登录
7.(呼和浩特中考)公司以3元/kg的成本价购进10 000 kg柑橘,并希望出售这些柑橘能够获得12 000元利润,在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时,需要先进行“柑橘损坏率”统计,再大约确定每千克柑橘的售价,如表是销售部通过随机取样,得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分,由此可估计柑橘完好的概率为
0.9
(精确到0.1);从而可大约估计每千克柑橘的实际售价为4.7
元时(精确到0.1),可获得12 000元利润.答案
解析:从表格中可以看出,柑橘损坏的频率在常数 0.1 附近摆动,并且随统计量的增加这种规律逐渐明显,
∴估计柑橘完好的概率为 1-0.1=0.9.设每千克柑橘的实际售价为 x 元,则应有 10 000×0.9x-3×10 000=12 000,解得$x=\frac{14}{3}≈4.7$,
∴去掉损坏的柑橘后,公司为了获得 12 000 元利润,每千克柑橘的实际售价约为 4.7 元.
∴估计柑橘完好的概率为 1-0.1=0.9.设每千克柑橘的实际售价为 x 元,则应有 10 000×0.9x-3×10 000=12 000,解得$x=\frac{14}{3}≈4.7$,
∴去掉损坏的柑橘后,公司为了获得 12 000 元利润,每千克柑橘的实际售价约为 4.7 元.
解析
【分析】首先观察表格中柑橘损坏的频率，当统计样本量增大时，损坏频率逐渐稳定在0.1附近，根据频率估计概率的原理，可估计柑橘损坏的概率，进而得到完好的概率；再结合利润的等量关系，总成本加利润等于总售价，总售价等于完好柑橘质量乘以售价，据此列方程求解每千克柑橘的实际售价。
【解析】1. 估计柑橘完好的概率：从表格数据可知，柑橘损坏的频率在0.1附近波动，且样本量越大，频率越接近0.1，因此估计柑橘损坏的概率为0.1，所以完好的概率为 $1 - 0.1 = 0.9$（精确到0.1）。
2. 计算每千克柑橘的实际售价：设每千克柑橘的实际售价为$x$元。
总成本为 $3 × 10000 = 30000$ 元，要获得12000元利润，则总售价需为 $30000 + 12000 = 42000$ 元。
完好柑橘的质量为 $10000 × 0.9 = 9000\ \mathrm{kg}$，根据总售价的等量关系列方程：
$9000x = 42000$，解得 $x = \frac{42000}{9000} \approx 4.7$（精确到0.1）。
【答案】0.9；4.7
【知识点】用频率估计概率、一元一次方程的应用
【点评】本题结合实际销售问题，考查了用频率估计概率的方法和一元一次方程的应用，核心是利用频率的稳定性估计损坏率，再通过利润关系建立方程求解，需注意计算时的精度要求。
【难度系数】0.5
【解析】1. 估计柑橘完好的概率：从表格数据可知，柑橘损坏的频率在0.1附近波动，且样本量越大，频率越接近0.1，因此估计柑橘损坏的概率为0.1，所以完好的概率为 $1 - 0.1 = 0.9$（精确到0.1）。
2. 计算每千克柑橘的实际售价：设每千克柑橘的实际售价为$x$元。
总成本为 $3 × 10000 = 30000$ 元，要获得12000元利润，则总售价需为 $30000 + 12000 = 42000$ 元。
完好柑橘的质量为 $10000 × 0.9 = 9000\ \mathrm{kg}$，根据总售价的等量关系列方程：
$9000x = 42000$，解得 $x = \frac{42000}{9000} \approx 4.7$（精确到0.1）。
【答案】0.9；4.7
【知识点】用频率估计概率、一元一次方程的应用
【点评】本题结合实际销售问题，考查了用频率估计概率的方法和一元一次方程的应用，核心是利用频率的稳定性估计损坏率，再通过利润关系建立方程求解，需注意计算时的精度要求。
【难度系数】0.5
8. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定:顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一个区域就获得相应的奖品(指针指向两个扇形的交线时,当作指向指针右边的扇形).下表是活动进行中的一组统计数据.
(1)转动该转盘一次,获得一支铅笔的概率约为
(2)铅笔每支0.5元,饮料每瓶3元,经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动,请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用;
(3)在(2)的条件下,该商场想把每天支出的奖品费用控制在3 000元,则转盘上"一瓶饮料"区域的圆心角应调整为
(1)转动该转盘一次,获得一支铅笔的概率约为
0.7
(精确到0.1);(2)铅笔每支0.5元,饮料每瓶3元,经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动,请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用;
(3)在(2)的条件下,该商场想把每天支出的奖品费用控制在3 000元,则转盘上"一瓶饮料"区域的圆心角应调整为
36
度.答案
(1)解析:由题表可得随着转动转盘次数的增加,落在“一支铅笔”的频率稳定在 0.7 附近,由频率估计概率可得转动该转盘一次,获得一支铅笔的概率约为 0.7.
(2)4 000×0.7×0.5+4 000×(1-0.7)×3=5 000(元),故该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5 000 元.
