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9.如图所示，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了
2
cm.答案
9.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确橡皮筋原长为AB=8cm，要求拉长的长度，需要先求出拉升后橡皮筋的总长度AD+BD，再减去原长即可。已知C是AB中点，可得AC=BC=4cm，又DC⊥AB，因此△ACD和△BCD都是直角三角形，可利用勾股定理分别求出AD、BD的长度，进而计算长度差。
【解析】
解：
∵AB长为8cm，C是AB的中点
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4cm
∵DC⊥AB，DC=3cm
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
同理可得BD=5cm
∴拉升后橡皮筋总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义，直角三角形性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是结合图形找到直角三角形，利用勾股定理计算对应边长，再通过作差求出拉长的长度，对学生的读图能力和基础公式应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确橡皮筋原长为AB=8cm，要求拉长的长度，需要先求出拉升后橡皮筋的总长度AD+BD，再减去原长即可。已知C是AB中点，可得AC=BC=4cm，又DC⊥AB，因此△ACD和△BCD都是直角三角形，可利用勾股定理分别求出AD、BD的长度，进而计算长度差。
【解析】
解：
∵AB长为8cm，C是AB的中点
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4cm
∵DC⊥AB，DC=3cm
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
同理可得BD=5cm
∴拉升后橡皮筋总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理，线段中点的定义，直角三角形性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是结合图形找到直角三角形，利用勾股定理计算对应边长，再通过作差求出拉长的长度，对学生的读图能力和基础公式应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.8
10.如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAC，则OB的长为
8
。答案
10.8
解析
【分析】
解题时首先利用矩形对角线的性质，可得矩形对角线互相平分且相等，因此OA=OB；再结合AE垂直BD、AE平分∠BAC的条件，可通过角边角判定△ABE与△AOE全等，得到AB=AO，进而通过等量代换求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴OA=OB。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△ABE和△AOE中：
$\begin{cases}∠BAE=∠OAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEO\end{cases}$
∴△ABE≌△AOE（ASA），
∴AB=AO，
又
∵OA=OB，
∴OB=AB=8。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是矩形性质应用的典型基础题，解题的关键是结合角平分线、垂直的条件证明三角形全等，建立已知边和待求边的等量关系，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形对角线的性质，可得矩形对角线互相平分且相等，因此OA=OB；再结合AE垂直BD、AE平分∠BAC的条件，可通过角边角判定△ABE与△AOE全等，得到AB=AO，进而通过等量代换求出OB的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴OA=OB。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△ABE和△AOE中：
$\begin{cases}∠BAE=∠OAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AEO\end{cases}$
∴△ABE≌△AOE（ASA），
∴AB=AO，
又
∵OA=OB，
∴OB=AB=8。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是矩形性质应用的典型基础题，解题的关键是结合角平分线、垂直的条件证明三角形全等，建立已知边和待求边的等量关系，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11.在一个边长为$(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})\mathrm{cm}$的正方形木板的内部挖去一个长为$(3+\sqrt{5})\mathrm{cm}$、宽为$(3-\sqrt{5})\mathrm{cm}$的长方形，求剩余部分木板的面积。
答案
11.解:$(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^2-(3+\sqrt{5})×(3-\sqrt{5})$
$=(18+30\sqrt{6}+75)-(9-5)$
$=(89+30\sqrt{6})\mathrm{cm}^2.$
$=(18+30\sqrt{6}+75)-(9-5)$
$=(89+30\sqrt{6})\mathrm{cm}^2.$
解析
【分析】
要求剩余部分木板的面积，依据面积差的思路，剩余面积=原正方形面积-挖去的长方形面积。首先分别写出正方形面积（边长的平方）、长方形面积（长×宽）的表达式，观察表达式结构可分别用完全平方和公式、平方差公式简化计算，最后将两个计算结果作差即可得到答案。
【解析】
解：剩余部分木板的面积为正方形面积减去长方形面积，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^2-(3+\sqrt{5})×(3-\sqrt{5})\\=&[(3\sqrt{2})^2+2×3\sqrt{2}×5\sqrt{3}+(5\sqrt{3})^2]-(3^2-(\sqrt{5})^2)\\=&(18+30\sqrt{6}+75)-(9-5)\\=&93+30\sqrt{6}-4\\=&89+30\sqrt{6} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
剩余部分木板的面积为$(89+30\sqrt{6})\mathrm{cm}^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合实际面积计算场景，考查乘法公式在二次根式运算中的应用，合理运用公式可大幅简化计算过程，降低出错概率，需要熟练掌握常见乘法公式的结构特征，灵活运用到各类运算场景中。
【难度系数】
0.7
要求剩余部分木板的面积，依据面积差的思路，剩余面积=原正方形面积-挖去的长方形面积。首先分别写出正方形面积（边长的平方）、长方形面积（长×宽）的表达式，观察表达式结构可分别用完全平方和公式、平方差公式简化计算，最后将两个计算结果作差即可得到答案。
【解析】
解：剩余部分木板的面积为正方形面积减去长方形面积，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(3\sqrt{2}+5\sqrt{3})^2-(3+\sqrt{5})×(3-\sqrt{5})\\=&[(3\sqrt{2})^2+2×3\sqrt{2}×5\sqrt{3}+(5\sqrt{3})^2]-(3^2-(\sqrt{5})^2)\\=&(18+30\sqrt{6}+75)-(9-5)\\=&93+30\sqrt{6}-4\\=&89+30\sqrt{6} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
剩余部分木板的面积为$(89+30\sqrt{6})\mathrm{cm}^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合实际面积计算场景，考查乘法公式在二次根式运算中的应用，合理运用公式可大幅简化计算过程，降低出错概率，需要熟练掌握常见乘法公式的结构特征，灵活运用到各类运算场景中。
【难度系数】
0.7
12.如图所示,每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D均为格点.
