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1.若平面内两条直线 $ l_1, l_2 $ 被第三条直线 $ l_3 $ 所截，则这三条直线把平面分成()部分。
A.5或6
B.6
C.6或7
D.7或8
A.5或6
B.6
C.6或7
D.7或8
答案
C
解析
分情况讨论：1. 若$l_1 // l_2$，此时三条直线将平面分为6部分；2. 若$l_1$与$l_2$相交，且交点在$l_3$上，三条直线共点，将平面分为6部分；3. 若$l_1$与$l_2$相交，且交点不在$l_3$上，三条直线两两相交得到3个不同交点，将平面分为7部分。因此这三条直线把平面分成6或7部分。
2. 如图，$AC⊥ BC$，垂足为$C$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，$P$是线段$AB$上一点，连接$PC$，则$PC$的长不可能是（）
A.4
B.5
C.6
D.7
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
A
解析
在Rt△ABC中，AC⊥BC，先由直角三角形面积公式得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×6×8=24$。根据垂线段最短的性质，当$CP⊥ AB$时，PC的长度取得最小值，此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× PC$，代入数值解得最小的$PC=4.8$。又因为P是线段AB上的点，PC的最大值为8（P与点B重合时取得），因此PC的取值范围是$4.8≤ PC≤8$。选项中4小于4.8，所以PC的长不可能是4。
3. 如图，$AB// DE$，$BC⊥ CD$. 设$∠ ABF=α$，$∠ CDE=β$，则$α$与$β$之间的数量关系是（）
A.$α - β=90°$
B.$α + β=90°$
C.$α + β=180°$
D.$α,β$之间没有数量关系
A.$α - β=90°$
B.$α + β=90°$
C.$α + β=180°$
D.$α,β$之间没有数量关系
答案
A
解析
过点C作CG//AB，
因为AB//DE，所以AB//CG//DE。
由平行线性质：
1. 两直线平行，同旁内角互补，得$α + ∠ BCG = 180°$，即$∠ BCG = 180° - α$；
2. 两直线平行，内错角相等，得$∠ GCD = β$。
已知$BC⊥ CD$，所以$∠ BCD=90°$，即$∠ BCG + ∠ GCD = 90°$。
将$∠ BCG$、$∠ GCD$代入得：$180° - α + β = 90°$，整理得$α - β = 90°$。
因为AB//DE，所以AB//CG//DE。
由平行线性质：
1. 两直线平行，同旁内角互补，得$α + ∠ BCG = 180°$，即$∠ BCG = 180° - α$；
2. 两直线平行，内错角相等，得$∠ GCD = β$。
已知$BC⊥ CD$，所以$∠ BCD=90°$，即$∠ BCG + ∠ GCD = 90°$。
将$∠ BCG$、$∠ GCD$代入得：$180° - α + β = 90°$，整理得$α - β = 90°$。
4.某公园里一处观景台(长方形ABCD)如图所示,为方便游人观赏风景,特意修建了一条小路(图中非阴影部分).如果AB=60 m,BC=26 m,设小路的宽均为1 m,那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线(图中虚线)长为 m.
答案
110
解析
利用平移的性质求解：
1. 将所有平行于AB的水平方向的线段向AB边平移，可得所有水平路段的总长度等于AB的长度，即60 m。
2. 将所有平行于BC的竖直方向的线段向AD边平移，结合小路宽为1 m，可得所有竖直路段的总长度为2×(BC - 1) = 2×(26 - 1) = 50 m。
3. 将水平路段总长度和竖直路段总长度相加，即可得到从入口A到出口B所走的路线总长。
1. 将所有平行于AB的水平方向的线段向AB边平移，可得所有水平路段的总长度等于AB的长度，即60 m。
2. 将所有平行于BC的竖直方向的线段向AD边平移，结合小路宽为1 m，可得所有竖直路段的总长度为2×(BC - 1) = 2×(26 - 1) = 50 m。
3. 将水平路段总长度和竖直路段总长度相加，即可得到从入口A到出口B所走的路线总长。
5. 如图，$AE$ 平分$∠ BAC$，$∠ CAE=∠ CEA$.
(1)如图①，求证 $AB// CD$.
(2)如图②，$F$ 为线段 $AC$ 上一点，连接 $EF$，求证：$∠ AFE=∠ C+∠ CEF$.
