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7. 根据表格估算$\sqrt[3]{14}\approx$
2.4
.（精确到0.1）答案
7. 2.4
解析
【分析】
要估算$\sqrt[3]{14}$的近似值，需利用立方与开立方互为逆运算的关系：首先从表格中找到14介于哪两个相邻数的立方值之间，确定$\sqrt[3]{14}$的取值范围；再分别计算14与这两个立方值的差值，判断14更接近哪个立方值，最后按照精确到0.1的要求得出近似结果。
【解析】
观察表格数据可得：
$2.4^3=13.824$，$2.5^3=15.625$
因为$13.824＜14＜15.625$，所以$2.4＜\sqrt[3]{14}＜2.5$
计算差值：$14-13.824=0.176$，$15.625-14=1.625$
由于$0.176＜1.625$，说明14更接近$2.4^3$，因此精确到0.1时，$\sqrt[3]{14}\approx2.4$
【答案】
2.4
【知识点】
立方根估算；立方与开立方互逆；近似数取值
【点评】
本题核心是利用立方运算与开立方运算的互逆性估算立方根，解题时先定位被开方数对应的相邻立方数范围，再通过比较差值判断近似值，需要注意题目对精确度的要求。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt[3]{14}$的近似值，需利用立方与开立方互为逆运算的关系：首先从表格中找到14介于哪两个相邻数的立方值之间，确定$\sqrt[3]{14}$的取值范围；再分别计算14与这两个立方值的差值，判断14更接近哪个立方值，最后按照精确到0.1的要求得出近似结果。
【解析】
观察表格数据可得：
$2.4^3=13.824$，$2.5^3=15.625$
因为$13.824＜14＜15.625$，所以$2.4＜\sqrt[3]{14}＜2.5$
计算差值：$14-13.824=0.176$，$15.625-14=1.625$
由于$0.176＜1.625$，说明14更接近$2.4^3$，因此精确到0.1时，$\sqrt[3]{14}\approx2.4$
【答案】
2.4
【知识点】
立方根估算；立方与开立方互逆；近似数取值
【点评】
本题核心是利用立方运算与开立方运算的互逆性估算立方根，解题时先定位被开方数对应的相邻立方数范围，再通过比较差值判断近似值，需要注意题目对精确度的要求。
【难度系数】
0.8
8. 解方程.
(1) $2x^3 = 54$;
(2) $2(x-1)^3 + 16 = 0$.
(1) $2x^3 = 54$;
(2) $2(x-1)^3 + 16 = 0$.
答案
8.（1）$x=3$ （2）$x=-1$
解析
【分析】
这两道都是含三次项的一元方程，解题核心思路是先利用等式的基本性质，通过移项、系数化为1，将方程变形为“含未知数的三次项=常数”的形式，再利用开立方运算求出未知数的值，注意立方根具有唯一性，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，无需考虑多解情况。
【解析】
(1) 解方程$2x^3 = 54$
步骤1：系数化为1，等式两边同时除以2，可得：$x^3=27$
步骤2：对等式两边同时开立方，可得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
(2) 解方程$2(x-1)^3 + 16 = 0$
步骤1：移项，将常数项移到等式右侧，可得：$2(x-1)^3=-16$
步骤2：系数化为1，等式两边同时除以2，可得：$(x-1)^3=-8$
步骤3：对等式两边同时开立方，可得：$x-1=\sqrt[3]{-8}=-2$
步骤4：移项计算，可得：$x=-2+1=-1$
【答案】
(1) $x=3$；(2) $x=-1$
【知识点】
立方根的运算、等式的性质、解简单一元三次方程
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考察立方根的计算规则和等式基本性质的运用，解题关键是先将含三次项的部分单独整理到等式一侧，再开立方求解，计算时要注意负数立方根的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
这两道都是含三次项的一元方程，解题核心思路是先利用等式的基本性质，通过移项、系数化为1，将方程变形为“含未知数的三次项=常数”的形式，再利用开立方运算求出未知数的值，注意立方根具有唯一性，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，无需考虑多解情况。
【解析】
(1) 解方程$2x^3 = 54$
步骤1：系数化为1，等式两边同时除以2，可得：$x^3=27$
步骤2：对等式两边同时开立方，可得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
(2) 解方程$2(x-1)^3 + 16 = 0$
步骤1：移项，将常数项移到等式右侧，可得：$2(x-1)^3=-16$
步骤2：系数化为1，等式两边同时除以2，可得：$(x-1)^3=-8$
步骤3：对等式两边同时开立方，可得：$x-1=\sqrt[3]{-8}=-2$
步骤4：移项计算，可得：$x=-2+1=-1$
【答案】
(1) $x=3$；(2) $x=-1$
【知识点】
立方根的运算、等式的性质、解简单一元三次方程
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，重点考察立方根的计算规则和等式基本性质的运用，解题关键是先将含三次项的部分单独整理到等式一侧，再开立方求解，计算时要注意负数立方根的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
9. 下列说法错误的是（
A.$\sqrt[3]{a}$中的a可以是正数、负数、零
B.$\sqrt{a}$中的a不可能是负数
C.数a的平方根有两个，它们互为相反数
D.数a的立方根只有一个
C
）.A.$\sqrt[3]{a}$中的a可以是正数、负数、零
