(1) 图①中阴影部分的面积是；
(2) 图②中阴影部分的面积是。
由 (1)(2) 可验证平方差公式：$(a + b) · (a - b) =$。

知识点 $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $ $ ( a + b ) ( a - b ) $ $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $

(1) $a^{2}-b^{2}$
(2) $(a+b)(a-b)$
$a^{2}-b^{2}$

例 1 计算：
(1) $(3x - 2y)(9x^{2} + 4y^{2})(3x + 2y)$；
(2) $(x + 2y - z)(x - 2y + z)$。

(1) $(3x - 2y)(9x^{2} + 4y^{2})(3x + 2y)$
$=(3x - 2y)(3x + 2y)(9x^{2} + 4y^{2})$
$=(9x^{2} - 4y^{2})(9x^{2} + 4y^{2})$
$=81x^{4} - 16y^{4}$
(2) $(x + 2y - z)(x - 2y + z)$
$=[x + (2y - z)][x - (2y - z)]$
$=x^{2} - (2y - z)^{2}$
$=x^{2} - (4y^{2} - 4yz + z^{2})$
$=x^{2} - 4y^{2} + 4yz - z^{2}$

【分析】
第(1)题中，观察式子结构，发现(3x-2y)与(3x+2y)符合平方差公式的形式，先利用乘法交换律调整运算顺序，计算它们的乘积，所得结果再与(9x²+4y²)相乘，再次运用平方差公式简化运算；第(2)题中，将后两项(2y-z)看作整体，把原式变形为[x+(2y-z)][x-(2y-z)]，符合平方差公式，先计算平方差，再展开(2y-z)的完全平方，去括号后得到最终结果，解题关键是合理分组变形，正确运用公式。
【解析】
(1) $(3x - 2y)(9x^{2} + 4y^{2})(3x + 2y)$
$=(3x - 2y)(3x + 2y)(9x^{2} + 4y^{2})$
$=(9x^{2} - 4y^{2})(9x^{2} + 4y^{2})$
$=81x^{4} - 16y^{4}$
(2) $(x + 2y - z)(x - 2y + z)$
$=[x + (2y - z)][x - (2y - z)]$
$=x^{2} - (2y - z)^{2}$
$=x^{2} - (4y^{2} - 4yz + z^{2})$
$=x^{2} - 4y^{2} + 4yz - z^{2}$
【答案】
(1) $81x^{4} - 16y^{4}$；(2) $x^{2} - 4y^{2} + 4yz - z^{2}$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式乘法中运用公式简化运算的典型题，核心是观察式子结构，通过合理分组变形，将复杂的整式乘法转化为乘法公式的应用，既简化计算又减少错误，需熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征。
【难度系数】
0.6

【变式训练 1】计算：
(1) $(x + 1)(x^{2} + 1)(x - 1)$；
(2) $(2x - y - 3)(2x - y + 3)$。

变式训练 1 (1) $ x ^ { 4 } - 1 $ (2) $ 4 x ^ { 2 } - 4 x y + y ^ { 2 } - 9 $

(1) $(x + 1)(x^{2} + 1)(x - 1)$
$=(x + 1)(x - 1)(x^{2} + 1)$
$=(x^{2} - 1)(x^{2} + 1)$
$=x^{4} - 1$
(2) $(2x - y - 3)(2x - y + 3)$
$=[(2x - y) - 3][(2x - y) + 3]$
$=(2x - y)^{2} - 3^{2}$
$=4x^{2} - 4xy + y^{2} - 9$

例 2 用简便方法计算：
(1) $999.8×1000.2$；
(2) $90^{2} - 89×91$。

(1) $999.8×1000.2$
$=(1000 - 0.2)×(1000 + 0.2)$
$=1000^{2} - 0.2^{2}$
$=1000000 - 0.04$
$=999999.96$
(2) $90^{2} - 89×91$
$=90^{2} - (90 - 1)(90 + 1)$
$=90^{2} - (90^{2} - 1^{2})$
$=90^{2} - 90^{2} + 1$
$=1$

【分析】
这两道题均利用平方差公式进行简便运算，解题思路是将算式中的数转化为符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，从而简化计算。对于(1)，999.8和1000.2分别接近1000，可拆成$1000-0.2$和$1000+0.2$；对于(2)，89和91可转化为$90-1$和$90+1$，再结合平方差公式展开计算即可。
【解析】
(1) $999.8×1000.2$
$=(1000 - 0.2)×(1000 + 0.2)$
$=1000^2 - 0.2^2$
$=1000000 - 0.04$
$=999999.96$
(2) $90^2 - 89×91$
$=90^2 - (90 - 1)(90 + 1)$
$=90^2 - (90^2 - 1^2)$
$=90^2 - 90^2 + 1$
$=1$
【答案】
(1) $999999.96$；(2) $1$
【知识点】
平方差公式、简便运算
【点评】
本题通过将数变形为平方差公式的形式，避免了复杂的乘法运算，体现了代数公式在简化计算中的作用，是初中代数基础运算的典型应用题型。
【难度系数】
0.6