁出的长方形面积为768 cm²，根据长方形面积公式可得：
$4x · 3x =768$，
整理得$x^2=64$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=8$，
$\therefore$长方形的长为$4×8=32$ cm，宽为$3×8=24$ cm。
由（1）可知正方形卡纸的边长为30 cm，
$\because 32＞30$，长度超过卡纸边长，
$\therefore$裁出的长方形的面积不能为768 cm²。
（3）设正方体的棱长为$y$ cm，根据正方体体积公式可得：
$y^3=343$，
$\therefore y=7$，
验证：裁剪该正方体展开图所需横向长度为$4×7=28＜30$，纵向长度为$3×7=21＜30$，符合要求。
根据正方体表面积公式可得：
表面积$=6×7^2=294$（cm²）。
【答案】
（1）正方形卡纸的边长为30 cm；
（2）裁出的长方形的面积不能为768 cm²；
（3）该正方体的表面积为294 cm²。
【知识点】
平方根的应用，立方根的应用，正方体体积与表面积计算
【点评】
本题结合手工裁剪的实际情境考查平方根、立方根的实际应用，解题时要注意将计算得到的图形尺寸与原有卡纸尺寸对比，验证结果的合理性，避免出现仅符合理论计算但不符合实际操作要求的错误。
【难度系数】
0.8
