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8. 计算：
(1)$-a · a^5 - (a^2)^3 - (-2a^3)^2$；
(2)$2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$。
(1)$-a · a^5 - (a^2)^3 - (-2a^3)^2$；
(2)$2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$。
答案
8. (1) $-6a^{6}$ (2) $-20a^{9}$
解析
(1) $-a · a^5 - (a^2)^3 - (-2a^3)^2$
$=-a^{1+5} - a^{2×3} - (-2)^2 · (a^3)^2$
$=-a^6 - a^6 - 4a^6$
$=-6a^6$
(2) $2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$
$=2a^{2×3} · a^3 - 3^3 · (a^3)^3 + 5a^{7+2}$
$=2a^6 · a^3 - 27a^9 + 5a^9$
$=2a^{6+3} - 27a^9 + 5a^9$
$=2a^9 - 27a^9 + 5a^9$
$=-20a^9$
$=-a^{1+5} - a^{2×3} - (-2)^2 · (a^3)^2$
$=-a^6 - a^6 - 4a^6$
$=-6a^6$
(2) $2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$
$=2a^{2×3} · a^3 - 3^3 · (a^3)^3 + 5a^{7+2}$
$=2a^6 · a^3 - 27a^9 + 5a^9$
$=2a^{6+3} - 27a^9 + 5a^9$
$=2a^9 - 27a^9 + 5a^9$
$=-20a^9$
9. 已知有理数$a$，$b$满足$a + b = 2$，$a - b = 5$，求$(a + b)^3 · (a - b)^3$的值。
答案
9. 解：因为 $a + b = 2$，$a - b = 5$，
所以原式$=[(a + b)·(a - b)]^{3}=10^{3}=1000$。
所以原式$=[(a + b)·(a - b)]^{3}=10^{3}=1000$。
解析
【分析】
本题需计算代数式的值，观察所求式子的结构，发现是两个指数相同的幂相乘，可利用积的乘方的逆运算（即$x^n · y^n=(xy)^n$）变形，无需分别求出$a$、$b$的值，直接代入已知的$a+b$和$a-b$的值即可简化计算。
【解析】
解：根据积的乘方的逆运算，$(a + b)^3 · (a - b)^3 = [(a + b) · (a - b)]^3$。
已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，代入得：
$[2 × 5]^3 = 10^3 = 1000$。
【答案】
1000
【知识点】
积的乘方逆运算、代数式求值
【点评】
本题通过逆用积的乘方法则简化计算，避免了求解$a$、$b$的繁琐步骤，是对幂的运算性质的基础考查，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题需计算代数式的值，观察所求式子的结构，发现是两个指数相同的幂相乘，可利用积的乘方的逆运算（即$x^n · y^n=(xy)^n$）变形，无需分别求出$a$、$b$的值，直接代入已知的$a+b$和$a-b$的值即可简化计算。
【解析】
解：根据积的乘方的逆运算，$(a + b)^3 · (a - b)^3 = [(a + b) · (a - b)]^3$。
已知$a + b = 2$，$a - b = 5$，代入得：
$[2 × 5]^3 = 10^3 = 1000$。
【答案】
1000
【知识点】
积的乘方逆运算、代数式求值
【点评】
本题通过逆用积的乘方法则简化计算，避免了求解$a$、$b$的繁琐步骤，是对幂的运算性质的基础考查，难度较低。
【难度系数】
0.7
10. 已知$x^n = 2$，$y^n = 3$。
(1)求$(xy)^{3n}$的值；
(2)求$(x^2y^3)^n$的值。
(1)求$(xy)^{3n}$的值；
(2)求$(x^2y^3)^n$的值。
答案
10. 解：(1) $(xy)^{3n}=x^{3n}y^{3n}=(x^{n})^{3}·(y^{n})^{3}=2^{3}×3^{3}=8×27=216$。
(2) $(x^{2}y^{3})^{n}=x^{2n}y^{3n}=(x^{n})^{2}·(y^{n})^{3}=2^{2}×3^{3}=4×27=108$。
(2) $(x^{2}y^{3})^{n}=x^{2n}y^{3n}=(x^{n})^{2}·(y^{n})^{3}=2^{2}×3^{3}=4×27=108$。
解析
【分析】本题考查幂的运算性质，解题思路是利用积的乘方、幂的乘方的逆运算，将所求代数式转化为已知$x^n=2$、$y^n=3$的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得$(xy)^{3n}=x^{3n}y^{3n}$；再逆用幂的乘方性质$a^{mn}=(a^m)^n$，变形为$(x^n)^3 · (y^n)^3$。代入$x^n=2$，$y^n=3$，计算得：$2^3 × 3^3 = 8 × 27 = 216$。
