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8. 先化简，再求值：$(a + 2b)(a - 2b) - (2a - b)(-2a - b)$，其中 $a = 8$，$b = -8$。
答案
8. 解：原式 $ = a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } - ( b ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } ) $
$ = a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } - b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } $
$ = 5 a ^ { 2 } - 5 b ^ { 2 } $。
当 $ a = 8 $，$ b = - 8 $ 时，
原式 $ = 5 × 8 ^ { 2 } - 5 × ( - 8 ) ^ { 2 } = 0 $。
$ = a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } - b ^ { 2 } + 4 a ^ { 2 } $
$ = 5 a ^ { 2 } - 5 b ^ { 2 } $。
当 $ a = 8 $，$ b = - 8 $ 时，
原式 $ = 5 × 8 ^ { 2 } - 5 × ( - 8 ) ^ { 2 } = 0 $。
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式分别展开式子中的两个乘积项，再处理去括号时的符号，合并同类项完成化简，最后将给定的a、b值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
原式利用平方差公式展开：
$\begin{aligned}&(a + 2b)(a - 2b) - (2a - b)(-2a - b)\\=&a^2 - (2b)^2 - [(-b)^2 - (2a)^2]\\=&a^2 - 4b^2 - (b^2 - 4a^2)\end{aligned}$
去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}=&a^2 - 4b^2 - b^2 + 4a^2\\=&5a^2 - 5b^2\end{aligned}$
当$a = 8$，$b = -8$时，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×8^2 - 5×(-8)^2\\&=5×64 - 5×64\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是运用平方差公式简化运算，需注意去括号时的符号处理，化简后代入计算简便，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式分别展开式子中的两个乘积项，再处理去括号时的符号，合并同类项完成化简，最后将给定的a、b值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
原式利用平方差公式展开：
$\begin{aligned}&(a + 2b)(a - 2b) - (2a - b)(-2a - b)\\=&a^2 - (2b)^2 - [(-b)^2 - (2a)^2]\\=&a^2 - 4b^2 - (b^2 - 4a^2)\end{aligned}$
去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}=&a^2 - 4b^2 - b^2 + 4a^2\\=&5a^2 - 5b^2\end{aligned}$
当$a = 8$，$b = -8$时，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×8^2 - 5×(-8)^2\\&=5×64 - 5×64\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
平方差公式、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是运用平方差公式简化运算，需注意去括号时的符号处理，化简后代入计算简便，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
9. 如图①，从边长为 $a$ 的正方形纸片中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形，再把剩余部分沿着线段 $AB$ 剪开，拼成如图②所示的梯形。
(1) 设图①中阴影部分的面积为 $S_{1}$，图②中阴影部分的面积为 $S_{2}$，试用含 $a$，$b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$；
(2) 请写出上述过程所揭示的乘法公式。
(1) 设图①中阴影部分的面积为 $S_{1}$，图②中阴影部分的面积为 $S_{2}$，试用含 $a$，$b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$ 和 $S_{2}$；
(2) 请写出上述过程所揭示的乘法公式。
答案
9. 解：(1)根据题意，得
$ S _ { 1 } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $，
$ S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 a + 2 b ) ( a - b ) = ( a + b ) ( a - b ) $。
(2) $ ( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $。
$ S _ { 1 } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $，
$ S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ( 2 a + 2 b ) ( a - b ) = ( a + b ) ( a - b ) $。
(2) $ ( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需分别计算两个图形的阴影面积：图①的阴影面积是大正方形面积减去小正方形面积，图②的阴影为梯形，需用梯形面积公式计算；第(2)问利用两个阴影面积相等，推导对应的乘法公式。解题时先明确各图形的边长，再代入对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 计算图①阴影面积$S_1$：
图①是边长为$a$的正方形剪去边长为$b$的小正方形，因此$S_1 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = a^2 - b^2$。
计算图②阴影面积$S_2$：
图②是梯形，梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a - b$，根据梯形面积公式$面积=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b) = (a + b)(a - b)$。
(2) 由两个阴影部分面积相等，即$S_1 = S_2$，因此可得乘法公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
