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17.【问题背景】
著名的赵爽弦图[如图(1)所示]，其中四个直角三角形较大的直角边长都为$a$，较小的直角边长都为$b$，斜边长都为$c$，大正方形的面积可以表示为$c^2$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab + (a - b)^2$，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则$a^2 + b^2 = c^2$。
【探索求证】
(1)古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图(2)所示，将$Rt△ ADE$与$Rt△ EBC$按如图所示位置放置，连接$CD$，其中$∠ A = ∠ B = ∠ DEC = 90°$，请你利用图(2)推导勾股定理。
【问题解决】
(2)如图(3)所示，在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$，河边原有两个取水点$A$，$B$，其中$AB = AC$，由于某种原因，由$C$到$A$的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点$H(A,H,B$在同一条直线上$$$)$，并新修一条路$CH$，且$CH ⊥ AB$。测得$CH = 2.4$km，$HB = 1.8$km，求新路$CH$比原路$CA$短多少千米。
【延伸扩展】
(3)在第(2)问中若$AB ≠ AC$，$CH ⊥ AB$，$AC = 5$km，$BC = 6$km，$AB = 7$km，设$AH = x$km，求$x$的值。
著名的赵爽弦图[如图(1)所示]，其中四个直角三角形较大的直角边长都为$a$，较小的直角边长都为$b$，斜边长都为$c$，大正方形的面积可以表示为$c^2$，也可以表示为$4×\frac{1}{2}ab + (a - b)^2$，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则$a^2 + b^2 = c^2$。
【探索求证】
(1)古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图(2)所示，将$Rt△ ADE$与$Rt△ EBC$按如图所示位置放置，连接$CD$，其中$∠ A = ∠ B = ∠ DEC = 90°$，请你利用图(2)推导勾股定理。
【问题解决】
(2)如图(3)所示，在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$，河边原有两个取水点$A$，$B$，其中$AB = AC$，由于某种原因，由$C$到$A$的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点$H(A,H,B$在同一条直线上$$$)$，并新修一条路$CH$，且$CH ⊥ AB$。测得$CH = 2.4$km，$HB = 1.8$km，求新路$CH$比原路$CA$短多少千米。
【延伸扩展】
(3)在第(2)问中若$AB ≠ AC$，$CH ⊥ AB$，$AC = 5$km，$BC = 6$km，$AB = 7$km，设$AH = x$km，求$x$的值。
答案
17.解:(1)$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,
即$a^2+b^2=c^2$.
(2)设$AC=AB=x\ \mathrm{km}$,则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,由勾股定理,得$x^2=2.4^2+(x-1.8)^2$,
解得$x=2.5$,即$CA=2.5\ \mathrm{km}$,
$\therefore CA-CH=0.1(\mathrm{km}).$
$\therefore$ 新路CH比原路CA短0.1 km.
(3)$\because AH=x\ \mathrm{km}$,则$BH=(7-x)\mathrm{km}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,由勾股定理,得$CH^2=CA^2-AH^2$,
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中,由勾股定理,得$CH^2=CB^2-BH^2$,$\therefore 5^2-x^2=6^2-(7-x)^2$,解得$x=\frac{19}{7}$.
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$,
$\therefore \frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$,
即$a^2+b^2=c^2$.
(2)设$AC=AB=x\ \mathrm{km}$,则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,由勾股定理,得$x^2=2.4^2+(x-1.8)^2$,
解得$x=2.5$,即$CA=2.5\ \mathrm{km}$,
$\therefore CA-CH=0.1(\mathrm{km}).$
$\therefore$ 新路CH比原路CA短0.1 km.
(3)$\because AH=x\ \mathrm{km}$,则$BH=(7-x)\mathrm{km}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,由勾股定理,得$CH^2=CA^2-AH^2$,
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中,由勾股定理,得$CH^2=CB^2-BH^2$,$\therefore 5^2-x^2=6^2-(7-x)^2$,解得$x=\frac{19}{7}$.
