14.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点$A(a,0)$,$B(0,b)$,且满足$b=\sqrt{a-3}+\sqrt{3-a}+4$,$P$为$AB$上一动点(不与点$A$,$B$重合),$PE⊥ x$轴,$PF⊥ y$轴,垂足分别为$E$,$F$,连接$EF$,则$EF$的最小值为 ()

A.$\frac{12}{5}$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

第14题图 第15题图

14.A

【分析】
首先根据二次根式被开方数非负的性质，求出a、b的取值，确定A、B两点坐标，再利用勾股定理算出AB的长度。接着由垂直关系判断四边形OEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求EF最小值转化为求OP的最小值。最后根据垂线段最短的结论，用三角形面积法计算点O到AB的垂线段长度，即可得到EF的最小值。
【解析】
1. 求a、b的值：
要使$\sqrt{a-3}$和$\sqrt{3-a}$有意义，需满足$\begin{cases}a-3≥0 \\ 3-a≥0\end{cases}$，解得$a=3$，代入得$b=\sqrt{0}+\sqrt{0}+4=4$。
因此$A(3,0)$，$B(0,4)$，即$OA=3$，$OB=4$。
2. 计算AB的长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 转化EF与OP的关系：
因为$PE⊥ x$轴，$PF⊥ y$轴，且$∠ EOF=90°$，所以四边形OEPF是矩形，根据矩形对角线相等可得$EF=OP$。
4. 求OP的最小值：
根据垂线段最短，当$OP⊥ AB$时，OP长度最小，即为点O到直线AB的距离。
由$△ AOB$的面积相等可得：$\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}× AB× OP_{\mathrm{最小}}$
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OP_{\mathrm{最小}}$，解得$OP_{\mathrm{最小}}=\frac{12}{5}$，即EF的最小值为$\frac{12}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；矩形的性质；垂线段最短
【点评】
本题的核心是利用转化思想，将求EF的最小值转化为求点到直线的距离，巧妙结合矩形性质和面积法求解，能很好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

15.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”.依此规律，“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是.

15.2026

【分析】
解题思路如下：首先结合勾股定理的几何意义：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。我们先从初始状态、生长1次、生长2次的情况逐步计算面积和，找到面积和随生长次数变化的规律，再代入生长2025次的条件计算结果。
第一步：明确初始状态：生长0次时，只有1个面积为1的正方形，总面积为1；
第二步：分析第一次生长的面积变化：新增的两个正方形面积和等于原有正方形的面积1，因此生长1次后总面积为1+1=2；
第三步：推导普遍规律：每一次生长新增的所有正方形面积之和都等于初始正方形的面积1，因此生长n次后总面积为n+1；
第四步：代入n=2025计算即可得到结果。
【解析】
解：设初始正方形面积为$ S_0=1 $，即生长0次时，所有正方形面积和为1。
根据勾股定理可知：以直角三角形两条直角边为边长的两个正方形的面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
1. 生长1次后，新增的2个小正方形面积和等于初始正方形的面积1，此时总面积和$ =1+1=2 $；
2. 生长2次后，上一次新增的每个正方形各自生长出2个小正方形，每组新增小正方形的面积和等于对应上一级正方形的面积，因此新增总面积仍为1，此时总面积和$ =2+1=3 $；
以此类推，每生长1次，所有正方形的总面积就增加1。
因此生长$ n $次后，所有正方形的面积和为$ n+1 $。
当$ n=2025 $时，面积和$ =2025+1=2026 $。
【答案】
2026
【知识点】
勾股定理，规律归纳，正方形面积
【点评】
本题将勾股定理的几何意义与图形变化规律相结合，解题的核心是抓住每次生长新增的正方形面积之和等于初始正方形面积这一关键点，通过从简单情况入手推导规律，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

16.如图所示,在$△ ABC$中,点D是边BC的中点,点E是AD的中点,过点A作$AF// BC$,且交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形AFBD是平行四边形;
(2)若$AB=AC=13$,$BD=5$,求四边形AFBD的面积;
(3)若$AB=AC$,在$△ ABC$中再增加什么条件能使四边形AFBD是正方形?

