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1.要使$\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是 （
A.$x＜1$
B.$x≥1$
C.$x≤-1$
D.$x＜-1$
B
）A.$x＜1$
B.$x≥1$
C.$x≤-1$
D.$x＜-1$
答案
1.B
解析
【分析】
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：二次根式有意义的前提是被开方数（根号内的式子）必须是非负数，也就是大于等于0。因此我们只需要让根号下的x-1满足大于等于0，再解这个一元一次不等式，就能得到x的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
因此x的取值范围是$x≥1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，考查对二次根式性质的基础应用，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定使二次根式有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式的性质：二次根式有意义的前提是被开方数（根号内的式子）必须是非负数，也就是大于等于0。因此我们只需要让根号下的x-1满足大于等于0，再解这个一元一次不等式，就能得到x的取值范围，再对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$x-1≥0$
移项解得：$x≥1$
因此x的取值范围是$x≥1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，考查对二次根式性质的基础应用，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2.下列各组数中,能构成直角三角形的是 （
A.4,5,6
$B.1,1,\sqrt{2}$
C.6,8,11
D.5,12,2
B
）A.4,5,6
$B.1,1,\sqrt{2}$
C.6,8,11
D.5,12,2
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一组数能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每个选项中三个数的最大值，再计算两个较小数的平方和，将其与最大数的平方比较，若相等则可构成直角三角形，同时要先验证三个数能否构成普通三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三数中最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
B. 三数中最大数为$\sqrt{2}$，计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{2})^2=2$，两者相等，可构成直角三角形；
C. 三数中最大数为11，计算得$6^2+8^2=36+64=100$，$11^2=121$，$100≠121$，不能构成直角三角形；
D. 三数中最大数为12，$2+5=7＜12$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，更不能构成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定三个数中的最长边，再验证平方和的等量关系，同时不要忽略构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.8
要判断一组数能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形中两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先找出每个选项中三个数的最大值，再计算两个较小数的平方和，将其与最大数的平方比较，若相等则可构成直角三角形，同时要先验证三个数能否构成普通三角形。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三数中最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41$，$6^2=36$，$41≠36$，不能构成直角三角形；
B. 三数中最大数为$\sqrt{2}$，计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{2})^2=2$，两者相等，可构成直角三角形；
C. 三数中最大数为11，计算得$6^2+8^2=36+64=100$，$11^2=121$，$100≠121$，不能构成直角三角形；
D. 三数中最大数为12，$2+5=7＜12$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，更不能构成直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题关键是先确定三个数中的最长边，再验证平方和的等量关系，同时不要忽略构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.8
3.如图所示，点A,C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB＝500 m，BC＝400 m，则AC的长为（
A.300 m
B.400 m
C.500 m
D.600 m
A
）A.300 m
B.400 m
C.500 m
D.600 m
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边BC的长度，要求AC的长度，可直接运用勾股定理求解。勾股定理指直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们可以对勾股定理做变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开平方就能得到未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意得△ABC是直角三角形，∠C=90°，
根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$
变形得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
将$AB=500\mathrm{m}$，$BC=400\mathrm{m}$代入得：
$AC = \sqrt{500^2 - 400^2} = \sqrt{250000 - 160000} = \sqrt{90000} = 300(\mathrm{m})$
因此AC的长为300m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题关键是先明确三角形为直角三角形，再准确代入勾股公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边BC的长度，要求AC的长度，可直接运用勾股定理求解。勾股定理指直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此我们可以对勾股定理做变形，用斜边的平方减去已知直角边的平方，再开平方就能得到未知直角边的长度。
【解析】
解：由题意得△ABC是直角三角形，∠C=90°，
