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10. 一个四次二项式,同时符合下列条件:①同时含有字母 $a,b$;②常数项是 $-\dfrac{1}{2}$;③最高次项的系数是 2. 试写出满足以上条件的所有整式:
$2a^{3}b-\dfrac{1}{2}$或$2a^{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}$或$2ab^{3}-\dfrac{1}{2}$
.答案
10.$2a^{3}b-\dfrac{1}{2}$或$2a^{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}$或$2ab^{3}-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】要写出满足条件的整式，需先明确四次二项式的核心定义：次数最高项的次数为4，且整式由两个单项式组成（二项式）。题目要求整式同时含字母a、b，常数项为$-\dfrac{1}{2}$，最高次项系数为2。因此需先确定最高次项的形式：最高次项是含a、b的单项式，其次数为4（即a与b的指数和为4），系数为2；再结合二项式仅含两项（最高次项+常数项）的要求，即可列出所有符合条件的整式。
【解析】1. 确定最高次项：根据最高次项的要求，a、b的指数和为4，系数为2，可能的组合有：
a的指数为1，b的指数为3，对应最高次项为$2ab^3$；
a的指数为2，b的指数为2，对应最高次项为$2a^2b^2$；
a的指数为3，b的指数为1，对应最高次项为$2a^3b$；
2. 组合为二项式：二项式需包含常数项$-\dfrac{1}{2}$，因此将上述最高次项分别与常数项组合，得到所有符合条件的整式。
【答案】$2a^{3}b-\dfrac{1}{2}$或$2a^{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}$或$2ab^{3}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】多项式的项与次数、单项式的次数
【点评】本题考查多项式的基本概念，需准确理解四次二项式的定义，结合字母指数和、系数、常数项的要求分类讨论，避免遗漏可能的组合，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】1. 确定最高次项：根据最高次项的要求，a、b的指数和为4，系数为2，可能的组合有：
a的指数为1，b的指数为3，对应最高次项为$2ab^3$；
a的指数为2，b的指数为2，对应最高次项为$2a^2b^2$；
a的指数为3，b的指数为1，对应最高次项为$2a^3b$；
2. 组合为二项式：二项式需包含常数项$-\dfrac{1}{2}$，因此将上述最高次项分别与常数项组合，得到所有符合条件的整式。
【答案】$2a^{3}b-\dfrac{1}{2}$或$2a^{2}b^{2}-\dfrac{1}{2}$或$2ab^{3}-\dfrac{1}{2}$
【知识点】多项式的项与次数、单项式的次数
【点评】本题考查多项式的基本概念，需准确理解四次二项式的定义，结合字母指数和、系数、常数项的要求分类讨论，避免遗漏可能的组合，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】0.5
11. 小明同学在写单项式时把字母中有的指数漏掉了,写成了$-\dfrac{4}{5}xyz$,他只知道这个单项式是四次单项式,你能帮他写出这个单项式吗? 这样的单项式有几个,分别将它们写出来.
答案
11.解:能.这样的单项式有 3 个,分别为$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$或$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$或$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$.
