变式训练 1 计算：
(1)$(-a - b)^2$；
(2)$(\frac{1}{4}m - \frac{2}{3}n)^2$。

变式训练 1 解：(1)原式 $ =(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} $。
(2)原式 $ =\frac{1}{16}m^{2}-\frac{1}{3}mn+\frac{4}{9}n^{2} $。

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是：对于形如$(x\pm y)^2$的式子，直接套用完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$；若式子带有负号，先利用“负数的平方为正数”的性质转化为正的形式，再套用公式。第(1)题可先将$(-a - b)^2$变形为$[-(a+b)]^2$，再计算；第(2)题直接把两项分别看作公式中的$x$和$y$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 利用负数的平方为正数，将原式变形：
$(-a - b)^2 = [-(a + b)]^2 = (a + b)^2$
根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，展开得：
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) 根据完全平方公式$(x - y)^2=x^2 - 2xy + y^2$，令$x=\frac{1}{4}m$，$y=\frac{2}{3}n$，代入得：
原式$= (\frac{1}{4}m)^2 - 2×\frac{1}{4}m×\frac{2}{3}n + (\frac{2}{3}n)^2$
计算各项：
$(\frac{1}{4}m)^2 = \frac{1}{16}m^2$，$2×\frac{1}{4}m×\frac{2}{3}n = \frac{1}{3}mn$，$(\frac{2}{3}n)^2 = \frac{4}{9}n^2$
因此原式$= \frac{1}{16}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{4}{9}n^2$
【答案】
(1) $a^2 + 2ab + b^2$；(2) $\frac{1}{16}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{4}{9}n^2$
【知识点】
完全平方公式，整式的乘法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，重点考查对公式的掌握和符号的处理能力，第(1)题需注意负号平方后的转化，避免符号错误，整体难度较低，是整式运算的核心基础内容。
【难度系数】
0.8

例 2 先化简，再求值：$(3x + 4y)^2 + (3x + 4y)(4y - 3x)$，其中$x = \frac{1}{3}$，$y = \frac{1}{4}$。

答题卡：
原式$=(3x + 4y)^2+(4y + 3x)(4y - 3x)$
$=(3x + 4y)[(3x + 4y)+(4y - 3x)]$
$=(3x + 4y)(8y)$
根据运算律展开（也可像例$2$按完全平方公式与平方差公式展开再合并同类项）：
$=24xy + 32y^{2}$
当$x = \frac{1}{3}$，$y = \frac{1}{4}$时，
原式$=24×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+32×(\frac{1}{4})^{2}$
$=2 + 2$
$=4$
综上，化简结果为$24xy + 32y^{2}$，值为$4$。

【分析】拿到这道整式化简求值题，先观察式子结构，发现两项都含有公因式$(3x + 4y)$，优先用提公因式法简化计算，能减少运算步骤；提取公因式后合并同类项得到最简整式，最后代入给定的$x$、$y$的值计算结果即可，也可通过完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，两种方法均可行，提公因式法更简便。
【解析】原式$=(3x + 4y)^2 + (3x + 4y)(4y - 3x)$
$=(3x + 4y)[(3x + 4y) + (4y - 3x)]$
$=(3x + 4y)(8y)$
$=24xy + 32y^2$
当$x = \frac{1}{3}$，$y = \frac{1}{4}$时，
原式$=24×\frac{1}{3}×\frac{1}{4} + 32×(\frac{1}{4})^2$
$=2 + 2$
$=4$
【答案】化简结果为$24xy + 32y^2$，值为$4$。
【知识点】因式分解（提公因式法）、整式化简求值
【点评】本题是整式化简求值的典型基础题，核心考查提公因式法分解因式和整式的混合运算，通过提取公因式简化运算，降低计算复杂度，需要学生熟练掌握整式运算的基本法则，灵活运用运算律简化计算。
【难度系数】0.7

变式训练 2 先化简，再求值：$(2x + 3y)^2 - (2x + y)(2x - y)$，其中$x = \frac{1}{3}$，$y = -\frac{1}{2}$。

变式训练 2 解：$ (2x+3y)^{2}-(2x+y)(2x-y)=4x^{2}+12xy+9y^{2}-4x^{2}+y^{2}=12xy+10y^{2} $。
当 $ x=\frac{1}{3}，y=-\frac{1}{2} $ 时，
原式 $ =12×\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})+10×(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2} $。

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式和平方差公式分别展开式子中的两项，再通过去括号、合并同类项得到最简整式，最后将给定的x、y的值代入最简式计算出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(2x + 3y)^2 - (2x + y)(2x - y)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - (4x^2 - y^2)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x^2 + y^2\\=&12xy + 10y^2\end{aligned}$
当$x = \frac{1}{3}$，$y = -\frac{1}{2}$时：
$\begin{aligned}原式&=12×\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2}) + 10×(-\frac{1}{2})^2\\&=-2 + 10×\frac{1}{4}\\&=-2 + \frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查整式化简求值，核心是正确运用乘法公式展开并合并同类项，计算时需注意符号处理，属于基础题型，需熟练掌握公式的应用。
【难度系数】
0.6