(1)直接写出下列线段的长度:AB=
(2)连接BD,判断△ABD的形状,并证明你的结论.
(1)直接写出下列线段的长度:AB=
$5\sqrt{2}$
,AD=5
;(2)连接BD,判断△ABD的形状,并证明你的结论.
答案
12.解:(1)$5\sqrt{2}$ 5
(2)$△ ABD$是等腰直角三角形.理由如下:
根据勾股定理,得$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
由(1)知,$AB=5\sqrt{2}$,$AD=5$,
$\therefore AD=BD$,$AB^2=AD^2+BD^2$.
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形.
(2)$△ ABD$是等腰直角三角形.理由如下:
根据勾股定理,得$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
由(1)知,$AB=5\sqrt{2}$,$AD=5$,
$\therefore AD=BD$,$AB^2=AD^2+BD^2$.
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求格点中的线段长度时，可将线段看作直角三角形的斜边，使用勾股定理计算：先找到线段两个端点的水平距离、竖直距离作为两条直角边的长度，再代入勾股定理公式$a^2+b^2=c^2$计算斜边长度即可。
(2) 判断三角形形状，首先用勾股定理求出BD的长度，先对比三边长度看是否有两边相等，判断是否为等腰三角形；再通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足勾股关系，判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定△ABD的形状。
【解析】
(1) 已知每个小正方形的边长为1：
计算AB的长度：AB对应的两条直角边长度均为5，因此$AB=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$；
计算AD的长度：AD对应的两条直角边长度分别为3和4，因此$AD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) $△ ABD$是等腰直角三角形，证明如下：
根据勾股定理计算BD的长度：$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由(1)的结论可知$AB=5\sqrt{2}$，$AD=5$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
又$\because AB^2=(5\sqrt{2})^2=50$，$AD^2+BD^2=5^2+5^2=50$，
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADB=90°$，
因此$△ ABD$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $5\sqrt{2}$，$5$
(2) $△ ABD$是等腰直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于格点类基础几何题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，需要掌握格点中构造直角三角形求线段长的方法，对基础运算和定理应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
(1) 求格点中的线段长度时，可将线段看作直角三角形的斜边，使用勾股定理计算：先找到线段两个端点的水平距离、竖直距离作为两条直角边的长度，再代入勾股定理公式$a^2+b^2=c^2$计算斜边长度即可。
(2) 判断三角形形状，首先用勾股定理求出BD的长度，先对比三边长度看是否有两边相等，判断是否为等腰三角形；再通过勾股定理的逆定理验证三边是否满足勾股关系，判断是否为直角三角形，结合两个结论就能确定△ABD的形状。
【解析】
(1) 已知每个小正方形的边长为1：
计算AB的长度：AB对应的两条直角边长度均为5，因此$AB=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$；
计算AD的长度：AD对应的两条直角边长度分别为3和4，因此$AD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) $△ ABD$是等腰直角三角形，证明如下：
根据勾股定理计算BD的长度：$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
由(1)的结论可知$AB=5\sqrt{2}$，$AD=5$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$为等腰三角形，
又$\because AB^2=(5\sqrt{2})^2=50$，$AD^2+BD^2=5^2+5^2=50$，
$\therefore AB^2=AD^2+BD^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠ ADB=90°$，
因此$△ ABD$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $5\sqrt{2}$，$5$
(2) $△ ABD$是等腰直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于格点类基础几何题，核心考查勾股定理及其逆定理的应用，需要掌握格点中构造直角三角形求线段长的方法，对基础运算和定理应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.8
13.如图所示,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.求证:四边形EBFD是菱形.
答案
13.证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,O是对角线BD的中点,
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
解析
【分析】
要证明四边形EBFD是菱形，优先选择“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定方法推导：首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合BD中点的条件和对顶角相等，证明△BOF与△DOE全等，得到一组对边平行且相等，先判定四边形EBFD是平行四边形，再结合EF垂直BD的条件，即可判定该平行四边形为菱形。
【解析】
证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,O是对角线BD的中点,
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
【答案】
证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,O是对角线BD的中点,
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题型，综合考察了矩形的性质、全等三角形的证明以及菱形的判定定理，理清“先证平行四边形，再证菱形”的推导逻辑即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EBFD是菱形，优先选择“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定方法推导：首先利用矩形对边平行的性质得到内错角相等，结合BD中点的条件和对顶角相等，证明△BOF与△DOE全等，得到一组对边平行且相等，先判定四边形EBFD是平行四边形，再结合EF垂直BD的条件，即可判定该平行四边形为菱形。
【解析】
证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,O是对角线BD的中点,
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
【答案】
证明:$\because$ 四边形ABCD是矩形,O是对角线BD的中点,
$\therefore AD// BC$,$OB=OD$.
$\therefore ∠ FBO=∠ EDO$.
又$∠ BOF=∠ DOE$,
在$△ BOF$和$△ DOE$中,
$\begin{cases}∠ BOF=∠ DOE,\\OB=OD,\\∠ FBO=∠ EDO,\end{cases}$
$\therefore △ BOF≌△ DOE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore BF=DE.$
又$\because DE// BF$,
$\therefore$ 四边形EBFD是平行四边形.
$\because EF⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形EBFD是菱形.
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题型，综合考察了矩形的性质、全等三角形的证明以及菱形的判定定理，理清“先证平行四边形，再证菱形”的推导逻辑即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