B.$\sqrt{a}$中的a不可能是负数
C.数a的平方根有两个，它们互为相反数
D.数a的立方根只有一个
答案
9.C
解析
【分析】
这道题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的说法。解题时首先回忆三类根式的相关性质：立方根的被开方数可以是任意数，每个数都只有1个立方根；算术平方根的被开方数必须是非负数；只有非负数才有平方根，其中正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根只有1个。再把这些性质对应到每个选项中验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据立方根的性质，任意数都有唯一的立方根，所以$\sqrt[3]{a}$中的a可以是正数、负数、零，该说法正确，不符合题意。
B选项：$\sqrt{a}$表示a的算术平方根，只有非负数才有算术平方根，所以a不可能是负数，该说法正确，不符合题意。
C选项：只有非负数才有平方根，其中负数没有平方根，0的平方根只有1个（就是0本身），仅正数才有两个互为相反数的平方根，该说法没有限定a的范围，表述错误，符合题意。
D选项：根据立方根的性质，任意数的立方根都只有1个，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根、算术平方根、立方根的性质差异，易错点是忽略平方根存在的前提是被开方数为非负数，以及0的平方根的特殊情况，牢记三类根式的性质和适用范围就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这道题需要结合平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，逐一判断每个选项的正误，最终选出错误的说法。解题时首先回忆三类根式的相关性质：立方根的被开方数可以是任意数，每个数都只有1个立方根；算术平方根的被开方数必须是非负数；只有非负数才有平方根，其中正数有2个互为相反数的平方根，0的平方根只有1个。再把这些性质对应到每个选项中验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据立方根的性质，任意数都有唯一的立方根，所以$\sqrt[3]{a}$中的a可以是正数、负数、零，该说法正确，不符合题意。
B选项：$\sqrt{a}$表示a的算术平方根，只有非负数才有算术平方根，所以a不可能是负数，该说法正确，不符合题意。
C选项：只有非负数才有平方根，其中负数没有平方根，0的平方根只有1个（就是0本身），仅正数才有两个互为相反数的平方根，该说法没有限定a的范围，表述错误，符合题意。
D选项：根据立方根的性质，任意数的立方根都只有1个，该说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；平方根的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查平方根、算术平方根、立方根的性质差异，易错点是忽略平方根存在的前提是被开方数为非负数，以及0的平方根的特殊情况，牢记三类根式的性质和适用范围就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
10. 一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长扩大为原来的（
A.2
B.3
C.4
D.8
A
）倍。A.2
B.3
C.4
D.8
答案
10. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方，因此棱长是对应体积的立方根。我们可以先设出原正方体的棱长，分别表示出原体积和扩大后的体积，再通过开立方求出扩大后的棱长，最后和原棱长对比就能得到扩大的倍数；也可以直接利用规律：正方体棱长扩大的倍数是体积扩大倍数的立方根，直接计算8的立方根即可得到结果。
【解析】
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式：
原正方体体积$V_1 = a^3$
体积扩大为原来的8倍后，新体积$V_2 = 8V_1 = 8a^3$
设新正方体的棱长为$a_2$，则$a_2^3 = V_2 = 8a^3$
对等式两边开立方得：$a_2 = \sqrt[3]{8a^3} = 2a$
因此新棱长是原棱长的$2a÷ a = 2$倍。
【答案】A
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 立方根的运算
【点评】
本题结合几何图形的体积变化考察立方根的应用，解题的关键是掌握正方体体积和棱长的三次方对应关系，属于基础题型，熟练掌握立方根的计算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方，因此棱长是对应体积的立方根。我们可以先设出原正方体的棱长，分别表示出原体积和扩大后的体积，再通过开立方求出扩大后的棱长，最后和原棱长对比就能得到扩大的倍数；也可以直接利用规律：正方体棱长扩大的倍数是体积扩大倍数的立方根，直接计算8的立方根即可得到结果。
【解析】
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式：
原正方体体积$V_1 = a^3$
体积扩大为原来的8倍后，新体积$V_2 = 8V_1 = 8a^3$
设新正方体的棱长为$a_2$，则$a_2^3 = V_2 = 8a^3$
对等式两边开立方得：$a_2 = \sqrt[3]{8a^3} = 2a$
因此新棱长是原棱长的$2a÷ a = 2$倍。
【答案】A
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 立方根的运算
【点评】
本题结合几何图形的体积变化考察立方根的应用，解题的关键是掌握正方体体积和棱长的三次方对应关系，属于基础题型，熟练掌握立方根的计算即可快速作答。
【难度系数】
0.8
11. 一个自然数$ a $的算术平方根为$ x $，那么$ a+1 $的立方根是（$\quad$）。
