8. 小明同学借助一副三角尺和量角器，先画出$∠ AOB=90°$，再以$O$为顶点，$OB$为边作$∠ BOC=30°$，最后作$∠ AOC$的平分线$OD$，则$∠ COD$的度数为（）

A.$30°$
B.$60°$
C.$30°$或$60°$
D.$15°$或$45°$

8.C

【分析】首先，题目中作∠BOC时未明确其位置，需分两种情况讨论：①∠BOC在∠AOB内部；②∠BOC在∠AOB外部。先利用角的和差求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义计算∠COD的度数，即可得出结果。
【解析】分两种情况计算：
1. 当∠BOC在∠AOB内部时：
∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 30° = 60°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD = 1/2 ∠AOC = 1/2 × 60° = 30°；
2. 当∠BOC在∠AOB外部时：
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 30° = 120°，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD = 1/2 ∠AOC = 1/2 × 120° = 60°；
综上，∠COD的度数为30°或60°，故选C。
【答案】C
【知识点】角的和差、角平分线的性质
【点评】本题需全面考虑角的位置的两种情况，避免漏解，是易错题，考查学生思维的严谨性。
【难度系数】0.4

9. 如图,点$O$在直线$AB$上,$OM$平分$∠ AOC$,$ON$平分$∠ BOC$,若$∠ COM=$$4∠ CON$,则$∠ COM$的度数为.

9.72°

【分析】首先，点O在直线AB上，可知∠AOB是平角，度数为180°。根据角平分线的定义，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，可推出∠COM与∠CON的和为90°。再结合题目给出的∠COM=4∠CON，通过设未知数列方程即可求出∠COM的度数。
【解析】因为点O在直线AB上，所以∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 180°。
又因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠COM = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠CON = $\frac{1}{2}$∠BOC。
因此∠COM + ∠CON = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°。
设∠CON = $x$，则∠COM = $4x$，代入上式得：$4x + x = 90°$，解得$x = 18°$。
所以∠COM = $4x = 4×18° = 72°$。
【答案】72°
【知识点】角平分线、平角性质、角的和差
【点评】本题结合角平分线的定义与平角的性质，通过简单的方程求解即可得出结果，属于基础几何题，主要考查学生对基本角的运算的掌握。
【难度系数】0.3

10. 已知$∠ AOB=75^{ \circ }$，以$OA$为一边，画$∠ AOC=45^{ \circ }$，反向延长$OC$到点$D$，则$∠ BOD$的度数为.

10.60°或150°

【分析】
这道题需分两种情况讨论，因为以OA为一边画∠AOC=45°时，OC可能在∠AOB内部，也可能在∠AOB外部，两种情况会导致∠BOD度数不同。解题时明确反向延长OC得到的点D与O、C共线，即∠COD为平角180°，再结合∠AOB和∠AOC的度数，分别计算两种情况下的∠BOD。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：当OC在∠AOB内部时，
∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 75° - 45° = 30°，
因为反向延长OC到D，所以∠COD = 180°，
因此∠BOD = 180° - ∠BOC = 180° - 30° = 150°；
情况2：当OC在∠AOB外部时，
∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 75° + 45° = 120°，
因为反向延长OC到D，所以∠COD = 180°，
因此∠BOD = 180° - ∠BOC = 180° - 120° = 60°；
综上，∠BOD的度数为60°或150°。
【答案】
60°或150°
【知识点】
角的和差、分类讨论
【点评】
本题考查角的计算，核心是利用分类讨论思想避免漏解，属于基础几何角度计算题型，需注意OC位置的不确定性。
【难度系数】
0.3

11. 如图,已知$∠ α ,∠ β$,试用直尺和圆规作$∠ \gamma$,使$∠ \gamma =∠ α +∠ β$.(不写作法,保留作图痕迹)

11.解:如答图所示,∠AOB就是所要求作的∠γ.

【分析】要作∠γ=∠α+∠β，需利用尺规作一个角等于已知角的基本方法：先作一个角等于∠α，再以该角的一边为边，在其外部作一个等于∠β的角，两个角合并后即为所求的两角之和。
【解析】1. 作射线OA；2. 以点O为顶点，OA为一边，作∠AOC=∠α；3. 以点O为顶点，OC为一边，在∠AOC的外部作∠COB=∠β；则∠AOB=∠α+∠β，就是所求作的∠γ。
【答案】如答图所示，∠AOB就是所要求作的∠γ。
【知识点】尺规作图、角的和差
【点评】本题考查尺规作角的和，是尺规基本作图的基础应用，核心是掌握作一个角等于已知角的操作方法。
【难度系数】0.6

12. 如图,直线 A B,C D 相交于点 O,且 O A 平分$∠ E O C$.
(1)若$∠ E O C=70°$,求$∠ B O D$的度数;
(2)若$∠ E O C: ∠ E O D=2: 3$,求$∠ B O D$的度数.

