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8. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$，$CD$相交于点$O$，$∠ 1 = ∠ 2$，$AB = AC$，图中全等的三角形共有
4
对.答案
8.4
9. (2024·连云港期末)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD$,$CE$是高.
求证:(1)$△ ABD≌△ ACE$;
(2)$BE=CD$.
求证:(1)$△ ABD≌△ ACE$;
(2)$BE=CD$.
答案
9.证明:(1)
∵BD,CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°.
又
∵∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,
∴AB-AE=AC-AD,
∴BE=CD.
∵BD,CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°.
又
∵∠A=∠A,AB=AC,
∴△ABD≌△ACE(AAS).
(2)
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE,
∴AB-AE=AC-AD,
∴BE=CD.
10. (2024·盐城)已知:如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上,$AE// BF$,$AE=BF$.若
①(或③)
,则$AB=CD$. 若给出以下三种条件:①$CE// DF$;②$CE=DF$;③$∠ E=∠ F$,请从这三个选项中选择一个作为条件(写序号),使结论成立,并说明理由.答案
10.解:选①,理由如下:
∵AE//BF,CE//DF,
∴∠A=∠FBD,∠ACE=∠D.
又
∵AE=BF,
∴△ACE≌△BDF(AAS),
∴AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.
选③,理由如下:
∵AE//BF,
∴∠A=∠FBD.
又
∵AE=BF,∠E=∠F,
∴△ACE≌△BDF(ASA),
∴AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.
∵AE//BF,CE//DF,
∴∠A=∠FBD,∠ACE=∠D.
又
∵AE=BF,
∴△ACE≌△BDF(AAS),
∴AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.
选③,理由如下:
∵AE//BF,
∴∠A=∠FBD.
又
∵AE=BF,∠E=∠F,
∴△ACE≌△BDF(ASA),
∴AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD.
11. 操作探究 (2024·清江浦区期末) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10$.
(1) 尺规作图: ①在 $AC$ 上确定一点 $D$, 使点 $D$ 到 $CB, AB$ 的距离相等; ②过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$. (要求保留作图痕迹, 不写作法)
(2) 在(1)的条件下, 求 $△ ADE$ 的周长.
(1) 尺规作图: ①在 $AC$ 上确定一点 $D$, 使点 $D$ 到 $CB, AB$ 的距离相等; ②过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$. (要求保留作图痕迹, 不写作法)
(2) 在(1)的条件下, 求 $△ ADE$ 的周长.
答案
11.解:(1)①②如答图所示.
(2)由(1)知CD=DE,BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD.
又
∵∠C=90°=∠BED,
∴△BCD≌△BED(AAS),
∴BC=BE,
∴EA=BA-BE=BA-CB=2,
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=6+2=8.