(2) 根据积的乘方运算性质，$(x^2y^3)^n = x^{2n}y^{3n}$；逆用幂的乘方性质变形为$(x^n)^2 · (y^n)^3$。代入数值计算得：$2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$。
【答案】(1)216；(2)108
【知识点】幂的乘方、积的乘方运算
【点评】本题是幂的运算性质的基础应用，核心是掌握积的乘方和幂的乘方的运算规则，通过逆用公式实现“未知转已知”，解题步骤清晰，属于巩固幂运算知识的基础题型。
【难度系数】0.4
【解析】
(1) 根据积的乘方运算性质$(ab)^m=a^m b^m$，可得$(xy)^{3n}=x^{3n}y^{3n}$；再逆用幂的乘方性质$a^{mn}=(a^m)^n$，变形为$(x^n)^3 · (y^n)^3$。代入$x^n=2$，$y^n=3$，计算得：$2^3 × 3^3 = 8 × 27 = 216$。
(2) 根据积的乘方运算性质，$(x^2y^3)^n = x^{2n}y^{3n}$；逆用幂的乘方性质变形为$(x^n)^2 · (y^n)^3$。代入数值计算得：$2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$。
【答案】(1)216；(2)108
【知识点】幂的乘方、积的乘方运算
【点评】本题是幂的运算性质的基础应用，核心是掌握积的乘方和幂的乘方的运算规则，通过逆用公式实现“未知转已知”，解题步骤清晰，属于巩固幂运算知识的基础题型。
【难度系数】0.4
$a^{m} ÷ a^{n} =\_\_\_\_\_\_(a ≠ 0,m,n$都是
同底数幂相除，底数
正整数
，且$m ＞ n$
)。同底数幂相除，底数
不变
，指数相减
。字母$a$可以是数，也可以是单项式或多项式。答案
知识点一 $a^{m - n}$ 正整数 $m ＞ n$ 不变 相减
解析
$a^{m-n}$
同底数幂的除法法则可以逆用，即$a^{m - n} =\_\_\_\_\_\_(a ≠ 0,m,n$都是
正整数
，且$m ＞ n$
)。答案
知识点二 $a^m ÷ a^n$ 正整数 $m ＞ n$
解析
$a^m÷ a^n$
例 1 计算：
(1)$a^{5} ÷ a^{2}$；
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3}$；
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2}$；
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n}$。
(1)$a^{5} ÷ a^{2}$；
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3}$；
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2}$；
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n}$。
答案
(1)$a^{5} ÷ a^{2} = a^{5 - 2} = a^{3}$。
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3} = (-x)^{7 - 3} = (-x)^{4} = x^{4}$。
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2} = (x - y)^{3} ÷ (x - y)^{2} = x - y$。
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = (x^{m + 1 + 2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = x^{2(m + 1 + 2n)} ÷ x^{2m + n} = x^{2m + 2 + 4n - 2m - n} = x^{3n + 2}$。
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3} = (-x)^{7 - 3} = (-x)^{4} = x^{4}$。
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2} = (x - y)^{3} ÷ (x - y)^{2} = x - y$。
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = (x^{m + 1 + 2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = x^{2(m + 1 + 2n)} ÷ x^{2m + n} = x^{2m + 2 + 4n - 2m - n} = x^{3n + 2}$。
解析
【分析】
本题考查幂的运算，核心是运用同底数幂的运算法则，解题思路如下：
1. 同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），计算时需先确认底数是否相同，若不同则转化为相同底数（如第(3)题中$(y-x)^2=(x-y)^2$，平方后符号消失，底数可统一为$x-y$）；