解析
【分析】首先明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。题目中单项式的系数为$-\dfrac{4}{5}$，原写法为$-\dfrac{4}{5}xyz$，此时x、y、z的指数均为1，指数和为$1+1+1=3$，而该单项式是四次单项式，因此需要调整其中一个字母的指数，使三个字母的指数和为4，即可找出所有符合条件的单项式。
【解析】设该单项式中x、y、z的指数分别为a、b、c，根据四次单项式的定义，得$a+b+c=4$，且a、b、c均为正整数（单项式中字母的指数至少为1）。原写法中$a=b=c=1$，只需将其中一个字母的指数从1增加到2，其余两个保持1，即可满足指数和为4，具体情况如下：
1. 当$a=2$，$b=1$，$c=1$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$；
2. 当$a=1$，$b=2$，$c=1$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$；
3. 当$a=1$，$b=1$，$c=2$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
因此，这样的单项式共有3个。
【答案】能，这样的单项式有3个，分别为$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$、$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$、$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
【知识点】单项式的次数
【点评】本题考查单项式次数的核心概念，关键是理解“单项式的次数是所有字母指数的和”，通过调整漏掉的字母指数即可快速找出所有符合条件的单项式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】设该单项式中x、y、z的指数分别为a、b、c，根据四次单项式的定义，得$a+b+c=4$，且a、b、c均为正整数（单项式中字母的指数至少为1）。原写法中$a=b=c=1$，只需将其中一个字母的指数从1增加到2，其余两个保持1，即可满足指数和为4，具体情况如下：
1. 当$a=2$，$b=1$，$c=1$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$；
2. 当$a=1$，$b=2$，$c=1$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$；
3. 当$a=1$，$b=1$，$c=2$时，单项式为$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
因此，这样的单项式共有3个。
【答案】能，这样的单项式有3个，分别为$-\dfrac{4}{5}x^{2}yz$、$-\dfrac{4}{5}xy^{2}z$、$-\dfrac{4}{5}xyz^{2}$。
【知识点】单项式的次数
【点评】本题考查单项式次数的核心概念，关键是理解“单项式的次数是所有字母指数的和”，通过调整漏掉的字母指数即可快速找出所有符合条件的单项式，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
12. (1)已知$(a-2)x^{2}y^{|a|}$是关于$x,y$的四次单项式,求$a$的值;
(2)如果$2x^{a}y^{4}$与$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$都是关于$x,y$的六次单项式,且系数相等,试求$a,b$的值.
(2)如果$2x^{a}y^{4}$与$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$都是关于$x,y$的六次单项式,且系数相等,试求$a,b$的值.
答案
12.解:(1)由题意,得$2+|a|=4$,
所以$a=\pm2$.
又因为$a-2≠0$,
所以$a=-2$.
(2)由题意,得$a+4=6,2+|a-b|=6,2=\dfrac{1}{2}b^{2}$,
解得$a=2,b=-2$.
所以$a=\pm2$.
又因为$a-2≠0$,
所以$a=-2$.
(2)由题意,得$a+4=6,2+|a-b|=6,2=\dfrac{1}{2}b^{2}$,
解得$a=2,b=-2$.
解析
【分析】
要解决这道题，需明确单项式的核心概念：①单项式的次数是所有字母的指数之和；②单项式的系数是单项式中的数字因数，且系数不能为0（否则式子不是单项式）。第(1)问根据四次单项式的定义，结合系数不为0的条件列方程求a；第(2)问根据两个六次单项式的次数要求、系数相等的条件，联立方程并结合绝对值性质筛选a、b的值。
【解析】
(1) 因为$(a-2)x^{2}y^{|a|}$是关于$x,y$的四次单项式，所以：
次数满足：$2 + |a| = 4$，解得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$；
又单项式系数不能为0，故$a-2≠0$，即$a≠2$；
综上，$a=-2$。
(2) 因为$2x^{a}y^{4}$与$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$都是关于$x,y$的六次单项式，且系数相等，所以：