解析
【分析】
（1）采用面积法推导勾股定理：先分别用梯形面积公式和分割法计算梯形ABCD的面积，两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理。
（2）先设$AC=AB=x$km，可得$AH=(x-1.8)$km，在$Rt△ACH$中利用勾股定理列方程求解x，再计算$CA-CH$的差值即可。
（3）$AH=x$时$BH=(7-x)$km，CH是$Rt△ACH$和$Rt△BCH$的公共直角边，分别用勾股定理表示$CH^2$，联立得到方程求解x即可。
【解析】
(1) 计算梯形ABCD的面积：
根据梯形面积公式，$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$；
梯形面积也等于三个三角形面积之和：$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$。
联立得：$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$，
化简后得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 设$AC=AB=x\ \mathrm{km}$，则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得：
$x^2=2.4^2+(x-1.8)^2$，
展开计算得$x^2=5.76+x^2-3.6x+3.24$，
解得$x=2.5$，即$CA=2.5\ \mathrm{km}$，
则$CA-CH=2.5-2.4=0.1(\mathrm{km})$。
(3) 设$AH=x\ \mathrm{km}$，则$BH=(7-x)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$CH^2=5^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$CH^2=6^2-(7-x)^2$，
联立得$5^2-x^2=6^2-(7-x)^2$，
展开化简得$25-x^2=36-(49-14x+x^2)$，
解得$x=\frac{19}{7}$。
【答案】
(1) 推得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立；
(2) 新路CH比原路CA短0.1 km；
(3) $x$的值为$\frac{19}{7}$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题围绕勾股定理设置了分层问题，既考察了面积法推导定理的基础思路，也考察了利用勾股定理建立方程解决实际和几何问题的能力，注重知识的灵活运用，贴合核心考点。
【难度系数】
0.7
（1）采用面积法推导勾股定理：先分别用梯形面积公式和分割法计算梯形ABCD的面积，两个面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理。
（2）先设$AC=AB=x$km，可得$AH=(x-1.8)$km，在$Rt△ACH$中利用勾股定理列方程求解x，再计算$CA-CH$的差值即可。
（3）$AH=x$时$BH=(7-x)$km，CH是$Rt△ACH$和$Rt△BCH$的公共直角边，分别用勾股定理表示$CH^2$，联立得到方程求解x即可。
【解析】
(1) 计算梯形ABCD的面积：
根据梯形面积公式，$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$；
梯形面积也等于三个三角形面积之和：$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S_{△ ADE}+S_{△ CDE}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$。
联立得：$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2$，
化简后得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 设$AC=AB=x\ \mathrm{km}$，则$AH=(x-1.8)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，由勾股定理得：
$x^2=2.4^2+(x-1.8)^2$，
展开计算得$x^2=5.76+x^2-3.6x+3.24$，
解得$x=2.5$，即$CA=2.5\ \mathrm{km}$，
则$CA-CH=2.5-2.4=0.1(\mathrm{km})$。
(3) 设$AH=x\ \mathrm{km}$，则$BH=(7-x)\mathrm{km}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$CH^2=5^2-x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$CH^2=6^2-(7-x)^2$，
联立得$5^2-x^2=6^2-(7-x)^2$，
展开化简得$25-x^2=36-(49-14x+x^2)$，
解得$x=\frac{19}{7}$。
【答案】
(1) 推得$a^2+b^2=c^2$，勾股定理成立；
(2) 新路CH比原路CA短0.1 km；
(3) $x$的值为$\frac{19}{7}$。
【知识点】
勾股定理的证明，勾股定理的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题围绕勾股定理设置了分层问题，既考察了面积法推导定理的基础思路，也考察了利用勾股定理建立方程解决实际和几何问题的能力，注重知识的灵活运用，贴合核心考点。
【难度系数】
0.7
