1. 现有甲、乙两个不透明的布袋,各装有3个小球,甲袋中的小球上分别标有数-1,2,5,乙袋中的小球上分别标有数3,-5,-7,这些小球除标记的数不同外其他均相同.小明从甲袋中随机摸出一个小球,记下数为$m$,小惠从乙袋中随机摸出一个小球,记下数为$n$.
(1)小惠从乙袋中随机摸出的小球上的数是负数的概率为;
(2)已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+mx+n=0$,补全如图所示的树状图,并求方程$2x^{2}+mx+$$n=0$有实数根的概率.

1.(1)$\dfrac{2}{3}$ 解析:共有3个小球,标有负数的小球有2个,则概率为$\dfrac{2}{3}$.
(2)树状图见:
共有9种等可能的情况,其中方程$2x^{2}+mx+n=0$有实数根的情况有7种,
∴ 方程$2x^{2}+mx+n=0$有实数根的概率为$\dfrac{7}{9}$.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问考查简单事件的概率，只需确定乙袋中负数的个数，利用概率公式计算即可；第(2)问结合一元二次方程根的判别式与概率，需先明确方程有实根的条件（判别式Δ≥0），再列举所有(m,n)的组合，逐个计算判别式的值，统计满足条件的情况数，最后用概率公式求解，同时补全树状图对应判别式的结果。
【解析】
(1) 乙袋共有3个小球，其中标有负数的小球为-5、-7，共2个，根据概率公式，所求概率为：$\frac{2}{3}$；
(2) 对于一元二次方程$2x^2 + mx + n = 0$，其有实数根的条件是判别式$\Delta = m^2 - 4 × 2 × n = m^2 - 8n ≥ 0$。
小明从甲袋摸出的数$m$有-1、2、5三种情况，小惠从乙袋摸出的数$n$有3、-5、-7三种情况，总共有$3 × 3 = 9$种等可能的结果：
① 当$m=-1$时：
$n=3$时，$\Delta = (-1)^2 -8 × 3 = -23 ＜0$；
$n=-5$时，$\Delta = (-1)^2 -8 × (-5) = 41 ≥0$；
$n=-7$时，$\Delta = (-1)^2 -8 × (-7) =57 ≥0$；
② 当$m=2$时：
$n=3$时，$\Delta = 2^2 -8 ×3 = -20 ＜0$；
$n=-5$时，$\Delta = 2^2 -8 × (-5)=44 ≥0$；
$n=-7$时，$\Delta = 2^2 -8 × (-7)=60 ≥0$；
③ 当$m=5$时：
$n=3$时，$\Delta =5^2 -8 ×3=1 ≥0$；
$n=-5$时，$\Delta =5^2 -8 × (-5)=65 ≥0$；
$n=-7$时，$\Delta =5^2 -8 × (-7)=81 ≥0$；
综上，满足方程有实数根的情况共有7种，因此概率为$\frac{7}{9}$。
树状图补全后为：小明摸出m：-1、2、5；对应小惠摸n：3、-5、-7；对应判别式结果分别为：＜0、＞0、＞0；＜0、＞0、＞0；＞0、＞0、＞0。
【答案】
(1)$\dfrac{2}{3}$；(2)树状图见，概率为$\dfrac{7}{9}$
【知识点】
概率计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将概率与一元二次方程知识点结合，既考查简单事件概率计算，又考查根的判别式的应用，需准确列举等可能情况并正确计算判别式，综合性适中。
【难度系数】
0.5

2. 商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种：
方案一:购物每满 200 元减 66 元；
方案二:顾客购物达到 200 元可抽奖一次.具体规则是在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有 2 张写着数字 1,2 张写着数字5.顾客随机从箱子内抽出 2 张卡片,2 张卡片上的数字和记为 $w,w$ 的值和享受的优惠如表所示.

(1)若按方案二的抽奖方式,利用画树状图(或列表法)求一次抽奖获得 7 折优惠的概率；
(2)若某顾客的购物金额为 $a$ 元 $(200＜a＜300)$,请用所学统计与概率的知识,求出选择方案二更优惠时 $a$ 的取值范围.

2.(1)列表如下:
| | 1 | 1 | 5 | 5 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | \ | $(1,1)$ | $(1,5)$ | $(1,5)$ |
| 1 | $(1,1)$ | \ | $(1,5)$ | $(1,5)$ |
| 5 | $(5,1)$ | $(5,1)$ | \ | $(5,5)$ |
| 5 | $(5,1)$ | $(5,1)$ | $(5,5)$ | \ |
由上表可知共有12种结果,并且它们发生的可能性相等,其中和为6的有8种,
∴ 按方案二的抽奖方式,一次抽奖获得7折优惠的概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.
(2)依题意知$200＜a＜300$,所以该顾客可按方案二抽奖一次.
选择方案二时,由(1)可知,该顾客获得8折优惠的概率为$\dfrac{1}{6}$,获得7折优惠的概率为$\dfrac{2}{3}$,获得6折优惠的概率为$\dfrac{1}{6}$,
∴ 方案二的平均打折数为$8×\dfrac{1}{6}+7×\dfrac{2}{3}+6×\dfrac{1}{6}=7$,该顾客需要支付$0.7a$元.
选择方案一时,该顾客需要支付$(a-66)$元.
∴ 依题意可得$a-66＞0.7a$,解得$a＞220$,
∴ 当$220＜a＜300$时,该顾客选择方案二更优惠.