① 对$2x^{a}y^{4}$，次数满足：$a + 4 = 6$，解得$a=2$；
② 对$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$，次数满足：$2 + |a - b| = 6$，代入$a=2$得$|2 - b|=4$；
③ 系数相等：$2 = \dfrac{1}{2}b^{2}$，解得$b^{2}=4$，即$b=2$或$b=-2$；
结合$|2 - b|=4$，当$b=2$时$|2-2|=0≠4$，不符合；当$b=-2$时$|2 - (-2)|=4$，符合；
综上，$a=2$，$b=-2$。
【答案】
(1) $a=-2$；(2) $a=2$，$b=-2$
【知识点】
单项式的次数、单项式的系数
【点评】
本题考查单项式的次数与系数的基本概念，解题关键是准确把握“次数为字母指数和”“系数不为0”的要点，第(2)问需联立次数、系数条件，对绝对值多解进行筛选，属于基础题型，需注意细节避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需明确单项式的核心概念：①单项式的次数是所有字母的指数之和；②单项式的系数是单项式中的数字因数，且系数不能为0（否则式子不是单项式）。第(1)问根据四次单项式的定义，结合系数不为0的条件列方程求a；第(2)问根据两个六次单项式的次数要求、系数相等的条件，联立方程并结合绝对值性质筛选a、b的值。
【解析】
(1) 因为$(a-2)x^{2}y^{|a|}$是关于$x,y$的四次单项式，所以：
次数满足：$2 + |a| = 4$，解得$|a|=2$，即$a=2$或$a=-2$；
又单项式系数不能为0，故$a-2≠0$，即$a≠2$；
综上，$a=-2$。
(2) 因为$2x^{a}y^{4}$与$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$都是关于$x,y$的六次单项式，且系数相等，所以：
① 对$2x^{a}y^{4}$，次数满足：$a + 4 = 6$，解得$a=2$；
② 对$\dfrac{1}{2}b^{2}x^{2}y^{|a-b|}$，次数满足：$2 + |a - b| = 6$，代入$a=2$得$|2 - b|=4$；
③ 系数相等：$2 = \dfrac{1}{2}b^{2}$，解得$b^{2}=4$，即$b=2$或$b=-2$；
结合$|2 - b|=4$，当$b=2$时$|2-2|=0≠4$，不符合；当$b=-2$时$|2 - (-2)|=4$，符合；
综上，$a=2$，$b=-2$。
【答案】
(1) $a=-2$；(2) $a=2$，$b=-2$
【知识点】
单项式的次数、单项式的系数
【点评】
本题考查单项式的次数与系数的基本概念，解题关键是准确把握“次数为字母指数和”“系数不为0”的要点，第(2)问需联立次数、系数条件，对绝对值多解进行筛选，属于基础题型，需注意细节避免出错。
【难度系数】
0.5
13. 多项式 $(a-2)m^{2}+(2b+1)mn-m+n-7$ 是关于 $m,n$ 的多项式,且不含二次项,求 $a-b$ 的值.
答案
13.解:由题意,得$a-2=0,2b+1=0$,
解得$a=2,b=-\dfrac{1}{2}$,
所以$a-b=2-(-\dfrac{1}{2})=2\dfrac{1}{2}$.
解得$a=2,b=-\dfrac{1}{2}$,
所以$a-b=2-(-\dfrac{1}{2})=2\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】要解决这个问题，首先明确“多项式不含二次项”的含义：多项式中所有二次项的系数为0。先找出该多项式的二次项，分别是含$m^2$的项和含$mn$的项，令它们的系数为0，即可求出$a$和$b$的值，最后代入计算$a-b$即可。
【解析】因为多项式$(a-2)m^{2}+(2b+1)mn-m+n-7$不含二次项，所以二次项的系数必须为0，即：
$a - 2 = 0$，解得$a = 2$；
$2b + 1 = 0$，解得$b = -\dfrac{1}{2}$；
则$a - b = 2 - (-\dfrac{1}{2}) = 2\dfrac{1}{2}$。
【答案】$2\dfrac{1}{2}$
【知识点】多项式的系数、整式的加减
【点评】本题是多项式相关的基础题，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”，解题时需准确识别二次项，计算时注意符号处理，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为多项式$(a-2)m^{2}+(2b+1)mn-m+n-7$不含二次项，所以二次项的系数必须为0，即：
$a - 2 = 0$，解得$a = 2$；
$2b + 1 = 0$，解得$b = -\dfrac{1}{2}$；
则$a - b = 2 - (-\dfrac{1}{2}) = 2\dfrac{1}{2}$。
【答案】$2\dfrac{1}{2}$
【知识点】多项式的系数、整式的加减
【点评】本题是多项式相关的基础题，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”，解题时需准确识别二次项，计算时注意符号处理，难度较低。
【难度系数】0.8