【答案】
(1) $S_1 = a^2 - b^2$，$S_2 = (a + b)(a - b)$；(2) $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，梯形面积计算，整式乘法
【点评】
本题通过数形结合的方式推导平方差公式，考查学生对图形面积计算和乘法公式的理解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需分别计算两个图形的阴影面积：图①的阴影面积是大正方形面积减去小正方形面积，图②的阴影为梯形，需用梯形面积公式计算；第(2)问利用两个阴影面积相等，推导对应的乘法公式。解题时先明确各图形的边长，再代入对应面积公式计算即可。
【解析】
(1) 计算图①阴影面积$S_1$：
图①是边长为$a$的正方形剪去边长为$b$的小正方形，因此$S_1 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = a^2 - b^2$。
计算图②阴影面积$S_2$：
图②是梯形，梯形的上底长为$2b$，下底长为$2a$，高为$a - b$，根据梯形面积公式$面积=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S_2 = \frac{1}{2}×(2b + 2a)×(a - b) = (a + b)(a - b)$。
(2) 由两个阴影部分面积相等，即$S_1 = S_2$，因此可得乘法公式：$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
【答案】
(1) $S_1 = a^2 - b^2$，$S_2 = (a + b)(a - b)$；(2) $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，梯形面积计算，整式乘法
【点评】
本题通过数形结合的方式推导平方差公式，考查学生对图形面积计算和乘法公式的理解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. 已知 $x^{2m - 5n}$ 与 $4x^{2}$ 为同类项，且 $2m + 5n = 7$，求 $4m^{2} - 25n^{2}$ 的值。
答案
10. 解：因为 $ x ^ { 2 m - 5 n } $ 与 $ 4 x ^ { 2 } $ 为同类项，
所以 $ 2 m - 5 n = 2 $。
又因为 $ 2 m + 5 n = 7 $，
所以 $ ( 2 m + 5 n ) ( 2 m - 5 n ) = 7 × 2 = 14 $，
即 $ 4 m ^ { 2 } - 25 n ^ { 2 } = 14 $。
所以 $ 2 m - 5 n = 2 $。
又因为 $ 2 m + 5 n = 7 $，
所以 $ ( 2 m + 5 n ) ( 2 m - 5 n ) = 7 × 2 = 14 $，
即 $ 4 m ^ { 2 } - 25 n ^ { 2 } = 14 $。
解析
【分析】
首先根据同类项的定义，确定两个单项式中相同字母的指数相等，得到关于$m$、$n$的方程；再观察所求代数式的结构，发现其符合平方差公式的形式，利用公式因式分解后，结合已知条件整体代入计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化运算过程。
【解析】
解：因为$x^{2m - 5n}$与$4x^2$为同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），可得：
$2m - 5n = 2$
又已知$2m + 5n = 7$，
对所求代数式$4m^2 - 25n^2$利用平方差公式因式分解：
$4m^2 - 25n^2 = (2m)^2 - (5n)^2 = (2m + 5n)(2m - 5n)$
将$2m + 5n = 7$、$2m - 5n = 2$代入上式：
原式$=7×2 = 14$
【答案】
14
【知识点】
同类项的定义，平方差公式
【点评】
本题考查同类项概念与平方差公式的结合应用，核心是运用整体思想简化计算，避免了单独求解$m$、$n$的繁琐步骤，是代数运算中基础且典型的题型，侧重对知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先根据同类项的定义，确定两个单项式中相同字母的指数相等，得到关于$m$、$n$的方程；再观察所求代数式的结构，发现其符合平方差公式的形式，利用公式因式分解后，结合已知条件整体代入计算，无需单独求解$m$、$n$的值，简化运算过程。
【解析】
解：因为$x^{2m - 5n}$与$4x^2$为同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），可得：
$2m - 5n = 2$
又已知$2m + 5n = 7$，
对所求代数式$4m^2 - 25n^2$利用平方差公式因式分解：
$4m^2 - 25n^2 = (2m)^2 - (5n)^2 = (2m + 5n)(2m - 5n)$
将$2m + 5n = 7$、$2m - 5n = 2$代入上式：
原式$=7×2 = 14$
【答案】
14
【知识点】
同类项的定义，平方差公式
【点评】
本题考查同类项概念与平方差公式的结合应用，核心是运用整体思想简化计算，避免了单独求解$m$、$n$的繁琐步骤，是代数运算中基础且典型的题型，侧重对知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
完全平方公式：$(a + b)^2 =$
两数
$ a^{2}+2ab+b^{2} $
，$(a - b)^2 =$$ a^{2}-2ab+b^{2} $
。两数
和（或差）
的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的 2 倍
。答案
知识点 $ a^{2}+2ab+b^{2} $ $ a^{2}-2ab+b^{2} $
和（或差） 平方和加上（或减去）它们的积的 2 倍
和（或差） 平方和加上（或减去）它们的积的 2 倍
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的基础识记内容，解题时需准确回忆完全平方和、差的公式展开形式，以及公式对应的文字表述，重点区分和与差的公式中乘积项的符号差异，确保填写内容与公式定义一致。
【解析】
根据完全平方公式的定义，两数和的平方展开为：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；两数差的平方展开为：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；公式的文字表述为：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
【答案】
$a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$；和（或差）；平方和加上（或减去）它们的积的2倍
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题为完全平方公式的基础记忆题，是整式乘法的核心基础内容，主要考查学生对公式的准确识记，属于代数学习中的必背知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方公式的基础识记内容，解题时需准确回忆完全平方和、差的公式展开形式，以及公式对应的文字表述，重点区分和与差的公式中乘积项的符号差异，确保填写内容与公式定义一致。
