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10. 如图2-9,菱形ABCD的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$,正方形AECF的面积为$50\ \mathrm{cm}^2$,则菱形的边长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
10. 13
11. 如图2-10,在$□ ABCD$中,点$D$是定点,点$A$,$C$是直线$l_1$和$l_2$上两动点,$l_1// l_2$,且点$D$到直线$l_1$和$l_2$的距离分别是1和4,则对角线$BD$长度的最小值________.
答案
11. 5
三、解答题
1. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,BC$上,且$AE=CF$,$EF,BD$相交于点$O$.
求证:$OE=OF$.
1. 如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD,BC$上,且$AE=CF$,$EF,BD$相交于点$O$.
求证:$OE=OF$.
答案
$OE=OF$，证明成立。
解析
要证明$OE=OF$，可利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定推导：
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，且$AD=BC$，根据平行线的性质得$∠ EDO=∠ FBO$，$∠ DEO=∠ BFO$。
2. 已知$AE=CF$，则$AD - AE = BC - CF$，即$DE=BF$。
3. 在$△ DOE$和$△ BOF$中，$\begin{cases}∠ EDO=∠ FBO \\ DE=BF \\ ∠ DEO=∠ BFO \end{cases}$，所以$△ DOE≌△ BOF$（ASA），故$OE=OF$。
1. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，且$AD=BC$，根据平行线的性质得$∠ EDO=∠ FBO$，$∠ DEO=∠ BFO$。
2. 已知$AE=CF$，则$AD - AE = BC - CF$，即$DE=BF$。
3. 在$△ DOE$和$△ BOF$中，$\begin{cases}∠ EDO=∠ FBO \\ DE=BF \\ ∠ DEO=∠ BFO \end{cases}$，所以$△ DOE≌△ BOF$（ASA），故$OE=OF$。
2. 如图,在四边形ABCD中,点E,F是对角线BD上的两点,且$BE=DF$.若四边形AECF是平行四边形,求证:四边形ABCD是平行四边形.
答案
四边形ABCD是平行四边形。
解析
连接AC，交BD于点O。
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF（平行四边形的对角线互相平分）。
又∵BE=DF，
∴BE + OE = DF + OF，即OB=OD。
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF（平行四边形的对角线互相平分）。
又∵BE=DF，
∴BE + OE = DF + OF，即OB=OD。
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
3. 证明:三角形中位线定理.
已知:如图,DE 是$△ ABC$的中位线.
求证:.
证明:
已知:如图,DE 是$△ ABC$的中位线.
求证:.
证明:
答案
DE//BC，且DE=½BC
解析
要证明三角形中位线定理，已知DE是△ABC的中位线，故D为AB中点，E为AC中点。证明如下：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF。在△ADE和△CFE中，AE=CE（E是AC中点），∠AED=∠CEF（对顶角相等），DE=FE，所以△ADE≌△CFE（SAS）。因此AD=CF，∠A=∠ECF，故AB//CF（内错角相等，两直线平行）。又因为D是AB中点，所以AD=DB，所以DB=CF，且DB//CF，因此四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。所以DF//BC，DF=BC，又因为DF=DE+EF=2DE，所以DE//BC，且DE=½BC。