根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$
变形得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$
将$AB=500\mathrm{m}$，$BC=400\mathrm{m}$代入得：
$AC = \sqrt{500^2 - 400^2} = \sqrt{250000 - 160000} = \sqrt{90000} = 300(\mathrm{m})$
因此AC的长为300m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际测量场景中的基础应用，解题关键是先明确三角形为直角三角形，再准确代入勾股公式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
4.如图所示，在$□ ABCD$中，$CE⊥ AB$于点E，若$∠ A=126°$，则$∠ 1$的度数为 （
A.$36°$
B.$46°$
C.$54°$
D.$63°$
A
）A.$36°$
B.$46°$
C.$54°$
D.$63°$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出与∠1同处于直角三角形中的∠B的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠1的度数。第一步：回忆平行四边形性质，平行四边形对边平行，因此相邻内角互补，可求出∠B的度数；第二步：由CE垂直AB可知△CEB是直角三角形，两个锐角和为90°，代入∠B的度数即可求出∠1。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A=126°，
∴∠B=180°-126°=54°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，即△CEB为直角三角形，
∴∠1 + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠1=90°-54°=36°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行四边形和直角三角形的基础性质，解题的切入点是找到已知角和未知角之间的关联，只要熟练掌握相关图形的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形邻角互补的性质求出与∠1同处于直角三角形中的∠B的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出∠1的度数。第一步：回忆平行四边形性质，平行四边形对边平行，因此相邻内角互补，可求出∠B的度数；第二步：由CE垂直AB可知△CEB是直角三角形，两个锐角和为90°，代入∠B的度数即可求出∠1。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠A=126°，
∴∠B=180°-126°=54°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，即△CEB为直角三角形，
∴∠1 + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠1=90°-54°=36°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，核心考查平行四边形和直角三角形的基础性质，解题的切入点是找到已知角和未知角之间的关联，只要熟练掌握相关图形的性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
5.传统文化 图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则$∠1+∠2+∠3+∠4+∠5$的度数是 （
A.$180°$
B.$360°$
C.$450°$
D.$540°$
B
）A.$180°$
B.$360°$
C.$450°$
D.$540°$
答案
5.B
解析
【分析】
本题要求五个角的度数和，首先观察图形特征，可知∠1、∠2、∠3、∠4、∠5恰好是一个五边形的5个外角。此时回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和都为固定值360°，不需要额外计算，直接利用该性质即可得出结果。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°。
观察图形可得，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的五个外角，因此∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑文化背景出题，既体现了数学的实用性，也考查了基础性质的应用。解题的关键是准确识别所求角为多边形的外角，牢记多边形外角和恒为360°的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求五个角的度数和，首先观察图形特征，可知∠1、∠2、∠3、∠4、∠5恰好是一个五边形的5个外角。此时回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和都为固定值360°，不需要额外计算，直接利用该性质即可得出结果。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°。
观察图形可得，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是该五边形的五个外角，因此∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题结合传统建筑文化背景出题，既体现了数学的实用性，也考查了基础性质的应用。解题的关键是准确识别所求角为多边形的外角，牢记多边形外角和恒为360°的结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图所示，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论不一定成立的是（
A.$AB=CD$
B.$AD// BC$
C.$AB=BC$
D.$∠ ABC=∠ ADC$
C
）A.$AB=CD$
B.$AD// BC$
C.$AB=BC$
D.$∠ ABC=∠ ADC$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时首先结合两张纸片对边平行的已知条件，分析重合部分四边形的对边位置关系：因为两张纸片各自对边平行，交叉后重合四边形的两组对边分别平行，可判定该四边形为平行四边形；再结合平行四边形的性质，逐一核对四个选项，找出不满足平行四边形必然性质的选项即可。
【解析】
解：
∵两张对边平行的纸片交叉叠放，
∴重合部分的四边形ABCD中，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质可得：
对边相等，故$AB=CD$，A选项一定成立；
对边平行，故$AD// BC$，B选项一定成立；
对角相等，故$∠ ABC=∠ ADC$，D选项一定成立；
只有当平行四边形为菱形时，才有邻边相等$AB=BC$，题目未给出邻边相等的相关条件，故C选项不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是先根据对边平行的条件判定重合部分为平行四边形，再结合平行四边形的性质分析选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合两张纸片对边平行的已知条件，分析重合部分四边形的对边位置关系：因为两张纸片各自对边平行，交叉后重合四边形的两组对边分别平行，可判定该四边形为平行四边形；再结合平行四边形的性质，逐一核对四个选项，找出不满足平行四边形必然性质的选项即可。
