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5. 已知太阳到地球的距离约为$1.5 × 10^{8}km$，光在真空中的速度约为$3.0 × 10^{5}km/s$，则太阳光从太阳射到地球所需的时间约为
500
$s$。答案
5. 500
解析
时间 $ t = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} = \frac{1.5 × 10^{8}\ \mathrm{km}}{3.0 × 10^{5}\ \mathrm{km/s}} = 500\ \mathrm{s} $
6. 已知$x^{m} = 6,x^{n} = 2$，则$x^{m - n} =$
3
。答案
6. 3
解析
$x^{m - n} = \frac{x^m}{x^n} = \frac{6}{2} = 3$
7. 计算：
(1)$-y^{3m - 3} ÷ y^{m + 1}$；
(2)$m^{19} ÷ m^{14} · m^{3} ÷ m$。
(1)$-y^{3m - 3} ÷ y^{m + 1}$；
(2)$m^{19} ÷ m^{14} · m^{3} ÷ m$。
答案
7. (1) $-y^{2m - 4}$ (2) $m^7$
解析
(1) $-y^{3m - 3} ÷ y^{m + 1} = -y^{(3m - 3) - (m + 1)} = -y^{2m - 4}$
(2) $m^{19} ÷ m^{14} · m^{3} ÷ m = m^{19 - 14} · m^{3} ÷ m = m^{5} · m^{3} ÷ m = m^{5 + 3} ÷ m = m^{8} ÷ m = m^{8 - 1} = m^{7}$
(2) $m^{19} ÷ m^{14} · m^{3} ÷ m = m^{19 - 14} · m^{3} ÷ m = m^{5} · m^{3} ÷ m = m^{5 + 3} ÷ m = m^{8} ÷ m = m^{8 - 1} = m^{7}$
8. 计算：
(1)$y^{8} · y^{12} ÷ y^{10}$；
(2)$x^{6} ÷ x^{2} + (-x)^{3} ÷ (-x)^{2}$；
(3)$(x - y)^{8} ÷ (y - x)^{4} ÷ (x - y)^{3}$。
(1)$y^{8} · y^{12} ÷ y^{10}$；
(2)$x^{6} ÷ x^{2} + (-x)^{3} ÷ (-x)^{2}$；
(3)$(x - y)^{8} ÷ (y - x)^{4} ÷ (x - y)^{3}$。
答案
8. (1) $y^{10}$ (2) $x^4 - x$ (3) $x - y$
解析
(1) $y^{8} · y^{12} ÷ y^{10} = y^{8 + 12 - 10} = y^{10}$
(2) $x^{6} ÷ x^{2} + (-x)^{3} ÷ (-x)^{2} = x^{6 - 2} + (-x)^{3 - 2} = x^{4} - x$
(3) $(x - y)^{8} ÷ (y - x)^{4} ÷ (x - y)^{3} = (x - y)^{8} ÷ (x - y)^{4} ÷ (x - y)^{3} = (x - y)^{8 - 4 - 3} = x - y$
(2) $x^{6} ÷ x^{2} + (-x)^{3} ÷ (-x)^{2} = x^{6 - 2} + (-x)^{3 - 2} = x^{4} - x$
(3) $(x - y)^{8} ÷ (y - x)^{4} ÷ (x - y)^{3} = (x - y)^{8} ÷ (x - y)^{4} ÷ (x - y)^{3} = (x - y)^{8 - 4 - 3} = x - y$
9. 若$a^{m} = 3,a^{n} = 5$，求$a^{m - n},a^{3m - 2n}$的值。
答案
9. 解：$a^{m - n} = a^m ÷ a^n = \dfrac{3}{5}$。
$a^{3m - 2n} = a^{3m} ÷ a^{2n} = (a^m)^3 ÷ (a^n)^2$
$= 3^3 ÷ 5^2 = 27 ÷ 25 = \dfrac{27}{25}$。
$a^{3m - 2n} = a^{3m} ÷ a^{2n} = (a^m)^3 ÷ (a^n)^2$
$= 3^3 ÷ 5^2 = 27 ÷ 25 = \dfrac{27}{25}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需运用幂的运算性质：同底数幂的除法法则（$a^{p-q}=a^p÷ a^q$）和幂的乘方法则（$(a^p)^q=a^{pq}$）。首先，对于$a^{m-n}$，根据同底数幂除法法则可转化为$a^m÷ a^n$，代入已知的$a^m=3$、$a^n=5$即可计算；对于$a^{3m-2n}$，先利用同底数幂除法法则拆分为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再根据幂的乘方法则将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，最后代入已知值计算结果。
【解析】
解：
1. 计算$a^{m-n}$：
根据同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，
代入$a^m=3$，$a^n=5$，得：$a^{m-n}=3÷5=\dfrac{3}{5}$。
2. 计算$a^{3m-2n}$：
根据同底数幂的除法法则：$a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$，
再根据幂的乘方法则：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，
代入$a^m=3$，$a^n=5$，得：
$(a^m)^3÷(a^n)^2=3^3÷5^2=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
【答案】
