【变式训练 1】 计算：
(1)$-m^{9} ÷ m^{3}$；
(2)$(-a)^{6} ÷ (-a)^{2}$；
(3)$x^{13} ÷ x^{2} ÷ x^{5}$；
(4)$(x - y)^{5} ÷ (y - x)^{2}$。

变式训练 1 (1) $-m^6$ (2) $a^4$ (3) $x^6$ (4) $(x - y)^3$

(1)$-m^{9} ÷ m^{3}=-m^{9-3}=-m^{6}$；
(2)$(-a)^{6} ÷ (-a)^{2}=(-a)^{6-2}=(-a)^{4}=a^{4}$；
(3)$x^{13} ÷ x^{2} ÷ x^{5}=x^{13-2-5}=x^{6}$；
(4)$(x - y)^{5} ÷ (y - x)^{2}=(x - y)^{5} ÷ (x - y)^{2}=(x - y)^{5-2}=(x - y)^{3}$。

例 2 已知$5^{x} = 3,5^{y} = 2$，求$5^{2x - 3y}$的值。

【解】原式$=5^{2x}÷5^{3y}$
$=(5^{x})^{2}÷(5^{y})^{3}$
$=3^{2}÷2^{3}$
$=9÷8$
$=\frac{9}{8}$

【分析】要计算$5^{2x - 3y}$的值，需利用幂的运算法则将其变形为与已知$5^x=3$、$5^y=2$相关的形式。根据同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可将原式拆分为$5^{2x}÷5^{3y}$；再根据幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，把$5^{2x}$转化为$(5^x)^2$，$5^{3y}$转化为$(5^y)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】原式$=5^{2x}÷5^{3y}=(5^x)^2÷(5^y)^3=3^2÷2^3=9÷8=\frac{9}{8}$
【答案】$\frac{9}{8}$
【知识点】同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算法则的逆用，解题核心是灵活运用同底数幂的除法和幂的乘方公式，将所求式子转化为已知条件的形式，属于基础运算题，需准确掌握公式变形。
【难度系数】0.6

【变式训练 2】 已知$x^{a} = 2,x^{b} = 4,x^{c} = 5$，求$x^{a - 2b + 3c}$的值。

变式训练 2 解：因为 $x^a = 2$，$x^b = 4$，$x^c = 5$，
所以原式 $= (x^a) ÷ (x^b)^2 × (x^c)^3$
$= 2 ÷ 16 × 125 = \dfrac{125}{8}$。

【分析】要计算$x^{a - 2b + 3c}$的值，需利用幂的运算法则对指数拆分变形：根据同底数幂的除法法则$x^{m-n}=x^m÷ x^n$、幂的乘方法则$(x^m)^n=x^{mn}$、同底数幂的乘法法则$x^{m+n}=x^m× x^n$，将所求式转化为含已知$x^a$、$x^b$、$x^c$的形式，再代入数值计算。
【解析】解：根据幂的运算法则，对所求式变形：
$x^{a - 2b + 3c} = x^a ÷ x^{2b} × x^{3c} = x^a ÷ (x^b)^2 × (x^c)^3$
已知$x^a = 2$，$x^b = 4$，$x^c = 5$，代入得：
原式$= 2 ÷ 4^2 × 5^3 = 2 ÷ 16 × 125 = \frac{125}{8}$
【答案】$\dfrac{125}{8}$
【知识点】幂的乘方、同底数幂的乘除运算
【点评】本题考查幂的运算法则的逆用，核心是将所求代数式转化为已知条件的形式，属于幂运算的基础变式题，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】0.6

1. 下列计算正确的是()

A.$(a^{2})^{3} = a^{5}$
B.$(-2a)^{2} = -4a^{2}$
C.$m^{3} · m^{2} = m^{6}$
D.$a^{6} ÷ a^{2} = a^{4}$

1. D

【分析】本题考查整式幂的运算，需熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算法则，逐一分析各选项的计算是否正确即可得出答案。
【解析】根据幂的相关运算法则逐一判断：
选项A：幂的乘方法则为$(a^m)^n=a^{mn}$，则$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠a^5$，计算错误；
选项B：积的乘方法则为$(ab)^n=a^nb^n$，则$(-2a)^2=(-2)^2·a^2=4a^2≠-4a^2$，计算错误；
选项C：同底数幂乘法法则为$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$m^3·m^2=m^{3+2}=m^5≠m^6$，计算错误；
选项D：同底数幂除法法则为$a^m÷a^n=a^{m-n}(a≠0)$，则$a^6÷a^2=a^{6-2}=a^4$，计算正确。
【答案】D
【知识点】幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题为初中数学整式幂运算的基础题，主要考查各类幂运算的法则，需准确区分不同幂运算的指数变化规则，避免混淆，属于易得分题目。
【难度系数】0.8

