6. 杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。如图，观察下面的杨辉三角形：
1
1 1 $(a + b)^1 = a + b$
1 2 1 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
1 3 3 1 $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
1 4 6 4 1 $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
1 5 10 10 5 1
……
根据规律，$(a + b)^5 =$。

6. $ a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5} $

【分析】
要解决这个问题，需利用杨辉三角形与二项式展开式的对应规律：二项式$(a+b)^n$的展开式各项系数，对应杨辉三角形第$(n+1)$行的数，且展开式中$a$的次数从$n$依次递减到$0$，$b$的次数从$0$依次递增到$n$，每一项的系数与杨辉三角该行的数一一对应。本题要求$(a+b)^5$，对应杨辉三角形第6行的系数（题目已给出为1、5、10、10、5、1），据此可写出展开式。
【解析】
根据杨辉三角与二项式展开式的对应规律，对于$(a+b)^5$，其展开式的系数为杨辉三角第6行的1、5、10、10、5、1，结合$a$、$b$的次数变化规律，可得：
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
【答案】
$a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
【知识点】
二项式定理、杨辉三角
【点评】
本题结合杨辉三角形考查二项式展开式的规律，属于基础题型，只要掌握杨辉三角与二项式系数的对应关系即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

7. 先化简，再求值：$x(x - 2) + (x + 1)^2$，其中$x = 1$。
能力提高

7. 解：原式 $ =x^{2}-2x+x^{2}+2x+1=2x^{2}+1 $。
当 $ x=1 $ 时，
原式 $ =2×1^{2}+1=3 $。

【分析】本题为整式的化简求值题，解题思路是：先根据单项式乘多项式法则和完全平方公式分别展开原式中的两项，再合并同类项得到最简整式，最后将给定的x值代入最简式计算出结果。
【解析】先化简原式：
1. 展开单项式乘多项式：$x(x - 2) = x^2 - 2x$；
2. 展开完全平方公式：$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$；
3. 合并同类项：将上述结果相加，$x^2 - 2x + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 1$；
当$x = 1$时，代入最简式得：$2×1^2 + 1 = 2×1 + 1 = 3$。
【答案】3
【知识点】整式的化简求值、单项式乘多项式、完全平方公式
【点评】本题是基础的整式运算题，重点考察整式的基本运算法则和公式应用，步骤明确，难度较低，能有效巩固学生的整式运算基础。
【难度系数】0.8

8. 利用完全平方公式计算：
(1)$(3m + \frac{1}{4})^2$；
(2)$(-a + b)^2$；
(3)$(\frac{3}{4}a + \frac{2}{3}b)^2$；
(4)$(\frac{4}{5}m - \frac{5}{4}n)^2$；
(5)$(\frac{3}{4}a - \frac{2}{3}b)^2$；
(6)$(\frac{4}{5}m + \frac{5}{4}n)^2$。

8. (1) $ 9m^{2}+\frac{3}{2}m+\frac{1}{16} $ (2) $ a^{2}-2ab+b^{2} $
(3) $ \frac{9}{16}a^{2}+ab+\frac{4}{9}b^{2} $ (4) $ \frac{16}{25}m^{2}-2mn+\frac{25}{16}n^{2} $
(5) $ \frac{9}{16}a^{2}-ab+\frac{4}{9}b^{2} $ (6) $ \frac{16}{25}m^{2}+2mn+\frac{25}{16}n^{2} $