(3)解析:设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 n 度,则$4\ 000×\frac{n}{360}×3+4\ 000×(1-\frac{n}{360})×0.5=3\ 000$,解得 n=36,
∴转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 36 度.
(2)4 000×0.7×0.5+4 000×(1-0.7)×3=5 000(元),故该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5 000 元.
(3)解析:设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 n 度,则$4\ 000×\frac{n}{360}×3+4\ 000×(1-\frac{n}{360})×0.5=3\ 000$,解得 n=36,
∴转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 36 度.
解析
【分析】
本题是概率统计的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用频率估计概率，当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件概率的估计值，观察统计数据中“获得铅笔”的频率稳定值，即可得到对应概率；
2. 第(2)问：先根据第(1)问的概率，计算每天获得铅笔和饮料的顾客人数，再分别乘以各自单价，求和得到总支出费用；
3. 第(3)问：设“一瓶饮料”区域的圆心角为n度，该区域对应概率为$\frac{n}{360}$，“铅笔”区域概率为$1-\frac{n}{360}$，根据总费用控制在3000元的条件，列一元一次方程求解n。
【解析】
(1) 由统计数据可知，随着转动转盘次数增加，指针落在“一支铅笔”区域的频率稳定在0.7附近，根据频率估计概率，转动该转盘一次，获得一支铅笔的概率约为0.7；
(2) 每天获得铅笔的顾客数：$4000×0.7=2800$（名），获得饮料的顾客数：$4000×(1-0.7)=1200$（名）；
总支出费用：$2800×0.5 + 1200×3 = 1400 + 3600 = 5000$（元）；
(3) 设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，根据总费用列方程：
$4000×\frac{n}{360}×3 + 4000×(1-\frac{n}{360})×0.5 = 3000$
化简得：$\frac{10000n}{360} = 1000$，解得$n=36$；
【答案】
(1) 0.7；(2) 5000元；(3) 36
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合抽奖场景考查概率知识，核心是利用频率估计概率，以及将圆心角转化为概率解决费用问题，贴近生活，难度适中，需学生掌握频率与概率的关系，能根据题意列方程求解，是概率部分的基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题是概率统计的实际应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用频率估计概率，当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为事件概率的估计值，观察统计数据中“获得铅笔”的频率稳定值，即可得到对应概率；
2. 第(2)问：先根据第(1)问的概率，计算每天获得铅笔和饮料的顾客人数，再分别乘以各自单价，求和得到总支出费用；
3. 第(3)问：设“一瓶饮料”区域的圆心角为n度，该区域对应概率为$\frac{n}{360}$，“铅笔”区域概率为$1-\frac{n}{360}$，根据总费用控制在3000元的条件，列一元一次方程求解n。
【解析】
(1) 由统计数据可知，随着转动转盘次数增加，指针落在“一支铅笔”区域的频率稳定在0.7附近，根据频率估计概率，转动该转盘一次，获得一支铅笔的概率约为0.7；
(2) 每天获得铅笔的顾客数：$4000×0.7=2800$（名），获得饮料的顾客数：$4000×(1-0.7)=1200$（名）；
总支出费用：$2800×0.5 + 1200×3 = 1400 + 3600 = 5000$（元）；
(3) 设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，根据总费用列方程：
$4000×\frac{n}{360}×3 + 4000×(1-\frac{n}{360})×0.5 = 3000$
化简得：$\frac{10000n}{360} = 1000$，解得$n=36$；
【答案】
(1) 0.7；(2) 5000元；(3) 36
【知识点】
用频率估计概率、概率的实际应用、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合抽奖场景考查概率知识，核心是利用频率估计概率，以及将圆心角转化为概率解决费用问题，贴近生活，难度适中，需学生掌握频率与概率的关系，能根据题意列方程求解，是概率部分的基础应用题。
【难度系数】
0.6
9. 数学社团的同学做了估算 $π$ 的试验. 方法如下：
①请全校同学随意写出两个实数 $x,y$（$x,y$ 可以相等），它们满足：$0＜x＜1,0＜y＜1$；
②统计收集上来的有效数据，设“以 $x,y,1$ 为三条边长能构成锐角三角形”为事件 $A$；
③计算事件 $A$ 发生的概率，及收集的本校有效数据中事件 $A$ 出现的频率；
④利用频率估计概率的方法，估算出 $π$ 的值.
为了计算事件 $A$ 的概率，同学们利用了数形结合的方法，同时查阅资料得到信息：若 $x,y,1$ 三个数据能构成锐角三角形，则需满足 $x^{2}+y^{2}＞1$.
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的 $m$ 份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有 $n$ 份，则可以估计 $π$ 的值为
①请全校同学随意写出两个实数 $x,y$（$x,y$ 可以相等），它们满足：$0＜x＜1,0＜y＜1$；
②统计收集上来的有效数据，设“以 $x,y,1$ 为三条边长能构成锐角三角形”为事件 $A$；
③计算事件 $A$ 发生的概率，及收集的本校有效数据中事件 $A$ 出现的频率；
④利用频率估计概率的方法，估算出 $π$ 的值.
