1. 已知线段$AB=4$,在直线$AB$上作线段$BC$,使得$BC=2$,若$D$是线段$AC$的中点,则线段$AD$的长为（）

A.1
B.3
C.1或3
D.2或3

1.C

【分析】本题需分两种情况讨论点C的位置，因点C在直线AB上，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上。先根据线段和差求出AC的长度，再利用线段中点的性质计算AD的长度，即可得出结果。
【解析】分两种情况：
① 当点C在线段AB上时，$AC = AB - BC = 4 - 2 = 2$。因为D是AC的中点，所以$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×2 = 1$；
② 当点C在线段AB的延长线上时，$AC = AB + BC = 4 + 2 = 6$。因为D是AC的中点，所以$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$；
综上，线段AD的长为1或3，对应选项C。
【答案】C
【知识点】线段的和差、线段中点
【点评】本题考查线段的和差与中点的应用，核心是需考虑点C在直线AB上的不同位置，避免漏解，属于基础题型，重点考查分类讨论的数学思想。
【难度系数】0.6

2. 已知$C$为线段$AB$的三等分点，$D$为射线$BA$上一点. 若$AB=6$，$BD=8$，则$CD$的长为（）

A.4
B.4或6
C.12
D.10或12

2.B

【分析】
本题需结合线段三等分点、射线的定义，通过分类讨论确定各点位置后计算CD长度。首先，AB=6，C为AB三等分点，存在两种不同位置，需分别考虑；其次，射线BA以B为端点、沿BA方向延伸，结合BD=8确定D的唯一位置；最后对两种C的位置分别计算CD的长度，即可得到结果。
【解析】
用坐标法简化计算：设点B在原点(0,0)，点A在(6,0)，则AB=6，射线BA为x轴正方向（端点为B，沿BA方向延伸）。
1. 确定点C的位置：
因为C是线段AB的三等分点，AB=6，分两种情况：
① 当AC = (1/3)AB = 2时，C点坐标为(6 - 2, 0) = (4, 0)；
② 当AC = (2/3)AB = 4时，C点坐标为(6 - 4, 0) = (2, 0)。
2. 确定点D的位置：
D在射线BA上，且BD=8，射线BA为x轴正方向，故D点坐标为(8, 0)。
3. 计算CD的长度：
① 当C为(4,0)时，CD = |8 - 4| = 4；
② 当C为(2,0)时，CD = |8 - 2| = 6。
综上，CD的长为4或6，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
线段的三等分点、射线的定义、两点间的距离
【点评】
本题考察线段与射线的基本概念，核心是利用分类讨论思想处理C点的两种位置情况，需注意射线的端点和方向，避免漏解，属于初中几何基础题。
【难度系数】
0.5

3. 互不重合的 $A,B,C$ 三点在同一条直线上,已知 $AC=2a+1$,$BC=a+4$,$AB=3a$,这三点的位置关系是（）

A.点 $A$ 在 $B,C$ 两点之间
B.点 $B$ 在 $A,C$ 两点之间
C.点 $C$ 在 $A,B$ 两点之间
D.无法确定

3.A

【分析】
要判断共线三点的位置关系，需利用“若一点在另外两点之间，则该两点间的线段长度等于该点到另外两点的线段长度之和”的性质，分三种情况讨论，结合线段长度为正的条件排除不合理情况，最终确定正确位置关系。
【解析】
已知A、B、C三点共线且互不重合，分三种情况分析：
1. 假设点A在B、C两点之间，则$BC = AB + AC$，代入已知长度：
$a + 4 = 3a + (2a + 1)$
化简得：$a + 4 = 5a + 1$，解得$a = \frac{3}{4}$
此时各线段长度均为正数：$AC = 2×\frac{3}{4}+1=\frac{5}{2}$，$BC=\frac{3}{4}+4=\frac{19}{4}$，$AB=3×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，满足$AB + AC = BC$，该情况成立；
2. 假设点B在A、C两点之间，则$AC = AB + BC$，代入得：
$2a +1 = 3a + (a +4)$，化简得$-2a=3$，解得$a=-\frac{3}{2}$，此时$AC=2×(-\frac{3}{2})+1=-2$，线段长度为负，不符合实际，排除；
3. 假设点C在A、B两点之间，则$AB = AC + BC$，代入得：
$3a=(2a+1)+(a+4)$，化简得$0=5$，等式不成立，排除；
综上，只有点A在B、C两点之间的情况成立。
【答案】
A
【知识点】
线段的和差；共线点的位置关系
【点评】
本题通过分类讨论共线三点的位置关系，结合线段和差公式求解，关键在于利用线段长度为正的条件排除不合理情况，考查学生对线段基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.5

4. 如图,点 A,B 在直线 $l$ 上,且 $AB=18\ \mathrm{cm}$,$C$ 是 $AB$ 的中点.
(1)若 $P$ 是直线 $l$ 上的动点,且 $PB=5\ \mathrm{cm}$,则 $CP=$ $\mathrm{cm}$;
(2)若 $Q$ 是线段 $AB$ 的延长线上一点,$M,N$ 分别是 $AQ,BQ$ 的中点,求线段 $MN$ 的长.

4.(1)14或4
(2)解:如答图.
因为M为AQ的中点,N为BQ的中点,
所以$MQ=\frac{1}{2}AQ,NQ=\frac{1}{2}BQ$,
所以$MN=MQ-NQ=\frac{1}{2}AQ-\frac{1}{2}BQ=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{cm}$.

