【变式训练 2】用简便方法计算：
(1) $199×201$；
(2) $2024^{2} - 2025×2023$。

变式训练 2 解：(1)原式 $ = ( 200 - 1 ) ( 200 + 1 ) $
$ = 200 ^ { 2 } - 1 $
$ = 39999 $。
(2)原式 $ = 2024 ^ { 2 } - ( 2024 + 1 ) × ( 2024 - 1 ) $
$ = 2024 ^ { 2 } - 2024 ^ { 2 } + 1 = 1 $。

【分析】
这两道题均利用平方差公式进行简便计算，解题思路是：将算式中的数转化为“两个数的和与差的乘积”形式，或把接近某一整数的数拆分为该整数加1、减1的形式，套用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，避免复杂运算，快速得出结果。
【解析】
(1) 观察$199$和$201$，可将其转化为$200-1$和$200+1$，符合平方差公式结构：
原式$=(200-1)(200+1)=200^2 - 1^2=40000 -1=39999$；
(2) 观察$2025$和$2023$，可将其转化为$2024+1$和$2024-1$，套用平方差公式：
原式$=2024^2 - (2024+1)(2024-1)=2024^2 - (2024^2 -1^2)=2024^2 -2024^2 +1=1$。
【答案】
(1)$39999$；(2)$1$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，通过拆分数字简化运算，是整式简便计算的基础题型，需学生熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.6

1. 下列选项中，不能用平方差公式计算的是()

A.$(-x + y)(x - y)$
B.$(-x - y)(x - y)$
C.$(x + y)(-x + y)$
D.$(-x + y)(-x - y)$

1. A

【分析】要判断能否用平方差公式计算，需先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一组相同项和一组相反项，即形如$(a+b)(a-b)$，结果为$a^2 - b^2$。解题时需将每个选项的两个因式变形，识别是否存在相同项与相反项，若不存在则不能用平方差公式。
【解析】平方差公式要求两个因式有相同项和相反项，逐一分析选项：
选项A：$(-x + y)(x - y)=(y - x)·[-(y - x)]=-(y - x)^2$，是完全平方形式，无相同项和相反项，不能用平方差公式；
选项B：$(-x - y)(x - y)=(-y - x)(-y + x)=(-y)^2 - x^2$，符合平方差结构，能用；
选项C：$(x + y)(-x + y)=(y + x)(y - x)=y^2 - x^2$，符合平方差结构，能用；
选项D：$(-x + y)(-x - y)=(-x)^2 - y^2$，符合平方差结构，能用；
综上，不能用平方差公式计算的是选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的结构特征，需准确区分平方差公式与完全平方公式的形式，属于基础题型，侧重对公式结构的理解。
【难度系数】0.6

2. 下列计算正确的是()

A.$(x + 3)(x - 3) = x^{2} - 3$
B.$(2x + 3)(2x - 3) = 2x^{2} - 9$
C.$(2x + 3)(x - 3) = 2x^{2} - 9$
D.$(5ab + 1)(5ab - 1) = 25a^{2}b^{2} - 1$

2. D

【分析】本题考查整式乘法的运算，解题思路是：先回忆平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和多项式乘多项式的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，与选项给出的结果对比，找出正确的选项。需要注意平方差公式中是两个整体的平方差，不能漏乘系数或计算错误，多项式乘多项式要合并同类项。
【解析】我们根据整式乘法的相关法则逐一计算各选项：
1. 选项A：利用平方差公式，$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$，而选项结果为$x^2 -3$，因此A错误；
2. 选项B：利用平方差公式，$(2x+3)(2x-3)=(2x)^2 - 3^2 =4x^2 -9$，选项结果为$2x^2 -9$，因此B错误；
3. 选项C：根据多项式乘多项式法则，展开计算：
$(2x+3)(x-3)=2x·x + 2x·(-3) +3·x +3·(-3)=2x^2 -6x +3x -9=2x^2 -3x -9$，选项结果为$2x^2 -9$，因此C错误；
4. 选项D：利用平方差公式，$(5ab+1)(5ab-1)=(5ab)^2 -1^2=25a^2b^2 -1$，与选项结果一致，因此D正确。
【答案】D
【知识点】整式乘法、平方差公式、多项式乘多项式
【点评】本题是整式乘法的基础题型，核心考查平方差公式和多项式乘多项式的运算法则，只要牢记公式结构、细心计算，就能正确解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8