【分析】
第(1)问，要计算一次抽奖获得7折优惠的概率，需通过列表法列出抽取2张卡片的所有等可能结果，再找出对应和为6（7折）的结果数，根据概率公式计算；第(2)问，先利用概率求出方案二的平均付款金额，再分别写出两个方案的付款表达式，通过列不等式求解选择方案二更优惠时a的取值范围。
【解析】
(1) 列表如下：
| | 1 | 1 | 5 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | \ | (1,1) | (1,5) | (1,5) |
| 1 | (1,1) | \ | (1,5) | (1,5) |
| 5 | (5,1) | (5,1) | \ | (5,5) |
| 5 | (5,1) | (5,1) | (5,5) | \ |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中和为6（对应7折优惠）的结果有8种，因此一次抽奖获得7折优惠的概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$。
(2) 已知$200＜a＜300$，方案二的各优惠概率：获得8折（和为2）的概率为$\dfrac{1}{6}$，获得7折（和为6）的概率为$\dfrac{2}{3}$，获得6折（和为10）的概率为$\dfrac{1}{6}$，则方案二的平均付款为$0.8a×\dfrac{1}{6} + 0.7a×\dfrac{2}{3} + 0.6a×\dfrac{1}{6}=0.7a$；方案一的付款为$(a-66)$元。要使方案二更优惠，需满足$0.7a ＜ a - 66$，解得$a＞220$，结合$200＜a＜300$，得$220＜a＜300$。
【答案】
(1) $\dfrac{2}{3}$；(2) $220＜a＜300$
【知识点】概率计算、一元一次不等式应用
【点评】本题是概率与不等式结合的实际应用题，需要学生掌握概率计算方法，能通过平均折扣计算方案二的付款，再通过不等式求解取值范围，考查逻辑分析与运算能力。
【难度系数】0.6

3. (2026·无锡校级月考)三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2,-1,3后放入一个不透明的口袋中搅匀,任意摸出一个小球,记下数字$a$后,放回口袋中搅匀,再任意摸出一个小球,又记下数字$b$.这样就得到一个点的坐标$(a,b)$.
(1)求这个点$(a,b)$恰好在函数$y=-x+1$的图象上的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程,并求出结果)
(2)如果再往口袋中增加$n(n ≥ 1)$个标上数字2的小球,按照同样的操作过程,所得到的点$(a,b)$恰好在函数$y=-x+1$的图象上的概率是.(请用含$n$的代数式直接写出结果)

3.(1)根据题意得到树状图见
∴ 共有9种等可能的结果,其中符合要求的结果有2种,
∴ 点$(a,b)$恰好在函数$y=-x+1$的图象上的概率是$\dfrac{2}{9}$.
(2)$\dfrac{2(n+1)}{(n+3)^2}$ 解析:
∵ 再往口袋中增加$n(n≥1)$个标上数字2的小球,共有$(n+3)^2$种等可能的结果,其中符合要求的结果有$2(n+1)$种,
∴ 点$(a,b)$恰好在函数$y=-x+1$的图象上的概率是$\dfrac{2(n+1)}{(n+3)^2}$.

【分析】
第(1)问是有放回的两次摸球，利用树状图可清晰列出所有等可能的点坐标，共9种；根据一次函数$y=-x+1$的性质，点在其图象上需满足$b=-a+1$，据此找出符合条件的点，用符合条件的数量除以总数量得到概率。第(2)问增加$n$个标2的小球后，总球数变为$n+3$，有放回摸两次的总情况数为总球数的平方，再结合函数条件找出符合的点的数量，进而用含$n$的代数式表示概率。
【解析】
(1) 根据题意画树状图（如图所示），共有9种等可能的结果，分别为：$(2,2)$、$(2,-1)$、$(2,3)$、$(-1,2)$、$(-1,-1)$、$(-1,3)$、$(3,2)$、$(3,-1)$、$(3,3)$。
函数$y=-x+1$的图象上的点$(a,b)$满足$b=-a+1$，上述结果中符合条件的有$(2,-1)$和$(-1,2)$，共2种。
因此，所求概率为$\dfrac{2}{9}$。
(2) 增加$n$个标有数字2的小球后，口袋中共有$(n+3)$个小球，有放回地摸两次，总共有$(n+3)^2$种等可能的结果。
满足$b=-a+1$的情况：当$a=2$时，$b=-1$，此时$a=2$的小球有$(n+1)$个，对应情况有$(n+1)×1$种；当$a=-1$时，$b=2$，此时$a=-1$的小球有1个，对应情况有$1×(n+1)$种，共$2(n+1)$种符合条件的结果。
因此，所求概率为$\dfrac{2(n+1)}{(n+3)^2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2}{9}$；(2) $\dfrac{2(n+1)}{(n+3)^2}$
【知识点】
概率计算、一次函数图象上点的特征、树状图法求概率
【点评】
本题结合一次函数考查概率计算，核心是通过树状图确定所有等可能结果，再结合函数性质筛选符合条件的结果，第(2)问需注意小球数量变化对结果数的影响，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5