A.$\pm\sqrt[3]{x+1}$
B.$\sqrt[3]{(x+1)^2}$
C.$\sqrt[3]{x^2+1}$
D.$\pm\sqrt[3]{x^2+1}$
A.$\pm\sqrt[3]{x+1}$
B.$\sqrt[3]{(x+1)^2}$
C.$\sqrt[3]{x^2+1}$
D.$\pm\sqrt[3]{x^2+1}$
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据算术平方根的定义，建立自然数a和x的等量关系，再将a代入a+1得到用x表示的式子，最后结合立方根的定义和性质求出结果，同时注意立方根与平方根的区别，立方根只有一个，无需添加±符号，据此也可快速排除错误选项。
【解析】
解：
∵ 自然数a的算术平方根为x
根据算术平方根的定义：非负数的算术平方根的平方等于它本身，可得
$a = x^2$
∴ $a + 1 = x^2 + 1$
又
∵ 任意实数的立方根只有1个，符号与被开方数一致
∴ $a+1$的立方根为$\sqrt[3]{x^2+1}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念，立方根的概念
【点评】
本题重点考查算术平方根和立方根的基础概念，解题时要注意区分两者的性质：算术平方根具有非负性，正数的平方根有两个，而任意数的立方根都仅有一个，不要混淆二者的符号规则。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据算术平方根的定义，建立自然数a和x的等量关系，再将a代入a+1得到用x表示的式子，最后结合立方根的定义和性质求出结果，同时注意立方根与平方根的区别，立方根只有一个，无需添加±符号，据此也可快速排除错误选项。
【解析】
解：
∵ 自然数a的算术平方根为x
根据算术平方根的定义：非负数的算术平方根的平方等于它本身，可得
$a = x^2$
∴ $a + 1 = x^2 + 1$
又
∵ 任意实数的立方根只有1个，符号与被开方数一致
∴ $a+1$的立方根为$\sqrt[3]{x^2+1}$
故选C
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念，立方根的概念
【点评】
本题重点考查算术平方根和立方根的基础概念，解题时要注意区分两者的性质：算术平方根具有非负性，正数的平方根有两个，而任意数的立方根都仅有一个，不要混淆二者的符号规则。
【难度系数】
0.8
12. 已知实数$x$满足$\sqrt[3]{1 - x} - x + 1 = 0$，则$x$的值为
1
。答案
12. 1
解析
【分析】
解题时先观察方程结构，发现方程中含有立方根，首先通过移项将立方根单独放在等号的一侧，再利用立方根的性质：若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$，对等式两边同时立方去掉根号，将原方程转化为整式方程，再通过提公因式分解因式，结合偶次幂的非负性即可求出x的值，最后可以代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$\sqrt[3]{1 - x} = x - 1$
根据立方根的性质，等式两边同时立方，得：
$1 - x = (x - 1)^3$
将左侧的$1-x$变形为$-(x-1)$，移项到右侧可得：
$(x - 1)^3 + (x - 1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x - 1)[(x - 1)^2 + 1] = 0$
由于任意实数的平方都是非负数，因此$(x-1)^2≥0$，可得$(x-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，因此只有$x - 1 = 0$，解得$x=1$。
将$x=1$代入原方程验证：左边$=\sqrt[3]{1-1} -1 +1=0$，与右边相等，结果成立。
【答案】
1
【知识点】
立方根的性质，提公因式法因式分解，平方的非负性
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，解题核心是通过移项分离立方根，利用立方运算去根号将无理方程转化为整式方程，再结合非负性求解，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先观察方程结构，发现方程中含有立方根，首先通过移项将立方根单独放在等号的一侧，再利用立方根的性质：若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$，对等式两边同时立方去掉根号，将原方程转化为整式方程，再通过提公因式分解因式，结合偶次幂的非负性即可求出x的值，最后可以代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
首先对原方程移项，得：
$\sqrt[3]{1 - x} = x - 1$
根据立方根的性质，等式两边同时立方，得：
$1 - x = (x - 1)^3$
将左侧的$1-x$变形为$-(x-1)$，移项到右侧可得：
$(x - 1)^3 + (x - 1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，得：
$(x - 1)[(x - 1)^2 + 1] = 0$
由于任意实数的平方都是非负数，因此$(x-1)^2≥0$，可得$(x-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，因此只有$x - 1 = 0$，解得$x=1$。
将$x=1$代入原方程验证：左边$=\sqrt[3]{1-1} -1 +1=0$，与右边相等，结果成立。
【答案】
1
【知识点】
立方根的性质，提公因式法因式分解，平方的非负性
【点评】
本题是立方根应用的基础题型，解题核心是通过移项分离立方根，利用立方运算去根号将无理方程转化为整式方程，再结合非负性求解，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