1. 利用完全平方公式计算：$(-s^2 + t)^2 =$()

A.$-s^2 - 2st + t^2$
B.$-s^4 - 2s^2t + t^2$
C.$s^4 - 2s^2t + t^2$
D.$s^4 - 2st - t^2$

1. C

$(-s^2 + t)^2 = (t - s^2)^2 = t^2 - 2 · t · s^2 + (s^2)^2 = t^2 - 2s^2t + s^4 = s^4 - 2s^2t + t^2$，答案选C。

2. 计算$(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2$的结果是()

A.$2a^2$
B.$4b^2$
C.$2a^2 - 8b^2$
D.$8ab$

2. D

$(a + 2b)^2 - (a - 2b)^2$
$=(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2)$
$=a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2$
$=8ab$
结果是D。

3. 下列选项中，计算结果为$1 - 2ab^2 + a^2b^4$的是()

A.$(-1 + ab^2)^2$
B.$(1 + ab^2)^2$
C.$(-1 + a^2b^2)^2$
D.$(-1 - ab)^2$

3. A

$(-1 + ab^2)^2 = (-1)^2 + 2×(-1)× ab^2 + (ab^2)^2 = 1 - 2ab^2 + a^2b^4$，A选项正确；
$(1 + ab^2)^2 = 1 + 2ab^2 + a^2b^4$，B选项错误；
$(-1 + a^2b^2)^2 = 1 - 2a^2b^2 + a^4b^4$，C选项错误；
$(-1 - ab)^2 = 1 + 2ab + a^2b^2$，D选项错误。
A

4. 填空：
$(1)(a + 2b)^2 =$，$(-a - 2b)^2 =$；
(2) 已知$(x + 4)^2 = x^2 + kx + 16$，则k =；
(3)()$- \frac{1}{3}y)^2 = \frac{9}{4}x^2 - xy +$。

4. (1) $ a^{2}+4ab+4b^{2} $ $ a^{2}+4ab+4b^{2} $ (2)8
(3) $ \frac{3}{2}x $ $ \frac{1}{9}y^{2} $

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，需利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$解题：第(1)题直接正用公式，注意负数平方的性质；第(2)题展开后对比系数求k；第(3)题逆用完全平方公式，根据各项对应关系推导未知项。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：
$(a+2b)^2=a^2 + 2· a·2b + (2b)^2=a^2+4ab+4b^2$；
$(-a-2b)^2=[-(a+2b)]^2=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$；
(2) 展开$(x+4)^2=x^2 + 2· x·4 +4^2=x^2+8x+16$，对比$x^2+kx+16$，得$k=8$；
(3) 根据完全平方差公式$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$，已知$A^2=\frac{9}{4}x^2$，则$A=\frac{3}{2}x$；中间项$-xy=-2AB$，代入$A=\frac{3}{2}x$，解得$B=\frac{1}{3}y$，故最后一项为$B^2=(\frac{1}{3}y)^2=\frac{1}{9}y^2$。
【答案】
(1) $a^2+4ab+4b^2$；$a^2+4ab+4b^2$ (2) $8$ (3) $\frac{3}{2}x$；$\frac{1}{9}y^2$
【知识点】
完全平方公式，整式的运算
【点评】
本题为完全平方公式的基础应用题型，需熟练掌握公式结构特征，注意符号处理（负数平方为正），逆用公式时准确对应各项系数，属于初中整式部分的常规基础题。
【难度系数】
0.8

5. 当$k =$时，$x^2 - kx + 25$是利用完全平方公式计算得到的。

5. $ ±10 $

【分析】要确定$k$的值，需利用完全平方公式的结构特征。完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，题目中的多项式$x^2 -kx +25$是完全平方形式，先对应公式中的各项：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；末项$25$对应$b^2$，即$b=\pm5$；中间项应为$\pm2ab$，将$a=x$、$b=\pm5$代入后，中间项为$\pm10x$。再对比原式的中间项$-kx$，即可建立关于$k$的方程求解。
【解析】根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对多项式$x^2 -kx +25$分析：
1. 首项$x^2=a^2$，得$a=x$；
2. 末项$25=b^2$，解得$b=\pm5$；
3. 中间项为$\pm2ab=\pm2· x·5=\pm10x$；
4. 对比原式中间项$-kx$，可得$-k=\pm10$，解得$k=\pm10$。
【答案】$\pm10$
【知识点】完全平方公式，代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的灵活应用，核心是掌握公式的结构特征，需注意中间项存在正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.5