2. 下列计算正确的是()

A.$(a^{2}b)^{2} = a^{2}b^{2}$
B.$a^{9} ÷ a^{3} = a^{3}$
C.$(3xy^{2})^{2} = 6x^{2}y^{4}$
D.$(-m)^{7} ÷ (-m)^{2} = -m^{5}$

2. D

【分析】本题考查幂的运算，需运用积的乘方法则、同底数幂的除法法则，逐个计算选项中的式子，判断计算是否正确。首先回忆相关法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减。然后依次分析每个选项的计算结果，选出正确答案。
【解析】
选项A：根据积的乘方法则，$(a^{2}b)^{2}=(a^{2})^{2}· b^{2}=a^{4}b^{2}$，与选项中的$a^{2}b^{2}$不符，故A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，$a^{9}÷a^{3}=a^{9-3}=a^{6}$，与选项中的$a^{3}$不符，故B错误；
选项C：根据积的乘方法则，$(3xy^{2})^{2}=3^{2}· x^{2}· (y^{2})^{2}=9x^{2}y^{4}$，与选项中的$6x^{2}y^{4}$不符，故C错误；
选项D：根据同底数幂的除法法则，$(-m)^{7}÷(-m)^{2}=(-m)^{7-2}=(-m)^{5}=-m^{5}$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】D
【知识点】积的乘方、同底数幂的除法
【点评】本题为基础的幂运算题目，主要考查对幂的运算法则的掌握，解题时需准确运用法则计算，避免出现指数运算错误，属于易得分题。
【难度系数】0.7

3. 下列计算正确的是()

A.$x^{2} + x^{2} = x^{4}$
B.$x^{8} ÷ x^{2} = x^{4}$
C.$x^{2} · x^{3} = x^{6}$
D.$(-x)^{2} - x^{2} = 0$

3. D

【分析】
这道题考查整式的基本运算，需依据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则逐一分析选项。先回忆各法则：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方等于各因式分别乘方的积。再逐个判断选项的计算是否正确。
【解析】
A选项：根据合并同类项法则，$x^2 + x^2 = (1+1)x^2 = 2x^2 ≠ x^4$，计算错误；
B选项：根据同底数幂的除法法则，$x^8 ÷ x^2 = x^{8-2} = x^6 ≠ x^4$，计算错误；
C选项：根据同底数幂的乘法法则，$x^2 · x^3 = x^{2+3} = x^5 ≠ x^6$，计算错误；
D选项：先计算积的乘方，$(-x)^2 = x^2$，再计算$x^2 - x^2 = 0$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算、合并同类项、同底数幂的乘除
【点评】
本题是基础整式运算题，核心考查合并同类项、同底数幂的乘除法及积的乘方法则，属于易混淆的基础知识点，只要牢记各运算法则，就能准确判断选项，适合巩固整式运算的基础。
【难度系数】
0.8

4. 填空：
(1)$a^{12} ÷ a^{8} =$；
(2)$(y^{7})^{2} ÷ y^{7} =$；
(3)$(ab^{2})^{5} ÷ (ab^{2})^{2} =$；
(4)$-(abc)^{6} ÷ (-abc)^{3} =$。

4. (1) $a^4$ (2) $y^7$ (3) $a^3b^6$ (4) $a^3b^3c^3$

【分析】
本题考查幂的运算，需运用同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则解题。解题思路：先根据幂的乘方或积的乘方法则化简式子中的乘方部分，再依据同底数幂的除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）进行计算，注意处理符号问题，尤其是第(4)题的负号运算。
【解析】
(1) 根据同底数幂的除法法则：$a^{12} ÷ a^{8} = a^{12-8} = a^4$；
(2) 先算幂的乘方：$(y^7)^2 = y^{7×2}=y^{14}$，再用同底数幂除法法则：$y^{14} ÷ y^7 = y^{14-7}=y^7$；
(3) 先算积的乘方：$(ab^2)^5 = a^5b^{2×5}=a^5b^{10}$，$(ab^2)^2=a^2b^{2×2}=a^2b^4$，再相除：$a^5b^{10} ÷ a^2b^4 = a^{5-2}b^{10-4}=a^3b^6$；
(4) 先算积的乘方：$-(abc)^6 = -a^6b^6c^6$，$(-abc)^3=-a^3b^3c^3$，再相除：$-a^6b^6c^6 ÷ (-a^3b^3c^3) = ( -1 ÷ -1 ) × a^{6-3}b^{6-3}c^{6-3} = a^3b^3c^3$。
【答案】
(1) $a^4$；(2) $y^7$；(3) $a^3b^6$；(4) $a^3b^3c^3$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题为幂运算的基础题型，主要考查幂的相关运算法则的应用，解题时需准确运用法则，注意符号和指数的运算规则，是幂运算的核心基础内容。
【难度系数】
0.6