3. 如图，在边长为 $2a$ 的正方形中央剪去一个边长为 $a + 2$ 的小正方形 $(a ＞ 2)$，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，那么这个平行四边形的面积为()


A.$a^{2} + 4$
B.$2a^{2} + 4a$
C.$3a^{2} - 4a - 4$
D.$4a^{2} - a - 2$

3. C

大正方形面积为 $(2a)^2 = 4a^2$，小正方形面积为 $(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4$，剩余部分面积为 $4a^2 - (a^2 + 4a + 4) = 3a^2 - 4a - 4$，故平行四边形面积为 $3a^2 - 4a - 4$。
C

4. 定义一种新运算：$a * b = (a + b)(a - b)$，其中 $a$，$b$ 均为有理数，则 $a * b + (b - a) * b =$。

4. $ 2 a ^ { 2 } - 2 a b - b ^ { 2 } $

$a*b+(b-a)*b$
$=(a+b)(a-b)+[(b-a)+b][(b-a)-b]$
$=a^{2}-b^{2}+(2b-a)(-a)$
$=a^{2}-b^{2}-2ab+a^{2}$
$=2a^{2}-2ab-b^{2}$

5. 如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地分成两个面积相等的梯形，种上不同的蔬菜。已知这两个梯形的上底都是 $x$ m，下底都是 $y$ m，高都是 $(y - x)$ m，则菜地的面积是 $m^{2}$。当 $x = 20$，$y = 30$ 时，菜地的面积是 $m^{2}$。

5. $ y ^ { 2 } - x ^ { 2 } $ 500

【分析】要计算L形菜地的面积，题目说明菜地可分成两个面积相等的梯形，因此先利用梯形面积公式求出单个梯形的面积，再乘以2即可得到总面积；化简时运用平方差公式简化运算，最后代入数值计算具体面积。
【解析】根据梯形面积公式：$ S_{梯形} = \frac{1}{2}×(上底 + 下底)×高 $。
已知每个梯形的上底为$ x \, m $，下底为$ y \, m $，高为$ (y - x) \, m $，则单个梯形的面积为：
$ \frac{1}{2}×(x + y)(y - x) $
两个这样的梯形面积之和（即菜地总面积）为：
$ 2×\frac{1}{2}×(x + y)(y - x) = (y + x)(y - x) = y^2 - x^2 $
当$ x = 20 $，$ y = 30 $时，代入得：
$ 30^2 - 20^2 = 900 - 400 = 500 \, m^2 $
【答案】$ y^2 - x^2 $；$ 500 $
【知识点】梯形面积计算，平方差公式
【点评】本题通过将L形组合图形转化为两个梯形的面积和，结合梯形面积公式与平方差公式求解，关键在于图形分割的理解和公式的运用，属于基础题型。
【难度系数】0.6

6. 计算：$2(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2^{2}})(1 + \frac{1}{2^{4}})(1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{14}} =$。

6. 4

解：原式$=2(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})+\frac{1}{2^{14}}$
$=2(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})÷(1-\frac{1}{2})+\frac{1}{2^{14}}$
$=2(1-\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})÷\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{14}}$
$=2(1-\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{4}})(1+\frac{1}{2^{8}})×2+\frac{1}{2^{14}}$
$=2(1-\frac{1}{2^{8}})(1+\frac{1}{2^{8}})×2+\frac{1}{2^{14}}$
$=2(1-\frac{1}{2^{16}})×2+\frac{1}{2^{14}}$
$=4(1-\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{14}}$
$=4-\frac{4}{2^{16}}+\frac{1}{2^{14}}$
$=4-\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{2^{14}}$
$=4$

7. 利用平方差公式计算：
(1) $121×119$；
(2) $2029^{2} - 2028×2030$。
能力提高

7. (1)14399 (2)1

(1) $121×119=(120+1)(120-1)=120^{2}-1^{2}=14400-1=14399$
(2) $2029^{2}-2028×2030=2029^{2}-(2029-1)(2029+1)=2029^{2}-(2029^{2}-1^{2})=2029^{2}-2029^{2}+1=1$