(3)如图③，在(2)的条件下，在射线 $AB$ 上取点 $G$，连接 $EG$，使得$∠ GEF=∠ C$.当$∠ AEF=35°$，$∠ GED=2∠ GEF$时，求$∠ C$.
(1)如图①，求证 $AB// CD$.
(2)如图②，$F$ 为线段 $AC$ 上一点，连接 $EF$，求证：$∠ AFE=∠ C+∠ CEF$.
(3)如图③，在(2)的条件下，在射线 $AB$ 上取点 $G$，连接 $EG$，使得$∠ GEF=∠ C$.当$∠ AEF=35°$，$∠ GED=2∠ GEF$时，求$∠ C$.
答案
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) $\boldsymbol{∠C=50°}$
解析
(1) 证明：
∵ AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠CAE（角平分线的定义），
又∵ ∠CAE = ∠CEA（已知），
∴ ∠BAE = ∠CEA（等量代换），
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 证明：
在△CEF中，由三角形内角和定理得：
∠C + ∠CEF + ∠CFE = 180°，
又∵ ∠AFE + ∠CFE = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AFE = ∠C + ∠CEF（同角的补角相等）。
(3) 解：设∠C = x，
由题意得：∠GEF = ∠C = x，∠GED = 2∠GEF = 2x，
∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠BAE = ∠CAE，
又∵ ∠CAE = ∠CEA，∴ ∠BAE = ∠CAE = ∠CEA，
在△ACE中，由三角形内角和定理得：∠C + ∠CAE + ∠CEA = 180°，即 x + 2∠CEA = 180°，
∴ ∠CEA = $\frac{180° - x}{2}$。
∵ ∠CEA = ∠AEF + ∠CEF，∠AEF = 35°，
∴ ∠CEF = ∠CEA - 35° = $\frac{180° - x}{2} - 35°$。
∵ 点E在直线CD上，∠CED为平角等于180°，即∠CEF + ∠AEF + ∠AEG + ∠GED = 180°，
又∵ ∠GEF = ∠AEF + ∠AEG = x，∴ ∠AEG = x - 35°，
代入平角等式：
$(\frac{180° - x}{2} - 35°) + 35° + (x - 35°) + 2x = 180°$，
化简得：$\frac{180° - x}{2} + 3x - 35° = 180°$，
两边同乘2：$180° - x + 6x - 70° = 360°$，
整理得：$5x = 250°$，解得$x = 50°$，即∠C = 50°。
∵ AE 平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠CAE（角平分线的定义），
又∵ ∠CAE = ∠CEA（已知），
∴ ∠BAE = ∠CEA（等量代换），
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
(2) 证明：
在△CEF中，由三角形内角和定理得：
∠C + ∠CEF + ∠CFE = 180°，
又∵ ∠AFE + ∠CFE = 180°（邻补角的定义），
∴ ∠AFE = ∠C + ∠CEF（同角的补角相等）。
(3) 解：设∠C = x，
由题意得：∠GEF = ∠C = x，∠GED = 2∠GEF = 2x，
∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠BAE = ∠CAE，
又∵ ∠CAE = ∠CEA，∴ ∠BAE = ∠CAE = ∠CEA，
在△ACE中，由三角形内角和定理得：∠C + ∠CAE + ∠CEA = 180°，即 x + 2∠CEA = 180°，
∴ ∠CEA = $\frac{180° - x}{2}$。
∵ ∠CEA = ∠AEF + ∠CEF，∠AEF = 35°，
∴ ∠CEF = ∠CEA - 35° = $\frac{180° - x}{2} - 35°$。
∵ 点E在直线CD上，∠CED为平角等于180°，即∠CEF + ∠AEF + ∠AEG + ∠GED = 180°，
又∵ ∠GEF = ∠AEF + ∠AEG = x，∴ ∠AEG = x - 35°，
代入平角等式：
$(\frac{180° - x}{2} - 35°) + 35° + (x - 35°) + 2x = 180°$，
化简得：$\frac{180° - x}{2} + 3x - 35° = 180°$，
两边同乘2：$180° - x + 6x - 70° = 360°$，
整理得：$5x = 250°$，解得$x = 50°$，即∠C = 50°。