【解析】
根据完全平方公式的定义，两数和的平方展开为：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；两数差的平方展开为：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；公式的文字表述为：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。
【答案】
$a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$；和（或差）；平方和加上（或减去）它们的积的2倍
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题为完全平方公式的基础记忆题，是整式乘法的核心基础内容，主要考查学生对公式的准确识记，属于代数学习中的必背知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
例 1 利用完全平方公式计算：
(1)$(2m + 3n)^2$；(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2$。
点拨 第(1)题，$2m$和$3n$分别相当于公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中的$a$和$b$；第(2)题，可先交换位置，再利用公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$进行计算。
(1)$(2m + 3n)^2$；(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2$。
点拨 第(1)题，$2m$和$3n$分别相当于公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中的$a$和$b$；第(2)题，可先交换位置，再利用公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$进行计算。
答案
解 (1)$(2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2· 2m· 3n + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2$。
(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2· \frac{2}{3}b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$。
(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2· \frac{2}{3}b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$。
解析
【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题思路为：①牢记完全平方公式的两种形式：和的完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、差的完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$；②第(1)题直接将$2m$、$3n$分别对应公式中的$a$、$b$，代入和的完全平方公式展开计算；③第(2)题先交换两项的位置，将原式转化为差的完全平方形式，再代入差的完全平方公式展开，计算时需注意系数的乘除运算和符号的准确性。
【解析】(1) 根据和的完全平方公式，令$a=2m$，$b=3n$，则：
$(2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2·2m·3n + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2$；
(2) 先调整两项顺序，将原式转化为差的完全平方形式：
$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2$，
再根据差的完全平方公式，令$a=\frac{2}{3}b$，$b=\frac{1}{2}a$，则：
$(\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2·\frac{2}{3}b·\frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$；
【答案】解 (1)$(2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2· 2m· 3n + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2$。(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2· \frac{2}{3}b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$。
【知识点】完全平方公式
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，核心是准确运用公式展开整式，需注意系数运算和符号处理，属于整式乘法的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】(1) 根据和的完全平方公式，令$a=2m$，$b=3n$，则：
$(2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2·2m·3n + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2$；
(2) 先调整两项顺序，将原式转化为差的完全平方形式：
$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2$，
再根据差的完全平方公式，令$a=\frac{2}{3}b$，$b=\frac{1}{2}a$，则：
$(\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2·\frac{2}{3}b·\frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$；
【答案】解 (1)$(2m + 3n)^2 = (2m)^2 + 2· 2m· 3n + (3n)^2 = 4m^2 + 12mn + 9n^2$。(2)$(-\frac{1}{2}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{2}{3}b - \frac{1}{2}a)^2 = (\frac{2}{3}b)^2 - 2· \frac{2}{3}b· \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2 = \frac{4}{9}b^2 - \frac{2}{3}ab + \frac{1}{4}a^2$。
【知识点】完全平方公式
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，核心是准确运用公式展开整式，需注意系数运算和符号处理，属于整式乘法的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