12.解:(1)因为OA平分∠EOC,
所以∠EOA=1/2∠EOC=1/2×70°=35°.
因为∠EOC=70°,
所以∠EOD=180°-∠EOC=180°-70°=110°,
所以∠BOD=180°-∠EOA-∠EOD=180°-35°-110°=35°.
(2)设∠EOC=2x,因为OA平分∠EOC,∠EOC:∠EOD=2:3,
所以∠AOE=x,∠EOD=3x.
因为∠EOC+∠EOD=180°,所以2x+3x=180°,解得x=36°,
所以∠AOE=36°,∠EOD=3x=108°,
所以∠BOD=180°-∠AOE-∠EOD=180°-36°-108°=36°.

【分析】
要解决这道题，需结合角平分线、对顶角、邻补角的性质分析：
1. 第(1)问中，已知OA平分∠EOC，根据角平分线定义可求出∠AOC的度数；直线AB与CD相交于O，∠BOD与∠AOC是对顶角，利用对顶角相等即可得到∠BOD的度数。
2. 第(2)问中，∠EOC与∠EOD是邻补角，和为180°，结合它们的比例设未知数求出∠EOC，再通过角平分线得到∠AOC，最后利用对顶角相等求出∠BOD。
【解析】
(1) 因为OA平分∠EOC，根据角平分线的定义，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠EOC。
已知∠EOC=70°，所以∠AOC = $\frac{1}{2}$×70°=35°。
又因为直线AB与CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=35°。
(2) 设∠EOC=2x，由∠EOC:∠EOD=2:3，得∠EOD=3x。
因为∠EOC与∠EOD是邻补角，所以∠EOC + ∠EOD=180°，即2x + 3x=180°，解得x=36°。
所以∠EOC=2×36°=72°，又OA平分∠EOC，故∠AOC=$\frac{1}{2}$∠EOC=36°。
由于∠BOD与∠AOC是对顶角，因此∠BOD=∠AOC=36°。
【答案】(1)35°；(2)36°
【知识点】角平分线、对顶角、邻补角
【点评】本题考查角的基本性质，核心是利用角平分线、对顶角、邻补角的关系进行角的运算，属于基础几何题，侧重对基本概念的应用。
【难度系数】0.5

13. (1)如图①,将一副直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起.
①填空:$∠ ACE$$∠ BCD$;(填“$＜$”“$＞$”或“$=$”)
②若$∠ DCE=30°$,求$∠ ACB$的度数;
③猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$之间的数量关系,并说明理由.
(2)若改变(1)中一个三角尺的位置,如图②所示,则第(1)③题中的结论是否仍然成立?(不需要说明理由)

13.(1)①=
②解:因为∠DCE=30°,∠ACD=90°,
所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°.
又因为∠BCE=90°,
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°+90°=150°.
③解:∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
因为∠ACD=∠ECB=90°,
所以∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠DCB+∠DCE=∠ACD+∠ECB=180°.
(2)解:成立.

【分析】
本题围绕直角三角尺的叠放，考查角的和差关系与直角的性质。解题时，利用直角的度数固定，通过角的拆分、和差推导各角之间的关系，逐步解决问题。
【解析】
(1)①：因为∠ACD=∠BCE=90°，所以∠ACE + ∠DCE = 90°，∠BCD + ∠DCE =90°，根据同角的余角相等，可得∠ACE=∠BCD，故填“=”。
②：已知∠DCE=30°，∠ACD=90°，则∠ACE=∠ACD - ∠DCE=90°-30°=60°。又因为∠BCE=90°，所以∠ACB=∠ACE + ∠BCE=60°+90°=150°。
③：∠ACB + ∠DCE=180°，理由如下：因为∠ACD=∠ECB=90°，所以∠ACB=∠ACD + ∠DCB=90° + ∠DCB，而∠DCB + ∠DCE=∠ECB=90°，即∠DCB=90° - ∠DCE，代入得∠ACB=90° + (90° - ∠DCE)=180° - ∠DCE，因此∠ACB + ∠DCE=180°。
(2)：对于图②，∠ACB + ∠DCE=∠ACD + ∠BCD + ∠DCE=90° + (∠BCD + ∠DCE)=90°+90°=180°，故结论成立。
【答案】
(1)①=；②150°；③∠ACB + ∠DCE=180°；(2)成立
【知识点】
角的和差、直角的性质
【点评】
本题结合直角三角尺的叠放场景，考查基础的角度计算与关系推导，核心是利用直角的性质转化角的关系，属于几何入门的基础题型，能有效检验学生对基本角度运算的掌握程度。
【难度系数】
0.6