【分析】
首先，对于(1)，先根据C是AB中点求出CB的长度，再考虑P是直线上的动点，分P在B左侧和右侧两种情况，利用线段的和差计算CP；对于(2)，利用中点的定义将MN转化为AQ与BQ差的一半，而AQ-BQ等于AB，从而求出MN的长度。
【解析】
(1) 因为C是AB的中点，AB=18 cm，所以 $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
分两种情况：
① 当点P在点B左侧时，$CP=CB - PB=9 -5=4\ \mathrm{cm}$；
② 当点P在点B右侧时，$CP=CB + PB=9 +5=14\ \mathrm{cm}$。
故 $CP=14$ 或 $4\ \mathrm{cm}$。
(2) 因为M是AQ的中点，所以 $MQ=\frac{1}{2}AQ$；
因为N是BQ的中点，所以 $NQ=\frac{1}{2}BQ$；
所以 $MN=MQ - NQ=\frac{1}{2}AQ - \frac{1}{2}BQ=\frac{1}{2}(AQ - BQ)$。
又因为 $AQ - BQ=AB=18\ \mathrm{cm}$，
所以 $MN=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4.(1)14或4；(2)9cm
【知识点】
线段中点、线段和差计算
【点评】
本题考查线段中点的性质及线段长度的计算，(1)问需注意动点位置的分类讨论，避免漏解，整体属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

5. 如图,点$A,B,C$在数轴上对应的数分别为$-3,1,9$,它们分别以每秒2个单位长度,1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动,设运动的时间为$t$秒.若$A,B,C$三点中,有一点恰好为另外两点所连线段的中点,求$t$的值.

5.解:根据题意,得当运动时间为t秒时,点A始终在点B的左侧,点A在数轴上对应的数为$-2t-3$,点B在数轴上对应的数为$-t+1$,点C在数轴上对应的数为$-4t+9$.
当B为线段AC的中点时,$-t+1-(-2t-3)=-4t+9-(-t+1)$,解得$t=1$;
当C为线段AB的中点时,$-4t+9-(-2t-3)=-t+1-(-4t+9)$,解得$t=4$;
当A为线段CB的中点时,$-2t-3-(-4t+9)=-t+1-(-2t-3)$,解得$t=16$.
综上可知,$t$的值为1或4或16.

【分析】
要解决这个问题，首先根据点的运动方向、速度和时间，用代数式表示t秒后A、B、C三点在数轴上对应的数；再根据“某点是另外两点所连线段的中点”这一条件，分三种情况讨论（B为AC中点、C为AB中点、A为CB中点），利用数轴上中点的数量关系列一元一次方程，解方程得到t的值，最终综合所有情况得出结果。
【解析】
解：根据题意，点向左做匀速运动，运动时间为t秒，则：
t秒后，点A对应的数为：$-3 - 2t$；
点B对应的数为：$1 - t$；
点C对应的数为：$9 - 4t$。
分三种情况讨论：
① 当B为线段AC的中点时，根据中点性质：$2×B对应的数 = A对应的数 + C对应的数$，可得：
$2(1 - t) = (-3 - 2t) + (9 - 4t)$
化简得：$2 - 2t = 6 - 6t$
移项合并得：$4t = 4$
解得：$t = 1$；
② 当C为线段AB的中点时，同理可得：
$2(9 - 4t) = (-3 - 2t) + (1 - t)$
化简得：$18 - 8t = -2 - 3t$
移项合并得：$-5t = -20$
解得：$t = 4$；
③ 当A为线段CB的中点时，同理可得：
$2(-3 - 2t) = (9 - 4t) + (1 - t)$
化简得：$-6 - 4t = 10 - 5t$
移项合并得：$t = 16$；
综上，t的值为1或4或16。
【答案】
t的值为1或4或16
【知识点】
数轴动点问题；中点公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴动点与中点结合的典型题型，需运用分类讨论思想将几何中点关系转化为代数方程求解，考查学生的逻辑分析和运算能力，是初中数学数轴章节的重点题型。
【难度系数】
0.4

6. 如图,点 $A,O,B$ 在同一条直线上,$∠ BOC=50°$,$OD$ 平分$∠ AOC$,现将 $OC$ 以每秒 $5°$的速度绕点$O$顺时针旋转一周,$OD$ 保持不动. 当$∠ COD=90°$时,$OC$ 的运动时间为（）

A.5 秒
B.31 秒
C.5 秒或 41 秒
D.5 秒或 67 秒

6.C

【分析】
首先根据平角定义求出初始∠AOC，再由角平分线性质得到∠COD的初始度数；OC绕O顺时针旋转且OD不动，要使∠COD=90°，需分两种情况讨论OC的位置，分别计算对应旋转角度，结合速度求出时间，注意避免漏解。
【解析】
1. 计算初始角度：
∵点A、O、B共线，
∴∠AOB=180°，已知∠BOC=50°，则∠AOC=180°-50°=130°。
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC÷2=130°÷2=65°。
2. 分情况求运动时间：
设OC运动时间为t秒，旋转角度为5t°，分两种情况：
① 当OC旋转后在OD与OB之间时，∠COD随旋转角度增大，满足：
65° + 5t° = 90°，解得t=5秒；
② 当OC旋转后在OD的另一侧（旋转一周内），需旋转总角度为360°-(65°+90°)=205°，满足：
5t°=205°，解得t=41秒。
综上，OC的运动时间为5秒或41秒。
【答案】
C
【知识点】
角平分线、角的计算、旋转
【点评】
本题结合角平分线与旋转性质，需用分类讨论思想分析OC的不同位置，考查学生的角度计算能力与思维严谨性，易漏解第二种情况。
【难度系数】
0.5