$a^{m-n}=\dfrac{3}{5}$，$a^{3m-2n}=\dfrac{27}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，核心是逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将所求式子转化为已知条件的形式，计算过程简单，属于基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需运用幂的运算性质：同底数幂的除法法则（$a^{p-q}=a^p÷ a^q$）和幂的乘方法则（$(a^p)^q=a^{pq}$）。首先，对于$a^{m-n}$，根据同底数幂除法法则可转化为$a^m÷ a^n$，代入已知的$a^m=3$、$a^n=5$即可计算；对于$a^{3m-2n}$，先利用同底数幂除法法则拆分为$a^{3m}÷ a^{2n}$，再根据幂的乘方法则将$a^{3m}$转化为$(a^m)^3$，$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$，最后代入已知值计算结果。
【解析】
解：
1. 计算$a^{m-n}$：
根据同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，
代入$a^m=3$，$a^n=5$，得：$a^{m-n}=3÷5=\dfrac{3}{5}$。
2. 计算$a^{3m-2n}$：
根据同底数幂的除法法则：$a^{3m-2n}=a^{3m}÷ a^{2n}$，
再根据幂的乘方法则：$a^{3m}=(a^m)^3$，$a^{2n}=(a^n)^2$，
代入$a^m=3$，$a^n=5$，得：
$(a^m)^3÷(a^n)^2=3^3÷5^2=27÷25=\dfrac{27}{25}$。
【答案】
$a^{m-n}=\dfrac{3}{5}$，$a^{3m-2n}=\dfrac{27}{25}$
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，核心是逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将所求式子转化为已知条件的形式，计算过程简单，属于基础题型，需熟练掌握相关公式。
【难度系数】
0.7
10. 已知$16^{m} ÷ 8^{m - 1} · 2^{m} = 512$，求$m$的值。
答案
10. 解：$16^m ÷ 8^{m - 1} · 2^m = (2^4)^m ÷ (2^3)^{m - 1} · 2^m =$
$2^{4m} ÷ 2^{3m - 3} · 2^m = 2^{4m - (3m - 3) + m} = 2^{2m + 3} = 512 = 2^9$，
所以 $2m + 3 = 9$，则 $m = 3$。
$2^{4m} ÷ 2^{3m - 3} · 2^m = 2^{4m - (3m - 3) + m} = 2^{2m + 3} = 512 = 2^9$，
所以 $2m + 3 = 9$，则 $m = 3$。
解析
【分析】
本题需通过幂的运算将等式两边转化为同底数幂，利用同底数幂相等则指数相等的性质求解。首先把等式中不同底数的幂（16、8、512）都转化为以2为底的幂，再根据幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简左边式子，最后结合右边的结果建立关于m的方程，解方程得到m的值。
【解析】
解：将等式两边的底数统一为2：
$16^m ÷ 8^{m - 1} · 2^m = (2^4)^m ÷ (2^3)^{m - 1} · 2^m$
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，化简得：
$=2^{4m} ÷ 2^{3(m - 1)} · 2^m = 2^{4m} ÷ 2^{3m - 3} · 2^m$
根据同底数幂的乘除法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加），合并指数：
$=2^{4m - (3m - 3) + m} = 2^{2m + 3}$
又因为$512=2^9$，所以等式转化为：
$2^{2m + 3}=2^9$
根据同底数幂相等时指数相等，得：
$2m + 3 = 9$
解方程：$2m=9-3=6$，即$m=3$。
【答案】
$m=3$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘除运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，核心是将异底数幂转化为同底数幂，利用指数关系建立方程，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】
0.6
本题需通过幂的运算将等式两边转化为同底数幂，利用同底数幂相等则指数相等的性质求解。首先把等式中不同底数的幂（16、8、512）都转化为以2为底的幂，再根据幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简左边式子，最后结合右边的结果建立关于m的方程，解方程得到m的值。
【解析】
解：将等式两边的底数统一为2：
$16^m ÷ 8^{m - 1} · 2^m = (2^4)^m ÷ (2^3)^{m - 1} · 2^m$
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，化简得：
$=2^{4m} ÷ 2^{3(m - 1)} · 2^m = 2^{4m} ÷ 2^{3m - 3} · 2^m$
根据同底数幂的乘除法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加），合并指数：
$=2^{4m - (3m - 3) + m} = 2^{2m + 3}$
又因为$512=2^9$，所以等式转化为：
$2^{2m + 3}=2^9$
根据同底数幂相等时指数相等，得：
$2m + 3 = 9$
解方程：$2m=9-3=6$，即$m=3$。
【答案】
$m=3$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘除运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题考查幂的运算性质的应用，核心是将异底数幂转化为同底数幂，利用指数关系建立方程，属于基础运算题，难度不大。
【难度系数】
0.6