为了计算事件 $A$ 的概率，同学们利用了数形结合的方法，同时查阅资料得到信息：若 $x,y,1$ 三个数据能构成锐角三角形，则需满足 $x^{2}+y^{2}＞1$.
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的 $m$ 份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有 $n$ 份，则可以估计 $π$ 的值为
$\frac{4m-4n}{m}$
.（用含 $m,n$ 的式子表示）答案
解析:
∵0＜x＜1,0＜y＜1,
∴可以用题图中正方形区域表示,
∴$S_{正}=1×1=1$.再根据若 x,y,1 三个数据能构成锐角三角形,则需满足$x^2+y^2＞1$,可以用题图中(3)区域表示,
∴(3)的面积为正方形面积减去四分之一圆的面积,
∴$S_{(3)}=1-\frac{π·1^2}{4}=\frac{4-π}{4}$.设“以 x,y,1 为三条边长能构成锐角三角形”为事件 A,
∴$P(A)=\frac{S_{(3)}}{S_{正}}=\frac{\frac{4-π}{4}}{1}=\frac{4-π}{4}$.又
∵共搜集上来的 m 份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有 n 份,
∴$P(A)=\frac{n}{m}=\frac{4-π}{4}$,解得$π=\frac{4m-4n}{m}$.
∵0＜x＜1,0＜y＜1,
∴可以用题图中正方形区域表示,
∴$S_{正}=1×1=1$.再根据若 x,y,1 三个数据能构成锐角三角形,则需满足$x^2+y^2＞1$,可以用题图中(3)区域表示,
∴(3)的面积为正方形面积减去四分之一圆的面积,
∴$S_{(3)}=1-\frac{π·1^2}{4}=\frac{4-π}{4}$.设“以 x,y,1 为三条边长能构成锐角三角形”为事件 A,
∴$P(A)=\frac{S_{(3)}}{S_{正}}=\frac{\frac{4-π}{4}}{1}=\frac{4-π}{4}$.又
∵共搜集上来的 m 份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有 n 份,
∴$P(A)=\frac{n}{m}=\frac{4-π}{4}$,解得$π=\frac{4m-4n}{m}$.
解析
【分析】首先明确x,y的取值范围是0＜x＜1，0＜y＜1，对应单位正方形区域，面积为1；再根据锐角三角形的条件，确定事件A对应的区域是单位正方形中满足$x^2+y^2＞1$的部分，即正方形减去第一象限内半径为1的四分之一圆的区域；利用几何概型计算事件A的概率，同时概率可通过频率$\frac{n}{m}$估计，联立等式即可解出π。
【解析】因为$0＜x＜1$，$0＜y＜1$，所以所有可能的$(x,y)$对应单位正方形区域，其面积$S_{正}=1×1=1$。根据题意，事件A（以$x,y,1$为边构成锐角三角形）满足$x^2+y^2＞1$，该区域是单位正方形中$x^2+y^2＞1$的部分，即正方形减去第一象限内半径为1的四分之一圆，所以该区域面积$S_A=1-\frac{π·1^2}{4}=\frac{4-π}{4}$。由几何概型，事件A的概率$P(A)=\frac{S_A}{S_{正}}=\frac{4-π}{4}$。又因为频率估计概率，所以$P(A)=\frac{n}{m}$，即$\frac{4-π}{4}=\frac{n}{m}$，整理得$4-π=\frac{4n}{m}$，解得$π=4-\frac{4n}{m}=\frac{4m-4n}{m}$。
【答案】$\frac{4m - 4n}{m}$
【知识点】几何概型、频率估计概率
【点评】本题结合几何概型与频率估算π，通过数形结合将概率问题转化为面积计算，考查几何概型公式及概率与频率关系的应用，是概率在实际估算中的典型题型。
【难度系数】0.5
【解析】因为$0＜x＜1$，$0＜y＜1$，所以所有可能的$(x,y)$对应单位正方形区域，其面积$S_{正}=1×1=1$。根据题意，事件A（以$x,y,1$为边构成锐角三角形）满足$x^2+y^2＞1$，该区域是单位正方形中$x^2+y^2＞1$的部分，即正方形减去第一象限内半径为1的四分之一圆，所以该区域面积$S_A=1-\frac{π·1^2}{4}=\frac{4-π}{4}$。由几何概型，事件A的概率$P(A)=\frac{S_A}{S_{正}}=\frac{4-π}{4}$。又因为频率估计概率，所以$P(A)=\frac{n}{m}$，即$\frac{4-π}{4}=\frac{n}{m}$，整理得$4-π=\frac{4n}{m}$，解得$π=4-\frac{4n}{m}=\frac{4m-4n}{m}$。
【答案】$\frac{4m - 4n}{m}$
【知识点】几何概型、频率估计概率
【点评】本题结合几何概型与频率估算π，通过数形结合将概率问题转化为面积计算，考查几何概型公式及概率与频率关系的应用，是概率在实际估算中的典型题型。
【难度系数】0.5