2. 混合运算遵循顺序：先算乘方，再算乘除，有括号先算括号内；
3. 结合同底数幂乘法（$a^m·a^n=a^{m+n}$）、幂的乘方（$(a^m)^n=a^{mn}$）法则，逐步化简计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$a^5 ÷ a^2 = a^{5-2} = a^3$；
(2) 先利用同底数幂的除法法则，再化简结果：
$(-x)^7 ÷ (-x)^3 = (-x)^{7-3} = (-x)^4 = x^4$；
(3) 先将底数统一为$x-y$，再用同底数幂的除法法则：
$(x-y)^3 ÷ (y-x)^2 = (x-y)^3 ÷ (x-y)^2 = x-y$；
(4) 先算括号内的同底数幂乘法，再算幂的乘方，最后用同底数幂的除法法则：
$(x^{m+1}·x^{2n})^2 ÷ x^{2m+n} = (x^{m+1+2n})^2 ÷ x^{2m+n} = x^{2(m+1+2n)} ÷ x^{2m+n} = x^{2m+2+4n - 2m -n} = x^{3n+2}$。
【答案】
(1)$a^{5} ÷ a^{2} = a^{5 - 2} = a^{3}$。
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3} = (-x)^{7 - 3} = (-x)^{4} = x^{4}$。
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2} = (x - y)^{3} ÷ (x - y)^{2} = x - y$。
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = (x^{m + 1 + 2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = x^{2(m + 1 + 2n)} ÷ x^{2m + n} = x^{2m + 2 + 4n - 2m - n} = x^{3n + 2}$。
【知识点】
同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，主要考查同底数幂的乘、除运算法则，解题关键在于底数的转化（如第(3)题将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$）及运算顺序的掌握，是巩固幂运算的典型题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查幂的运算，核心是运用同底数幂的运算法则，解题思路如下：
1. 同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，$m＞n$），计算时需先确认底数是否相同，若不同则转化为相同底数（如第(3)题中$(y-x)^2=(x-y)^2$，平方后符号消失，底数可统一为$x-y$）；
2. 混合运算遵循顺序：先算乘方，再算乘除，有括号先算括号内；
3. 结合同底数幂乘法（$a^m·a^n=a^{m+n}$）、幂的乘方（$(a^m)^n=a^{mn}$）法则，逐步化简计算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：
$a^5 ÷ a^2 = a^{5-2} = a^3$；
(2) 先利用同底数幂的除法法则，再化简结果：
$(-x)^7 ÷ (-x)^3 = (-x)^{7-3} = (-x)^4 = x^4$；
(3) 先将底数统一为$x-y$，再用同底数幂的除法法则：
$(x-y)^3 ÷ (y-x)^2 = (x-y)^3 ÷ (x-y)^2 = x-y$；
(4) 先算括号内的同底数幂乘法，再算幂的乘方，最后用同底数幂的除法法则：
$(x^{m+1}·x^{2n})^2 ÷ x^{2m+n} = (x^{m+1+2n})^2 ÷ x^{2m+n} = x^{2(m+1+2n)} ÷ x^{2m+n} = x^{2m+2+4n - 2m -n} = x^{3n+2}$。
【答案】
(1)$a^{5} ÷ a^{2} = a^{5 - 2} = a^{3}$。
(2)$(-x)^{7} ÷ (-x)^{3} = (-x)^{7 - 3} = (-x)^{4} = x^{4}$。
(3)$(x - y)^{3} ÷ (y - x)^{2} = (x - y)^{3} ÷ (x - y)^{2} = x - y$。
(4)$(x^{m + 1} · x^{2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = (x^{m + 1 + 2n})^{2} ÷ x^{2m + n} = x^{2(m + 1 + 2n)} ÷ x^{2m + n} = x^{2m + 2 + 4n - 2m - n} = x^{3n + 2}$。
【知识点】
同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，主要考查同底数幂的乘、除运算法则，解题关键在于底数的转化（如第(3)题将$(y-x)^2$转化为$(x-y)^2$）及运算顺序的掌握，是巩固幂运算的典型题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