16.(1)证明:$\because AF// BC$,
$\therefore ∠ AFE=∠ DCE$,$∠ FAE=∠ CDE$.
$\because$ 点E是AD的中点,
$\therefore AE=DE$.
$\therefore △ AFE≌△ DCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AF=CD.$
$\because$ 点D是边BC的中点,
$\therefore BD=CD.$
$\therefore AF=BD.$
$\because AF// BC$,
$\therefore$ 四边形AFBD是平行四边形.
(2)解:$\because AB=AC$,点D是BC的中点,
$\therefore AD⊥ BC$.
$\because$ 四边形AFBD是平行四边形,
$\therefore$ 四边形AFBD是矩形.
$\therefore AD=\sqrt{13^2-5^2}=12.$
$\therefore$ 四边形AFBD的面积为$12×5=60$.
(3)解:当$△ ABC$为等腰直角三角形,且$∠ BAC=90°$时,四边形AFBD是正方形.
理由如下:
$\because ∠ BAC=90°$,$△ ABC$是等腰直角三角形,
又$\because$ 点D为BC的中点,
$\therefore AD=BD=DC$,$∠ ADB=90°$.
又四边形AFBD为平行四边形,
$\therefore$ 四边形AFBD为正方形.

【分析】
(1) 要证四边形AFBD是平行四边形，已知$AF// BC$，只需证明$AF=BD$即可。首先利用平行线的性质得到两组内错角相等，结合E是AD中点的条件，用AAS证明$△ AFE≌△ DCE$，可得$AF=CD$，再结合D是BC中点得到$BD=CD$，等量代换得$AF=BD$，即可完成平行四边形的证明。
(2) 已知$AB=AC$，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质可得$AD⊥ BC$，因此平行四边形AFBD是矩形。再利用勾股定理求出AD的长度，代入矩形面积公式即可计算出面积。
(3) 要使平行四边形AFBD是正方形，在已证得它是矩形的前提下，只需满足邻边相等即$AD=BD$即可。结合等腰三角形的性质，当$∠ BAC=90°$时，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得$AD=BD$，满足正方形的判定条件。
【解析】
(1) 证明:$\because AF// BC$,
$\therefore ∠ AFE=∠ DCE$,$∠ FAE=∠ CDE$.
$\because$ 点E是AD的中点,
$\therefore AE=DE$.
$\therefore △ AFE≌△ DCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AF=CD.$
$\because$ 点D是边BC的中点,
$\therefore BD=CD.$
$\therefore AF=BD.$
$\because AF// BC$,
$\therefore$ 四边形AFBD是平行四边形.
(2) 解:$\because AB=AC$,点D是BC的中点,
$\therefore AD⊥ BC$.
$\because$ 四边形AFBD是平行四边形,
$\therefore$ 四边形AFBD是矩形.
$\therefore AD=\sqrt{13^2-5^2}=12.$
$\therefore$ 四边形AFBD的面积为$12×5=60$.
(3) 解:添加条件$∠ BAC=90°$（或$△ ABC$是等腰直角三角形且$∠ BAC=90°$），理由如下:
$\because ∠ BAC=90°$,$△ ABC$是等腰直角三角形,
又$\because$ 点D为BC的中点,
$\therefore AD=BD=DC$,$∠ ADB=90°$.
又四边形AFBD为平行四边形,
$\therefore$ 四边形AFBD为正方形.
【答案】
(1) 四边形AFBD是平行四边形，证明成立；
(2) $\boxed{60}$；
(3) $∠ BAC=90°$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
全等三角形判定与性质，平行四边形判定，正方形判定
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了三角形全等、等腰三角形性质、特殊平行四边形的判定与性质等考点，前两问侧重基础定理的直接应用，第三问为开放性设问，需要结合正方形判定条件逆向推导所需添加的前提，能很好地锻炼逻辑推理能力和几何思维。
【难度系数】
0.7