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是：先明确完全平方公式为$(x±y)^2=x^2±2xy+y^2$，再确定每个小题式子中的$x$和$y$，代入公式展开计算，注意各项符号及分数运算的准确性，确保展开后的结果与参考答案一致。
【解析】
(1) 把$3m$看作公式中的$x$，$\frac{1}{4}$看作$y$，根据完全平方和公式：
$(3m + \frac{1}{4})^2 = (3m)^2 + 2×3m×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 = 9m^2 + \frac{3}{2}m + \frac{1}{16}$；
(2) 将原式变形为$(b - a)^2$，根据完全平方差公式：
$(-a + b)^2 = (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$；
(3) 把$\frac{3}{4}a$看作$x$，$\frac{2}{3}b$看作$y$，根据完全平方和公式：
$(\frac{3}{4}a + \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{3}{4}a)^2 + 2×\frac{3}{4}a×\frac{2}{3}b + (\frac{2}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^2 + ab + \frac{4}{9}b^2$；
(4) 把$\frac{4}{5}m$看作$x$，$\frac{5}{4}n$看作$y$，根据完全平方差公式：
$(\frac{4}{5}m - \frac{5}{4}n)^2 = (\frac{4}{5}m)^2 - 2×\frac{4}{5}m×\frac{5}{4}n + (\frac{5}{4}n)^2 = \frac{16}{25}m^2 - 2mn + \frac{25}{16}n^2$；
(5) 把$\frac{3}{4}a$看作$x$，$\frac{2}{3}b$看作$y$，根据完全平方差公式：
$(\frac{3}{4}a - \frac{2}{3}b)^2 = (\frac{3}{4}a)^2 - 2×\frac{3}{4}a×\frac{2}{3}b + (\frac{2}{3}b)^2 = \frac{9}{16}a^2 - ab + \frac{4}{9}b^2$；
(6) 把$\frac{4}{5}m$看作$x$，$\frac{5}{4}n$看作$y$，根据完全平方和公式：
$(\frac{4}{5}m + \frac{5}{4}n)^2 = (\frac{4}{5}m)^2 + 2×\frac{4}{5}m×\frac{5}{4}n + (\frac{5}{4}n)^2 = \frac{16}{25}m^2 + 2mn + \frac{25}{16}n^2$；
【答案】
8. (1) $9m^{2}+\frac{3}{2}m+\frac{1}{16}$ (2) $a^{2}-2ab+b^{2}$
(3) $\frac{9}{16}a^{2}+ab+\frac{4}{9}b^{2}$ (4) $\frac{16}{25}m^{2}-2mn+\frac{25}{16}n^{2}$
(5) $\frac{9}{16}a^{2}-ab+\frac{4}{9}b^{2}$ (6) $\frac{16}{25}m^{2}+2mn+\frac{25}{16}n^{2}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，重点考查公式的准确运用及分数运算能力，属于整式运算的常规基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.8

9. 已知$4x = 3y$，求代数式$(x - 2y)^2 - (x - y)· (x + y) - 2y^2$的值。

9. 解：原式 $ =x^{2}-4xy+4y^{2}-x^{2}+y^{2}-2y^{2} $
$ =-4xy+3y^{2} $。
因为 $ 4x=3y $，
所以原式 $ =-3y·y+3y^{2} $
$ =-3y^{2}+3y^{2} $
$ =0 $。

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用完全平方公式和平方差公式对代数式展开，再合并同类项化简，最后将已知条件$4x = 3y$代入化简后的式子，计算出最终结果。
【解析】
先对代数式展开化简：
$\begin{aligned}原式&=(x - 2y)^2 - (x - y)(x + y) - 2y^2\\&=x^2 - 4xy + 4y^2 - (x^2 - y^2) - 2y^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式、平方差公式展开）}\\&=x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 + y^2 - 2y^2 \quad \mathrm{（去括号）}\\&=-4xy + 3y^2 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
将已知$4x = 3y$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-4xy + 3y^2\\&=- (4x)y + 3y^2\\&=-3y · y + 3y^2 \quad \mathrm{（代入$4x=3y$）}\\&=-3y^2 + 3y^2\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
整式化简求值、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查整式的基本运算，核心是正确运用乘法公式展开并合并同类项，再代入已知条件求值，需注意去括号时的符号处理，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

10. 某校生物兴趣小组有一块正方形种植基地，现要对它进行扩建。若把边长增加$2m$，则所得的新正方形种植基地的面积比原来增加了$32m^2$，求原来正方形种植基地的边长。

10. 解：设原来正方形种植基地的边长是 $ xm $。
根据题意，得 $ (x+2)^{2}-x^{2}=32 $，
即 $ x^{2}+4x+4-x^{2}=32 $。
解得 $ x=7 $。
所以原来正方形种植基地的边长是 $ 7m $。

【分析】
这是一道结合正方形面积的一元一次方程应用题，解题思路：先设原来正方形的边长为未知数$x$，再根据“新正方形面积 - 原正方形面积 = 增加的$32m^2$”的等量关系列方程，通过展开、化简方程求解未知数，最终得到原来正方形的边长。
【解析】
解：设原来正方形种植基地的边长是$x \, m$。
根据题意，新正方形边长为$(x+2) \, m$，面积差为$32 \, m^2$，列方程：
$(x+2)^2 - x^2 = 32$
展开左边：$x^2 + 4x + 4 - x^2 = 32$
化简得：$4x + 4 = 32$
移项计算：$4x = 28$
解得：$x = 7$
所以原来正方形种植基地的边长是$7 \, m$。
【答案】
原来正方形种植基地的边长是$7 \, m$。
【知识点】
一元一次方程应用、正方形面积计算
【点评】
本题为基础几何应用题，核心是利用面积差建立方程，计算过程简单，主要考查学生对一元一次方程应用的掌握，属于易得分题型。
【难度系数】
0.8