【解析】
解：
∵两张对边平行的纸片交叉叠放，
∴重合部分的四边形ABCD中，$AB// CD$，$AD// BC$，
∴四边形ABCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质可得：
对边相等，故$AB=CD$，A选项一定成立；
对边平行，故$AD// BC$，B选项一定成立；
对角相等，故$∠ ABC=∠ ADC$，D选项一定成立；
只有当平行四边形为菱形时，才有邻边相等$AB=BC$，题目未给出邻边相等的相关条件，故C选项不一定成立。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是先根据对边平行的条件判定重合部分为平行四边形，再结合平行四边形的性质分析选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
7.新定义题 符号“*”表示一种新的运算，规定$a*b=\sqrt{a} · \sqrt{b}$，则$6*2$的值为
$2\sqrt{3}$
。答案
7.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解新运算“*”的规则：$a*b$等于$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$的乘积。接下来只需将对应数值代入新运算公式，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
根据新运算的规定$a*b=\sqrt{a} · \sqrt{b}$，将$a=6$，$b=2$代入公式可得：
$6*2=\sqrt{6}·\sqrt{2}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算：
$\sqrt{6}·\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}$
将$\sqrt{12}$化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘法、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新运算规则，只要熟练掌握二次根式的运算和化简方法就能顺利解答，易错点是二次根式化简不彻底。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解新运算“*”的规则：$a*b$等于$\sqrt{a}$与$\sqrt{b}$的乘积。接下来只需将对应数值代入新运算公式，再按照二次根式的乘法法则计算，最后将结果化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
根据新运算的规定$a*b=\sqrt{a} · \sqrt{b}$，将$a=6$，$b=2$代入公式可得：
$6*2=\sqrt{6}·\sqrt{2}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算：
$\sqrt{6}·\sqrt{2}=\sqrt{6×2}=\sqrt{12}$
将$\sqrt{12}$化为最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
新定义运算、二次根式乘法、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新运算规则，只要熟练掌握二次根式的运算和化简方法就能顺利解答，易错点是二次根式化简不彻底。
【难度系数】
0.8
8.开放性题 如图所示，在$□ ABCD$中，对角线AC与BD相交于点O.小乐欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①$AC⊥ BD$；②$AC=BD$；③$∠ ADC=90°$.则正确的组合是
①②或①③
（只需填一种组合即可）答案
8.①②或①③
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确正方形的判定规则：正方形是同时具备矩形和菱形特征的平行四边形，因此要让平行四边形ABCD成为正方形，添加的两个条件需要分别满足“使平行四边形成为菱形”“使平行四边形成为矩形”的要求。先分析三个条件的作用：①$AC⊥BD$可使平行四边形变为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；②$AC=BD$可使平行四边形变为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；③$∠ADC=90°$可使平行四边形变为矩形（有一个内角为直角的平行四边形是矩形），因此选择1个得到菱形的条件加1个得到矩形的条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形：
1. 若选组合①②：
由$AC⊥BD$，可得平行四边形ABCD是菱形；又由$AC=BD$，可得菱形ABCD是正方形，符合要求。
2. 若选组合①③：
由$AC⊥BD$，可得平行四边形ABCD是菱形；又由$∠ADC=90°$，可得菱形ABCD是正方形，符合要求。
注：组合②③只能推出平行四边形是矩形，无法得到正方形，不符合要求。
【答案】
①②（或①③）
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题的关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的转化关系，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确正方形的判定规则：正方形是同时具备矩形和菱形特征的平行四边形，因此要让平行四边形ABCD成为正方形，添加的两个条件需要分别满足“使平行四边形成为菱形”“使平行四边形成为矩形”的要求。先分析三个条件的作用：①$AC⊥BD$可使平行四边形变为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；②$AC=BD$可使平行四边形变为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；③$∠ADC=90°$可使平行四边形变为矩形（有一个内角为直角的平行四边形是矩形），因此选择1个得到菱形的条件加1个得到矩形的条件即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形：
1. 若选组合①②：
由$AC⊥BD$，可得平行四边形ABCD是菱形；又由$AC=BD$，可得菱形ABCD是正方形，符合要求。
2. 若选组合①③：
由$AC⊥BD$，可得平行四边形ABCD是菱形；又由$∠ADC=90°$，可得菱形ABCD是正方形，符合要求。
注：组合②③只能推出平行四边形是矩形，无法得到正方形，不符合要求。
【答案】
①②（或①③）
【知识点】
正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题属于开放性基础题，考查特殊平行四边形的判定逻辑，解题的关键是理清平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的转化关系，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7
